蘭開陽，盧博

（西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730030）

1 預(yù)備知識(shí)

若無特殊說明，文中所有的環(huán)R均指帶單位元的結(jié)合環(huán)，所有的R-模均指幺模，即設(shè)M為左R-模，則對(duì)任意的x∈M，有1x=x，其中1 是環(huán)R中的單位元。左R-模M的示性模記為M+。設(shè)A，B為左R-模，n為正整數(shù)，Torn(A，B)和Extn(A，B) 分別指。Ab 表示阿貝爾群范疇；對(duì)于環(huán)R，R-Mod 表示左R-模范疇，Mod-R表示右R-模范疇。R-Mor 表示對(duì)象為左R-模態(tài)射、態(tài)射為左R-模態(tài)射f：M1→M2到左R-模態(tài)射g：N1→N2之間的態(tài)射范疇，即態(tài)射對(duì)的交換圖：

FU 等［1］提出理想逼近理論，稱雙邊函子HomR(?，?)：R-Modop×R-Mod→Ab 的子加法雙邊函子為范疇R-Mod 的理想，記為I。對(duì)任意2個(gè)左R-模M和N，I 中態(tài)射M→N構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群HomR(M，N)，對(duì)I 中任意3 個(gè)態(tài)射f，g，h，合成fgh有意義且g∈I，則有fgh∈I。理想逼近理論將經(jīng)典的覆蓋與包絡(luò)理論一般化［2］。如phantom-態(tài)射的理想就是范疇R-Mod 的理想。Phantom-態(tài)射的研究思想來源于拓?fù)鋵W(xué)中CW-復(fù)形之間的態(tài)射［3］，NEEMAN［4］首先將phantom-態(tài)射的概念應(yīng)用于三角范疇并做了相關(guān)研究。HERZOG［5］將phantom-態(tài)射的定義推廣至結(jié)合環(huán)范疇，并做了大量研究。

如果P1，P2是投射左R-模，且f是可裂單態(tài)射，則稱范疇R-Mor 中態(tài)射f：P1→P2是投射 的；如果E1，E2是內(nèi)射左R-模，且g是可裂滿態(tài)射，則稱范疇R-Mor 中態(tài)射g：E1→E2是內(nèi)射的；如 果F1，F(xiàn)2是平坦左R-模，且h是純單態(tài)射，則稱范疇R-Mor 中態(tài)射h：F1→F2是平坦的［6］。

2 Torn-單態(tài)射、Extn-滿態(tài)射

Phantom-態(tài)射與Ext-phantom-態(tài)射的概念最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)［5］中，下面給出Torn-單態(tài)射與Extn-滿態(tài)射的定義。

定義1設(shè)n是正整數(shù)，如果對(duì)任意的（有限表示）左R-模X，有

滿態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射f：M→N是Extn-滿態(tài)射的；如果對(duì)任意的（有限表示）右R-模Y，有

單態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射g：P→Q是Torn-單態(tài)射的。

下面的對(duì)偶定義來自文獻(xiàn)［8］。

設(shè)n是正整數(shù)，如果對(duì)任意的（有限表示）右R-模X，有

滿態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射f：M→N是Torn-滿態(tài)射的；如果對(duì)任意的（有限表示）右R-模Y，有

單態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射g：P→Q是Extn-單態(tài)射的。

在文獻(xiàn)［5］中，如果對(duì)任意的（有限表示）右R-模X，有

零態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射f：M→N是phantom-態(tài)射的；在文獻(xiàn)［7］中，如果對(duì)任意的（有限表示）左R-模Y，有

零態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射g：P→Q是Extphantom-態(tài)射的；MAO［6］引入了n-phantom-態(tài)射和n-Ext-phantom-態(tài)射的概念，設(shè)n是正整數(shù)，如果對(duì)任意的（有限表示）右R-模X，有

零態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射f：M→N是n-phantom-態(tài)射的；如果對(duì)任意的（有限表示）左R-模Y，有

零態(tài)射，則稱左R-模態(tài)射g：P→Q是n-Extphantom-態(tài)射的。

顯然，R-Mod 中的1-phantom-態(tài)射恰好是phantom-態(tài)射；R-Mod 中的1-Ext-phantom-態(tài)射恰好是Ext-phantom-態(tài)射。

下面討論n-phantom-態(tài)射與Torn-單態(tài)射以及n-Ext-phantom-態(tài)射與Extn-滿態(tài)射之間的關(guān)系。

命題1設(shè)是左R-模的短正合列，則

（1）α是n-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)β是Torn-單態(tài)射的；

（2）β是n-Ext-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)α是Extn-滿態(tài)射的。

證明（1）對(duì)任意的右R-模M，由短正合序列

可得正合序列

所 以，Torn(M，α)=0 當(dāng)且僅當(dāng)Torn(M，β)單態(tài)射，故α是n-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)β是Torn-單態(tài)射的。

（2）對(duì)任意的（有限表示）左R-模N，由短正合序列

可得正合序列

因此，Extn(N，β)=0 當(dāng)且僅當(dāng)Extn(N，α)是滿態(tài)射的，故β是n-Ext-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)α是Extn-滿態(tài)射的。

則

（1）f是n-Ext-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)h是n-Ext-phantom-態(tài)射的；

（2）f是Extn-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)h是Extn-單態(tài)射的。

