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        近幾年高考不等式熱門(mén)題型分析

        2021-12-03 01:39:14四川省巴中中學(xué)正高級(jí)教師特級(jí)教師
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)

        ■四川省巴中中學(xué) 肖 斌(正高級(jí)教師、特級(jí)教師)

        不等式是高中數(shù)學(xué)的重要解題工具,是高考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。不等式問(wèn)題在近幾年高考全國(guó)卷中一般為中等難度,小題主要考查不等式的性質(zhì)、不等關(guān)系、二次不等式的解法、基本不等式的應(yīng)用及線性規(guī)劃等,解答題主要考查絕對(duì)值不等式的解法或證明。有時(shí),不等式還會(huì)與集合、邏輯、函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何等主干知識(shí)結(jié)合,命制成植根基礎(chǔ)、能力立意的創(chuàng)新題甚至難題,對(duì)不等式的知識(shí)、方法與技巧要求較高。下面以最近幾年的高考題及最新的模擬題為例分析其命題特點(diǎn)。

        熱門(mén)題型一 不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題

        不等式的基本性質(zhì)主要有八個(gè),應(yīng)注意分清“單向性”和“雙向性”?!半p向性”是解不等式的基礎(chǔ)。證明不等式時(shí),既可用“單向性”,也可用“雙向性”。

        (1)對(duì)稱(chēng)性:a>b?b<a。

        (2)傳遞性:a>b,b>c?a>c。

        (3)可加性:a>b?a+c>b+c。

        (4)同向不等式相加法則:a>b,c>d?a+c>b+d。

        (5)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc。

        (6)同向正值不等式相乘法則:a>b>0,c>d>0?ac>bd。

        (7)正值不等式乘方法則:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)。

        (8)正值不等式開(kāi)方法則:a>b>0?

        此外,還應(yīng)知曉一些使用頻率較高的“二級(jí)結(jié)論”,以簡(jiǎn)化思維過(guò)程,快速獲得解法。

        (1)倒數(shù)性質(zhì):①同號(hào)兩數(shù)倒數(shù)法則,a>;②異號(hào)兩數(shù)倒數(shù)法則,a>

        (2)異向不等式性質(zhì):①異向不等式相減法則,a>b,c<d?a-c>b-d,即大數(shù)減小數(shù),大于小數(shù)減大數(shù);②異向正值不等式相除法則,a>b>0,0<c<d?,即若四個(gè)數(shù)都是正數(shù),則大數(shù)除以小數(shù),大于小數(shù)除以大數(shù)。

        (3)分?jǐn)?shù)性質(zhì):若a>b>0,m>0,則①真分?jǐn)?shù)性質(zhì),(b-m>0),即一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù),值越來(lái)越大,減去同一個(gè)正數(shù),值越來(lái)越?。虎诩俜?jǐn)?shù)性質(zhì),(b-m>0),即一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù),值越來(lái)越小,減去同一個(gè)正數(shù),值越來(lái)越大。但請(qǐng)注意,使用真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)性質(zhì)時(shí),需保證變化前、后分?jǐn)?shù)的分子、分母均為正數(shù)。

        例1(2021 年四省八校質(zhì)檢試題)若logab<logac,則下列不等式一定成立的是( )。

        解析:(解法一,排除法)由對(duì)數(shù)的意義知,a>0且a≠1,b>0,c>0。

        ①當(dāng)0<a<1時(shí),有b>c>0,所以ab>ac,且,從而,排除A,B。

        ②當(dāng)a>1時(shí),0<b<c,此時(shí)冪函數(shù)y=xa在(0,+∞)上增函數(shù),所以ba<ca,排除D。

        故選C。

        (解法二,直接法)當(dāng)0<a<1時(shí),則b>c>0。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax(0<a<1)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以ab<ac。

        當(dāng)a>1時(shí),則0<b<c。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax(a>1)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),所以ab<ac。

        綜上,選C。

        高考類(lèi)題:(2018 年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)第12題)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )。

        A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0

        C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

        解析:(解法一,排除法)因?yàn)閍=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,所以ab<0,排除C。

        因?yàn)?<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,所以0<a<1,b<-1,a+b<0,排除D。

        熱門(mén)題型二 比較大小問(wèn)題

        兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法主要有:比差法、比商法、中介法。其理論依據(jù)分別如下:

        (1)比差法,a-b>0?a>b,a-b=0?a=b,a-b<0?a<b;

        (2)比商法,不妨設(shè)b>0,則>1?a><1?a<b;

        (3)中介法,a>b,b>c?a>c。

        例2(2020 年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)第12題)已知55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則( )。

        A.a<b<cB.b<a<c

        C.b<c<aD.c<a<b

        解析:用比商法判斷a與b的大小,用中介法判斷b與c的大小。

        高考類(lèi)題:(2017 年全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)第11題)設(shè)x、y、z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( )。

