胡 響，武 杰*，張寶虎

(1.河北工業(yè)大學(xué)土木與交通學(xué)院，天津 300401；2.天津市公路工程總公司，天津 300401)

目前，橋梁作為中國公路與鐵路中的重要組成部分，在經(jīng)濟(jì)和國防中的地位和作用也越來越突出。隨著使用時(shí)間的不斷延長，材料出現(xiàn)損傷和老化等問題，導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)開裂。裂縫的存在直接影響結(jié)構(gòu)的安全性[1]。通過數(shù)值模擬的方法來模擬鋼筋混凝土橋梁的裂紋擴(kuò)展和計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)的承載力，對于現(xiàn)役橋梁的安全狀態(tài)評(píng)估有著非常重要的意義。

有限元法作為當(dāng)前數(shù)值模擬的主流方法之一，對解決復(fù)雜的工程分析計(jì)算問題提供了有效的途徑[2]，以有限元為框架發(fā)展起來的混凝土斷裂模擬方法主要有離散裂縫模型和彌散裂縫模型。文龍飛等[3]提出的改進(jìn)型擴(kuò)展有限元法雖然解決了傳統(tǒng)擴(kuò)展有限元法中總體方程高度病態(tài)[4]和計(jì)算收斂性問題，但是仍然沒有解決擴(kuò)展有限元法不能多裂縫聯(lián)合擴(kuò)展問題[5-6]。彌散裂縫模型通過降低單元?jiǎng)偠戎敝翞榱?，來達(dá)到模擬開裂的效果。損傷在裂縫區(qū)的影響會(huì)由于網(wǎng)格的大小和方向的不同而造成不同程度的彌散，模擬鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中的裂縫效果與真實(shí)裂縫存在差異[7]。Molnar等[8]利用魯棒交錯(cuò)方案使傳統(tǒng)相場理論在ABAQUS上得到實(shí)現(xiàn)，解決了計(jì)算裂縫擴(kuò)展需要單獨(dú)的標(biāo)準(zhǔn)框架與斷裂準(zhǔn)則問題；Wu等[9]提出的統(tǒng)一相場理論，解決了傳統(tǒng)相場理論基于牛頓法的單塊算法[10-11]在求解耦合控制方程時(shí)的性能問題以及計(jì)算混凝土裂縫擴(kuò)展誤差過大的現(xiàn)象，但由于裂紋帶內(nèi)損傷分布所需的精細(xì)分辨率，該方法計(jì)算成本過大，使得該方法局限于理論和小規(guī)模問題[8，12]。

近年來，中外學(xué)者利用內(nèi)聚力模型對細(xì)觀混凝土結(jié)構(gòu)[13-14]的開裂過程進(jìn)行了大量的研究，這些都是基于細(xì)觀層次對素混凝土模型的研究，而對鋼筋混凝土梁的開裂過程研究較少?，F(xiàn)通過內(nèi)聚力模型對鋼筋混凝土梁的開裂過程進(jìn)行數(shù)值模擬，并分析其受力特性和裂紋擴(kuò)展情況。

1 內(nèi)聚力模型

1.1 基本理論

黏聚裂紋模型假設(shè)在真實(shí)裂紋尖端前存在一個(gè)斷裂過程區(qū)，該區(qū)域在斷裂過程中發(fā)生能量耗散。圖1為法向牽引力tn與裂紋張開位移δn的關(guān)系曲線圖。剪切牽引力(ts和tt)-裂紋滑動(dòng)位移(δs和δt)關(guān)系也可以定義類似的牽引分離曲線。

圖1 雙線性內(nèi)聚應(yīng)力-相對位移關(guān)系Fig.1 Bilinear cohesive stress-relative displacement

采用雙線性內(nèi)聚力模型，可以將混凝土的斷裂過程分為3個(gè)階段。

(1)彈性階段。在裂紋開始前，假設(shè)線彈性上升階段來模擬初始無裂紋混凝土材料，材料剛度為kn0。隨著相對位移的增加，應(yīng)力呈線性關(guān)系增長，直到達(dá)到初始的損傷條件。

