■河南師范大學附中西校區(qū) 楊承澤 楊承霖（指導老師 孟召臣）

或許是幸運，也或許是我們的付出得到了回報，2021 年的高考，我們兄弟倆數(shù)學都考了滿分。剛剛走過的高中學習生活應該說道路是曲折的，結局是光明的，尤其是數(shù)學學科，高考很幸運地考了150 分。針對數(shù)學學科的學習，我們簡單總結了一下自己在學習過程中的一些做法，希望能給各位讀者提供一些幫助。

常言道“干一行，愛一行，鉆一行，精一行”，要想學好數(shù)學，從內(nèi)心要“愛”數(shù)學！ 三年的高中數(shù)學學習，我們逐漸體會到高中數(shù)學教材中主編所寄語的：數(shù)學是有用的，是能提高能力的，是自然的，也是清楚的?！皵?shù)學就在我們身邊，她是科學的語言，是一切科學和技術的基礎，是我們思考和解決問題的工具”，“邏輯思維與探索結構等正是理論的支架和脈絡，因而數(shù)學恰就在它們的核心處”。只有內(nèi)心清楚數(shù)學這門學科對自己很有用，我們才能從內(nèi)心重視它，激發(fā)出對數(shù)學學科更深的興趣和熱情。

當然，想學好數(shù)學也不是僅憑一腔熱血，要在思想上重視，更要在行動上落實高中數(shù)學的學習。

1.課前

預習！ 預習！ 預習！ 重要的事情說三遍。高中數(shù)學不同于初中數(shù)學，對邏輯思維能力要求更高，如果課前不預習，“打無準備之仗”就可能跟不上課堂的節(jié)奏，出現(xiàn)老師已經(jīng)開始講下一個新的知識點的時候，自己卻還沒想通上一個問題為什么這樣處理。特別是課堂容量大的時候，很容易造成手忙腳亂，有些問題一知半解，有些問題沒跟上老師的思路。不僅如此，如果發(fā)現(xiàn)身邊的同學都做好了預習，在課堂上能搶著回答老師的問題，也就很容易感到自己的“弱小、可憐與無助”，久而久之就會嚴重影響學習的自信心和積極性。預習時可以先通讀課本，盡可能把課本上的概念、例題及例題講解先弄個八九不離十，之后盡可能完成課本上以及教輔資料上60%～80%的題目，遇到不會的及時標記起來，同時可以把自己的想法簡單地批注在旁邊，以便帶著問題“精準”上課。

2.課中

課堂上，我們通常是有選擇地聽課，“時聽，時不聽”，對于自己在預習過程中不懂的問題，以及老師所講解的基于課本內(nèi)容的拓展知識一定要專注地聽；而對于自己感覺已經(jīng)會了的就“不聽”，同時利用這些間斷的時間做一些同步的習題以減輕課后的作業(yè)負擔。就我們兄弟倆而言，高一高二時課堂上聽課還是很專注的，高三起逐漸學會了“偷懶”。不建議把大量的課堂時間花在記筆記上，實在怕忘或者真的沒聽懂就把關鍵內(nèi)容簡單記一下，下課借同學的筆記看看或者及時問一下老師。在我們看來，真正的筆記本應該是課后自己整理總結的干貨，而不是課堂上照搬照抄板書。

3.課后

課后指的并不是下課后的課間十分鐘，而是上完這節(jié)課后的所有時間。課堂上四十分鐘的內(nèi)容，有時候需要課后數(shù)個小時的整理、思考、練習，才能逐漸消化吸收最終轉化為屬于自己的東西，并最終熟練地運用在解題上。有時候，新學的知識如果比較抽象或者技巧性比較強，往往不能在短時間熟練掌握，比如我們最初接觸對數(shù)、基本不等式及解析幾何等內(nèi)容的時候，看書感覺都會了，應該沒什么問題，可是一做題卻發(fā)現(xiàn)大多數(shù)題不會做，或者花費時間很長才能做對。這很正常，因為認識和熟悉一個新的事物或者一個新的知識點是需要一個過程，這完全不用擔心，但需要多做一些有針對性的練習，多看看一些教輔資料中的典型題型及技巧總結。學數(shù)學真的需要這樣“借力”，自己能夠把控的就是借助于某些資料或者雜志的“力”，好的資料及雜志其實不少，例如《中學生數(shù)理化》，我們孟召臣老師撰寫的《高中數(shù)學?？嫉亩壗Y論》，及《更高更妙的高中數(shù)學思想與方法》等一些資料上總結的相關例題及解題技巧和方法都讓我們受益匪淺。當然光看書是不夠的，還要有針對性地練習來增加應用知識和技巧的熟練度。例如在初學基本不等式時，總是弄不清什么時候該用，該怎么用，該怎樣快速得到答案等，我們就通過練習增強了對知識和技巧的熟練度。

例如：已知a，b＞0，a＋b＝1，求：（1）的最小值；（2）a2＋b2的最小值；（3）的最大值。記得剛接觸這樣的題，總是要耗費很長時間，或者做的方法很麻煩！ 經(jīng)過一周的鞏固訓練，很快掌握了這類問題的解題技巧和方法。就拿這道題來說，如果想要快速得到答案，我們只需要根據(jù)題目及結論中字母a，b的對稱性，就可以知道a＝b＝時，取得最小值4，a2＋b2取得最小值取得最大值