        A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

        C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

        解析:(比商法)令2x=3y=5z=k(k>1),則x=log2k,y=log3k,z=log5k。

        點(diǎn)評(píng):請(qǐng)同學(xué)們用比差法做一做。

        熱門(mén)題型三 利用基本不等式求最值問(wèn)題

        利用基本不等式求最值,應(yīng)具備四個(gè)條件:“一正、二定、三等、四同”,并注意“和定積有最大值”、“積定和有最小值”的一般規(guī)律。當(dāng)條件不滿足時(shí),常通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃芜M(jìn)行轉(zhuǎn)化,近年來(lái)高考試題中涉及的相關(guān)變形技巧主要有以下幾種。

        1.數(shù)字字母化的技巧

        點(diǎn)評(píng):將數(shù)字字母化,即將目標(biāo)表達(dá)式中前兩個(gè)分式的分子“1”均代換成字母乘積“ab”,可促成問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和解決。

        2.拆項(xiàng)的技巧

        例4(2019 年高考天津卷理數(shù)第13題)設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則的最小值為_(kāi)____。

        3.添項(xiàng)的技巧

        由函數(shù)f(x)的最小值為5,得2-1=5,解得a=9,此時(shí)3x=2滿足題意。

        點(diǎn)評(píng):“拆項(xiàng)”是將已有的式子“一分為二”,“添項(xiàng)”是把沒(méi)有的式子改寫(xiě)成“兩個(gè)互相反數(shù)的和”,即“無(wú)中生有”。

        4.消元的技巧

        5.配湊的技巧

        熱門(mén)題型四 以函數(shù)為背景的不等式問(wèn)題

        例8(2021年全國(guó)乙卷文數(shù)第8題)下列函數(shù)中最小值為4的是( )。

        解析:選項(xiàng)A,f(x)=(x+1)2+3,所以f(x)min=f(-1)=3,故A 不正確。

        點(diǎn)評(píng):本題巧妙將二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)與基本不等式求最值時(shí)必須滿足的四個(gè)條件:“正、定、等、同”等易錯(cuò)點(diǎn)有機(jī)整合,較好地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的高考數(shù)學(xué)學(xué)科“四翼”考查要求。

        熱門(mén)題型五 不等式恰成立、恒成立、能成立(即有解)問(wèn)題

        不等式恰成立、恒成立、能成立(即有解)問(wèn)題是不等式中最精彩、最能體現(xiàn)核心素養(yǎng)的能力題,其基本思維方法有:判別式法、圖像法、最值原理法、分離參數(shù)法、反客為主法、補(bǔ)集思想法等。

        例9(2021 年四川省巴中市高二質(zhì)檢試題)已知關(guān)于x的不等式ax2+4ax-3<0。

        (1)若不等式的解集為{x|x<-3 或x>-1},求實(shí)數(shù)a的值;

        (2)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

        解析:(1)(圖像法)因?yàn)殛P(guān)于x的二次不等式ax2+4ax-3<0的解集為{x|x<-3或x>-1},所以由圖像知-3,-1是相應(yīng)方程ax2+4ax-3=0的兩個(gè)根,且a<0。

        綜上,a=-1。

        (2)(判別式法,分類(lèi)討論法)當(dāng)a=0時(shí),不等式化為-3<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,符合題意。

        當(dāng)a≠0時(shí),要使關(guān)于x的不等式ax2+4ax-3<0 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,只需-4×a×(-3)<0,解得-<a<0。

        綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

        點(diǎn)評(píng):第一問(wèn)是已知二次不等式的解集逆向求參問(wèn)題,即通常所說(shuō)的不等式“恰成立問(wèn)題”,其基本解法是利用三個(gè)“二次”之間的聯(lián)系,通過(guò)圖像法將二次不等式的“恰成立問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為二次方程的兩個(gè)實(shí)根問(wèn)題;第二問(wèn)是二次不等式在R 上的恒成立問(wèn)題,通常有以下等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系,習(xí)慣稱(chēng)之為“判別式法”。

        例10(2021年四川省巴中中學(xué)高二月考試題)若不等式x2+ax-2>0 在x∈[1,5]上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

        解析:令f(x)=x2+ax-2,則Δ=a2+8>0,所以方程f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根。

        又兩個(gè)根之積為負(fù),所以方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根。

        (解法一,圖像法)不等式x2+ax-2>0在x∈[1,5]上有解,只需:

        (解法二,補(bǔ)集思想法)原問(wèn)題的否定形式是:若不等式x2+ax-2≤0在x∈[1,5]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。此時(shí)只需f(1)=a-1≤0,且f(5)=5a+23≤0,解得a≤-。

