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        例談基本不等式中的“3大注意”和“11個(gè)策略”

        2021-12-03 01:39:12河北南宮中學(xué)溫世嫻霍忠林
        關(guān)鍵詞:解題策略

        ■河北南宮中學(xué) 溫世嫻 霍忠林

        基本不等式常用來求函數(shù)最值(取值范圍)或證明不等式。高考中主要考查二元或三元基本不等式的應(yīng)用?!耙徽⒍?、三相等”是同學(xué)們耳熟能詳?shù)氖褂没静坏仁健翱谠E”。但是在解題過程中,部分同學(xué)對這“口訣”理解得不到位、對基本不等式的使用策略運(yùn)用不當(dāng),從而導(dǎo)致得分不理想。鑒于此,本文總結(jié)了二元或三元基本不等式在使用過程中的“3大注意”和“11 個(gè)策略”,以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供幫助。

        一、知識回顧

        (1)若a∈R,b∈R,則a2+b2≥2ab(*),其中當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立。

        二、“口訣”的3大注意

        (1)對“正”的理解:“一正”指的是數(shù)(代數(shù)式)必須均是正的,這是使用基本不等式的前提條件。比如,求函數(shù)y=x+的取值范圍時(shí),顯然兩數(shù)不滿足“正”的條件,不能直接使用基本不等式,此時(shí)可以轉(zhuǎn)化為再使用基本不等式。因此,使用基本不等式之前應(yīng)先看已知條件是否滿足“正”的條件。

        (3)對“相等”的理解:判斷取等條件,必須在出現(xiàn)“定值”之后。在利用基本不等式求最值時(shí),必須滿足“相等”的條件,若不滿足條件,則不能利用基本不等式求最值。比如,求的最小值時(shí),采用≥2 來求最值是“行不通”的,原因就在于取等條件不滿足。但是在利用基本不等式證明不等式時(shí),即使取等條件不滿足也可以使用。比如,當(dāng)x>1時(shí),證明:x2+。此時(shí)可以采用“x2+”來處理。

        三、解題的11個(gè)策略

        策略1 直接套用公式

        策略2 添“項(xiàng)”湊“定值”

        該策略指的是通過添加系數(shù)或添加常數(shù)來“湊”定值。

        評析:本題通過添加系數(shù)2,從而湊出“和”為定值。

        評析:本題通過添加常數(shù)項(xiàng)1,從而湊出“積”為定值。

        策略3 乘“1”法

        乘“1”法常分為“整體乘1”和“局部乘1”兩種形式。

        評析:本題通過“整體乘1”策略,為基本不等式的使用提供了條件。實(shí)際上形如“已知x,y,z,r,s均為正數(shù),且xa+yb=z,求的最小值”均可以采用此策略。

        評析:本題通過“局部乘1”策略,為基本不等式的使用提供了條件。

        策略4 換元法

        評析:通過m=2x+y,n=y(tǒng)+1將本題轉(zhuǎn)化為策略3 來處理。一般情況,代數(shù)式中含有根式或含有一次式時(shí)可以考慮將根式或一次式進(jìn)行換元,再求最值。

        策略5 合理拆分

        評析:注意到x=,因此將拆成相等的兩項(xiàng),這樣可以保證了基本不等式“取等”的條件?!捌骄鸱帧笔呛侠聿鸱值淖畛R娛侄巍?/p>

        策略6 因式分解

        該策略就是先對已知條件進(jìn)行因式分解,再利用基本不等式解題。

        例8已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,求a+b的最小值。

        解析:由ab=a+b+3,得(a-1)(b-1)=4。

        所以a>1,b>1。

        故a+b=(a-1)+(b-1)+2≥+2=6,當(dāng)a-1=b-1,即a=b=3時(shí)等號成立。

        所以a+b的最小值為6。

        評析:一般形如“已知x,y,z,r,s均為正數(shù),且ab=xa+yb+z,求ra+sb的最小值”可以考慮采用此策略。

        策略7 連續(xù)多次使用基本不等式

        評析:在多次使用基本不等式求最值時(shí),必須保證等號同時(shí)成立。如果等號不同時(shí)成立,就無法使用基本不等式求最值。

        策略8 主元思想

        評析:在含有多個(gè)變量求最值時(shí),可以考慮采用“主元思想,逐個(gè)擊破”策略,但是務(wù)必保證等號同時(shí)成立。

        策略9 平方

        該策略就是先將待求代數(shù)式平方,再應(yīng)用基本不等式求解。

        策略10 待定系數(shù)法

        策略11 利用取等條件

        利用基本不等式的“取等”條件來求最值或證明不等式,常用來處理“已知條件”和“問題”均是對稱式。

        例13已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,求a3+b3的最小值。

        解析:a3+1+1≥3a,b3+1+1≥3b,所以(a3+1+1)+(b3+1+1)≥3(a+b)=6,a3+b3≥2。

        當(dāng)a=b=1時(shí)等號成立。

        所以a3+b3的最小值為2。

        評析:注意到“題干”和“問題”均是關(guān)于a,b的對稱式,因此可以嘗試從a=b=1 條件來入手,通過a3+1+1≥3a,b3+1+1≥3b來順利實(shí)現(xiàn)解題的目的。

        例14已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2≥

        綜上所述,基本不等式的學(xué)習(xí)中,要深入理解“一正、二定、三相等”這一條件。在解題過程中,要多整理、勤總結(jié)、善反思,只有這樣才能靈活掌握解題策略,實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考。

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