若需要解答過程，則可以這樣做：

4.解題

題是基礎知識和思想方法的共同載體，多做一些習題有利于我們快速掌握并熟練應用相關的知識點。

首先，做題不能盲目，要有所選擇地做。對于那些簡單易掌握的題目，預習的時候過一遍就可以了，多做純粹是浪費時間。做題，要有選擇地做，平時練習時要多做一些能夠暴露自己知識漏洞或方法沒有掌握的問題，要多做一些難度適中或者稍有挑戰(zhàn)性的題目，多做一些能讓我們從中得到一些小結論的題目，多做一些解題方法技巧性比較強的題目。數(shù)學題目不是做得越多越好，我們還要平衡其他學科的學習，高一高二的時候不要怕暴露自己的知識漏洞，根據(jù)知識漏洞有針對性地做題才能把我們所學的知識掌握得更牢固。高一高二把握得比較好，高三的時候就不會感覺自己沒掌握的太多，高三后期各種試卷特別多，要根據(jù)自己的情況，有選擇地做，否則會感覺天天很累，且效果不佳。我們高三下學期就主要做一些試卷中的中等偏上難度的試題。

其次，要認真審題，注重方法。審題時首先讀題要慢，在讀到自己覺得有重要模型特征的、陌生的或者易錯的條件時，用筆把它們?nèi)Τ鰜?，需要利用幾何關系的題目時盡量把圖畫準確，把對應的條件標注到圖上相應位置。寫選擇題時，如果用排除法，盡量在排除的選項上做個記號，特別要注意題目問的是正確的項還是錯誤的項。選擇題的答案盡量統(tǒng)一寫到題號前，方便譽抄到答題卡上。關于解題方法的選擇，對于選擇題、填空題，這些題目不需要嚴密的推導過程，解題時完全可以“不擇手段”，考試時間有限，千萬不要“小題大做”，而要想著巧做、智做甚至“秒殺”，可以運用排除法、極限法、特殊化法、估值法、數(shù)形結合法等快速把題目給解出來。對于解答題，解題時要注意前后的邏輯關系，注意答題的條理性和規(guī)范性，書寫過程要抓住解題的關鍵得分點，用我們孟老師的話說，“只寫對的，不寫廢的”。做完題還要注意檢驗，以確保自己的思路和運算結果沒問題。

5.筆記和糾錯

對于筆記，盡量不要在課堂上占用太多時間去記筆記，什么都記，就沒有足夠的時間去理解當堂的知識，課堂學習效果會大打折扣。我們認為需要記的有這些：①有些自己很難想到的解題技巧；②學習過程中遇到的?？?、常用的二級結論；③在每一章節(jié)結束，總結的這一章常考的數(shù)學模型。對于自己很容易掌握的知識點以及在書店里的公式定理手冊中都很容易查到的知識點，就沒必要去記了。

對于錯題本，不是所有的錯題都要記，對于有些可能因考試狀態(tài)不好，而導致的明顯非智力因素錯誤就沒必要記。對于一些簡單但做題時某細節(jié)沒注意到而出錯的題目也不需要記。需要記下來的主要是自己做過的習題中，方法獨到，方法種類比較多，或者解題方法可以遷移到其他問題中的典型題。記錯題的時候，如果感覺解題步驟太多，可以只突出關鍵點，價值不大的地方只寫個思路，不用寫完整過程。對于記下來的題目要定期回過頭來看看，確保弄懂，下次不再出錯。在弄懂的基礎上，還要深入思考：題目中有什么“陷阱”，今后如何避免掉進“陷阱”；有什么隱含條件，隱含條件該如何抓住，如何應用；此類題目還可以怎樣改編，能不能把方法遷移到其他題目中去，能不能從中得到一些有用的二級結論。

不論是筆記還是錯題本，都建議把題目、解析過程以及自己的反思感悟用不同顏色的筆來寫，黑、藍、紅是不錯的選擇。

學習不是一蹴而就的，高中知識量要比初中多很多，學起來并不輕松，因此，高一高二的時候就一定要端正態(tài)度，全力以赴，盡最大限度地不留知識漏洞，否則就很可能一步跟不上，步步跟不上。高三與其說是復習，不如說是對以前所學知識的綜合和升華，題目的綜合性更強，對思維能力的要求更高。除非你是天才，否則那種抱著“高一高二混過去，高三再好好學”的態(tài)度是肯定學不好的。

以上是我們兄弟倆在高中數(shù)學學習過程中的一點粗淺之談，不當之處，還望朋友們批評指正！

名師點評：孟召臣（本刊核心作者、封面人物）

今年的高考，楊承霖和楊承澤兄弟（雙胞胎）兩人數(shù)學都取得了滿分，雖然像他們自己所說的那樣，有那么一點幸運的成分，但我覺得更多的是“一分耕耘，一分收獲”，是兩個孩子努力付出得到的必然結果。一路走來，我見證了他們的成長，兄弟兩個都有很強的進取心，思維敏捷，愛動腦，勤鉆研，善總結，重要的內(nèi)容決不淺嘗輒止。平日里，兩人的學習生活安排得張弛有序，忙碌而不慌亂，他們學習主動性都比較強，對很多數(shù)學問題都有自己獨到的見解（我在教他們的過程中也深感受益匪淺）。在學習的過程中，雖然也有多次考試成績不理想，但面對失利，他們都能以平常心對待，面對挫折，他們從不言棄。

“十年磨一劍”，“滄海一聲笑”，無涯學海任逍遙，他們用努力的腳印，踏出了一片智慧的天地；用智慧與勤奮的鑰匙，打開了通往成功的大門！ 他們用實際行動很好地詮釋了“勤奮出天才”。希望在未來的征途中，他們會走得越來越好！