        故不等式x2+ax-2>0在x∈[1,5]上有解時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是

        (解法三,分離參數(shù)法)x2+ax-2>0在x∈[1,5]上有解?a>-x在x∈[1,5]上有解。

        記f(x)=-x,x∈[1,5],只需a>f(x)min。

        易知f(x)為減函數(shù),所以f(x)min=f(5)=-,a>-。

        故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

        點(diǎn)評(píng):解法一是圖像法,利用二次不等式與二次函數(shù)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化獲解。解法二采用補(bǔ)集思想法,即解決“存在性”能成立問(wèn)題時(shí),可先考慮其否定形式,即先轉(zhuǎn)化為“任意性”的恒成立問(wèn)題。解法三采用分離參數(shù)法,一般地,有以下等價(jià)轉(zhuǎn)化策略:

        若存在x∈[m,n],a>f(x)有解(即能成立)?a>f(x)min;

        若存在x∈[m,n],a<f(x)有解(即能成立)?a<f(x)max;

        若存在x∈[m,n],a>f(x)無(wú)解(即不成立)?a≤f(x)min;

        若存在x∈[m,n],a<f(x)無(wú)解(即不成立)?a≥f(x)max;

        若存在x0∈[m,n],使不等式f(x0)>g(x0)成立?f(x)-g(x)>0在[m,n]上有解?[f(x)-g(x)]max>0。

        熱門(mén)題型六 不等式中的數(shù)學(xué)文化類(lèi)問(wèn)題

        例11《幾何原本》第二卷的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù),通過(guò)這一原理,很多代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明,也稱(chēng)之為無(wú)字證明?,F(xiàn)有如圖1所示圖形,點(diǎn)F在半圓O上,點(diǎn)C在直徑AB上,且OF⊥AB,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無(wú)字證明為( )。

        圖1

        點(diǎn)評(píng):對(duì)于基本不等式,不僅要記住原始形式,而且還要掌握它的幾種變形形式,比如≥2(a,b同號(hào)),a2+b2≥(a,b∈R),ab≤(a,b∈R)等。事實(shí)上,若追根溯源,這幾個(gè)變形形式都蘊(yùn)含在如下重要的不等式鏈中:已知0<a≤b,則≤b(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))。該不等式鏈從第二個(gè)式子開(kāi)始,分別被稱(chēng)作正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)。本題考查的數(shù)學(xué)文化背景是“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不大于它們的平方平均數(shù)”這一重要不等式結(jié)論。本題“無(wú)字證明”,透析圖形玄妙,展示幾何解釋?zhuān)匆?jiàn)數(shù)學(xué)之美。

        高考類(lèi)題:(2020 年江蘇省邗江中學(xué)高考模擬試題)中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”,即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形,邊長(zhǎng)分別為a,b,c,三角形的面積S可由公式S=求得,其中p為三角形周長(zhǎng)的一半,這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫—秦九韶公式?,F(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足a+b=6,c=4,則此三角形面積的最大值為_(kāi)___。

        熱門(mén)題型七 不等式與其他數(shù)學(xué)主體知識(shí)的交匯性問(wèn)題

        將不等式相關(guān)知識(shí)與集合、邏輯命題、函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何等眾多主體知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)交匯、滲透與整合可形成外延拓展型試題,此類(lèi)綜合題在高考數(shù)學(xué)試卷中??汲P?。

        例12(2021年四川省巴中市高二質(zhì)檢試題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知∠ABC=120°,∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1。

        其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為( )。

        A.①③④ B.②④

        C.①③ D.①④

        解析:∠ABC=120°,∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D,則∠ABD=∠CBD=60°。由三角形的面積公式得acsin 120。=csin60°,化簡(jiǎn)得ac=a+c。

        又a>0,c>0,則=1,故①正確。

        由ac=a+c≥24,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào),故ac的最小值為4。故②錯(cuò)誤。

        點(diǎn)評(píng):本題由2018年江蘇高考題改編而得,綜合考查了三角形的面積公式、內(nèi)角平分線的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用,耐人回味的是對(duì)基本不等式求解最值的多個(gè)技巧、易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了全面、深透地考查。

        高考類(lèi)題:(2021年高考浙江卷理數(shù)第8題)已知α,β,γ是互不相同的銳角,則在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三個(gè)值中,大于的個(gè)數(shù)的最大值為( )。

        A.0 B.1 C.2 D.3

        點(diǎn)評(píng):本題以基本不等式ab≤為突破口,先將題設(shè)中的三個(gè)正弦、余弦的乘積式進(jìn)行放大變形,得到三個(gè)關(guān)鍵不等式;然后通過(guò)整體相加思想及反證法,得到三個(gè)乘積式不可能均大于;最后列舉特例分析,得到三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2。本題是一道植根基礎(chǔ)、能力立意、清新脫俗、銳意創(chuàng)新的好題。

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