(2)軟化階段。當(dāng)拉應(yīng)力達(dá)到最大值tn0(相對位移達(dá)到δ0)后，內(nèi)聚力tn隨著相對位移δn的增加而線性減小。直到為零。

(3)剝離階段。當(dāng)最大有效相對位移達(dá)到δnf時(shí)，隨著相對位移繼續(xù)增大，內(nèi)聚力始終為零。

采用二次名義應(yīng)力準(zhǔn)則作為初始損傷準(zhǔn)則。當(dāng)各方向名義應(yīng)力比的平方和等于1時(shí)，表示材料開始出現(xiàn)損傷，表達(dá)式為

(1)

式(1)中：tn、ts和tt分別為法向、切向的應(yīng)力；〈〉為Macaulay括號(hào)。

黏聚裂紋模型是基于損傷力學(xué)為框架的，采用的損傷系數(shù)D(D[0,1])來描述黏聚單元達(dá)到強(qiáng)度后的損傷程度，損傷系數(shù)D是有效相對位移δm的函數(shù)，表達(dá)式為

(2)

式(2)中：δn、δt、δs分別為法相、切向的相對位移，表示為

(3)

損傷系數(shù)表示為

(4)

式(4)中：δm,max為在加載過程中的最大有效相對位移；δm0和δmf分別為損傷起始和完全破壞時(shí)的有效相對位移。損傷系數(shù)D在開始損傷后再加載時(shí)，從0單調(diào)增加到1；當(dāng)D=0時(shí)，材料未損傷；當(dāng)D=1時(shí)，材料損傷失效。剛度kn、ks和kt可以計(jì)算為

(5)

相應(yīng)的應(yīng)力表示為

(6)

1.2 內(nèi)聚單元的插入

如圖2所示，Cohesive單元能夠與正六面體單元兼容，用于六面體實(shí)體單元的材料模型與用于內(nèi)聚單元的材料模型是相互獨(dú)立的?；贏BAQUS有限元軟件平臺(tái)，利用開發(fā)的Python程序，在模型中插入Cohesive單元，允許裂紋在插入了Cohesive的區(qū)域中自由擴(kuò)展，解決了裂紋的擴(kuò)展路徑需要預(yù)先設(shè)置的問題。

圖2 嵌入內(nèi)聚單元前后的有限元網(wǎng)格Fig.2 Finite element mesh before and after cohesive element embedding

2 素混凝土數(shù)值模擬

混凝土是由多種材料復(fù)合而成的非線性材料，其特征是裂紋擴(kuò)展，而鋼筋的變形是塑性的，導(dǎo)致鋼筋混凝土的非線性行為非常復(fù)雜，難以精確模擬，特別是混凝土中裂紋的萌生和擴(kuò)展問題。為了探究內(nèi)聚力模型在素混凝土中的適用性，分別先對帶缺口的三點(diǎn)彎曲梁試驗(yàn)與L型板試驗(yàn)進(jìn)行模擬。

2.1 帶缺口的三點(diǎn)彎曲梁

為了驗(yàn)證內(nèi)聚力模型的適用性，接下來考慮用文獻(xiàn)[15]的帶缺口三點(diǎn)彎曲梁實(shí)驗(yàn)，梁跨中處F為施加的荷載。如圖3所示：構(gòu)件長度為450 mm，寬度為100 mm，厚度為100 mm，在梁跨中預(yù)制50 mm×5 mm的長方形缺口，F(xiàn)為荷載。材料參數(shù)取自文獻(xiàn)[15]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，彈性模量E0=2.0 ×104MPa，泊松比v=0.2，抗拉強(qiáng)度ft=2.4 MPa，斷裂能Gf=0.113 N/mm。

圖3 幾何形狀、荷載和邊界條件Fig.3 Geometry load and boundary conditions

模型中的內(nèi)聚力單元采用雙線性本構(gòu)關(guān)系，單元網(wǎng)格沿著梁長方向均勻加密，最大網(wǎng)格尺寸為10 mm，最小網(wǎng)格尺寸為2 mm。網(wǎng)格在模型的中部進(jìn)行局部的加密，如圖4所示。