證明對(duì)任意的（有限表示）左R-模X，由短正合序列

可得正合序列

因?yàn)镋xtn(X，i)單態(tài)射，所以Extn?1(X，π)滿態(tài)射?？紤]行正合的交換圖：

從而有

（1）f是n-Ext-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)θ滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)ξ滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)h是n-Extphantom-態(tài)射的；

（2）f是Extn-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)θ=0 當(dāng)且僅當(dāng)ξ=0 當(dāng)且僅當(dāng)h是Extn-單態(tài)射的。

命題3設(shè)f，g，h是R-Mod 中態(tài)射 的，且滿足fg=h。若f是Torn-單態(tài)射的，則

（1）h是n-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)g是nphantom-態(tài)射的；

（2）h是Torn-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)g是Torn-單態(tài)射的。

證明對(duì)任意的右R-模M，有

因?yàn)門orn(M，f)單態(tài)射，所以有

（1）Torn(M，h)=0 當(dāng)且僅當(dāng)Torn(M，g)=0，故h是n-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)g是nphantom-態(tài)射的；

（2）Torn(M，h) 是單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)Torn(M，g)是單態(tài)射的，從而h是Torn-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)g是Torn-單態(tài)射的。

命題4設(shè)f，g，h是R-Mod 中態(tài)射的，且滿足fg=h。若g是Extn-滿態(tài)射的，則

（1）h是n-Ext-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)f是n-Ext-phantom-態(tài)射的；

（2）h是Extn-滿態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)f是Extn-滿態(tài)射的。

證明對(duì)任意的（有限表示）左R-模N，有

因?yàn)镋xtn(N，g)滿態(tài)射，所以有

（1）Extn(N，h)=0 當(dāng)且僅當(dāng)Extn(N，f)=0，故h是n-Ext-phantom-態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)f是n-Extphantom-態(tài)射的；

（2）Extn(N，h)滿態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)Extn(N，f)滿態(tài)射，從而h是Extn-滿態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)f是Extn-滿態(tài)射的。

如果對(duì)任意的左R-模M，有

是正合的，則稱R-Mod 中的短正合序列

是純正合的［9］，或者等價(jià)地，對(duì)任意的（有限表示）R-模N，有

是正合的，則稱X是Y的純子模，Z是Y的純商模。

如果對(duì)每個(gè)左R-模純正合序列

均是正合的，則稱左R-模M是純內(nèi)射的。顯然，每個(gè)內(nèi)射左R-模都是純內(nèi)射的。

由文獻(xiàn)［5］，R-Mod 中的滿態(tài)射f是Tor1-滿態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)f是純滿的；由文獻(xiàn)［7］，R-Mod 中的單態(tài)射g是Ext1-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)g是純單的。

定理1設(shè)R是一個(gè)環(huán)，則

（1）如果左R-模態(tài)射f：M→N是Torn-單態(tài)射的，則對(duì)任意的正整數(shù)m(m>n)，f是Torm-單態(tài)射的；

（2）如果環(huán)R是凝聚環(huán)，且R-Mod 中的R-模態(tài)射g：P→Q是Extn-滿態(tài)射的，則對(duì)任意的正整數(shù)m(m>n)，g是Extm-滿態(tài)射的。

證明（1）對(duì)任意的右R-模X，存在短正合列

其中，H為投射右R-模。于是可得行正合的交換圖：

因?yàn)?Torn(K，f) 是單態(tài)射的，所以Torn+1(A，f)是單態(tài)射的，由數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意的正整數(shù)m且m>n，f是Torm-單態(tài)射的。

（2）對(duì)任意的（有限表示）左R-模Y，因?yàn)镽是凝聚環(huán)，所以存在短正合列

其中，F(xiàn)為有限生成投射左R-模，E為有限表示左R-模。于是可得行正合的交換圖：

因?yàn)镋xtn(E，g)滿態(tài)射，所以Extn+1(B，g)滿態(tài)射，從而由數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意的正整數(shù)m且m>n，g是Extm-滿態(tài)射的。

定理2設(shè)R是一個(gè)環(huán)，則

（1）左R-模態(tài)射f：M→N是Torn-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)在Mod-R中有f+：N+→M+是Extn-滿態(tài)射的；

（2）如果環(huán)R是凝聚環(huán)，那么R-Mod 中的R-模態(tài)射g：P→Q是Extn-滿態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)Mod-R中的g+：Q+→P+是Torn-單態(tài)射的。

證明（1）對(duì)任意的（有限表示）右R-模X，可得交換圖：

由文獻(xiàn)［10］，因θ和δ標(biāo)準(zhǔn)自然同構(gòu)，所以Torn(X，f)是單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)Torn(X，f)+滿態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)Extn(X，f+)滿態(tài)射。因此，R-Mod 中的左R-模態(tài)射f：M→N是Torn-單態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)Mod-R中的f+：N+→M+是Extn-滿態(tài)射的。

（2）對(duì)任意的（有限表示）左R-模Y，可得交換圖：

由文獻(xiàn)［10］，因μ 和σ 同構(gòu)，所以Extn(Y，g)滿態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)Extn(Y，g)+單態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)Torn(g+，Y)單態(tài)射。因此，R-Mod 中的R-模態(tài)射g：P→Q是Extn-滿態(tài)射的當(dāng)且僅當(dāng)Mod-R中的g+：Q+→P+是Torn-單態(tài)射的。