圖4 有限元網(wǎng)格Fig.4 Finite element mes

用內(nèi)聚力模型數(shù)值模擬的結(jié)果如圖5所示，在Wu[16]的工作中，利用相場理論模擬的結(jié)果如圖6所示，當(dāng)SDV=1時(shí)，表示出現(xiàn)裂縫。結(jié)果表明，裂紋路徑是一致的，都是從梁的跨中部位開始斷裂。

圖5 用內(nèi)聚力模型預(yù)測裂紋的路徑Fig.5 Prediction of crack path using cohesion model

圖6 用相場理論預(yù)測裂紋的路徑Fig.6 Predicting crack paths using phase field theory

如圖7所示，通過數(shù)值模擬與試驗(yàn)的荷載位移曲線對比，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。由于離散化的誤差，荷載峰值和能量耗散被高估。

圖7 荷載位移關(guān)系曲線Fig.7 Load-displacement relation curve

2.2 L型混凝土板的混合破壞模式

通過一個(gè)三點(diǎn)彎曲梁的試驗(yàn)與模擬對比，驗(yàn)證了混凝土的Ι型斷裂，下面通過Wu[16]的L型板的混合失效模式試驗(yàn)，來驗(yàn)證內(nèi)聚力模型在混合失效模式中的情況。試件的底部是固定的，垂直荷載在距離水平右邊緣30 mm處向上施加，幾何形狀與邊界條件如圖8(a)所示，厚度為100 mm，材料參數(shù)：彈性模量E0=2.0 ×104MPa，泊松比v=0.18，抗拉強(qiáng)度ft=2.7 MPa，斷裂能Gf=0.09 N/mm。

圖8(b)所示為有限元網(wǎng)格劃分，對可能出現(xiàn)裂紋的局部區(qū)域，進(jìn)行網(wǎng)格加密處理。

由圖9可以看到，對于混合破壞失效的情形，內(nèi)聚力模型仍然能很好地預(yù)測裂紋路徑的產(chǎn)生和擴(kuò)展，裂紋的擴(kuò)展路徑與試驗(yàn)的結(jié)果基本一致。

圖9 L型板混合失效圖Fig.9 Mixing failure diagram of L-shaped plate

在圖10所示的荷載位移曲線中，內(nèi)聚力模型與試驗(yàn)的數(shù)據(jù)吻合較好，從混凝土的混合破壞失效模式的對比結(jié)果來看，內(nèi)聚力模型適合預(yù)測混凝土結(jié)構(gòu)的失效破壞。

圖10 荷載-位移曲線Fig.10 Load-displacement curve

3 鋼筋混凝土梁數(shù)值模擬

根據(jù)上述對于素混凝土結(jié)構(gòu)模擬結(jié)果來看，對于混凝土材料的Ι型斷裂和混凝土結(jié)構(gòu)的混合斷裂模式，內(nèi)聚力模型的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較吻合。在此基礎(chǔ)上展開對鋼筋混凝土梁的模擬。

以那麗巖[17]完成的鋼筋混凝土簡支梁試驗(yàn)為原型，鋼筋混凝土梁的尺寸及加載方式如圖11所示，左邊支座約束x方向、y方向和z方向，右邊支座約束y方向和z方向，在簡支梁三分點(diǎn)位置處施加荷載。構(gòu)件配筋形式見圖12。

圖11 梁的尺寸及加載方式Fig.11 Size and loading mode of beam

圖12 簡支梁配筋詳圖Fig.12 Detailed drawing of simply supported beam reinforcement

構(gòu)件中鋼筋采用理想彈塑性模型，未達(dá)到屈服強(qiáng)度前處于完全彈性階段，屈服后應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為一條水平直線，鋼筋參數(shù)來自文獻(xiàn)[17]，其彈性模量Es=210 GPa,泊松比v=0.3，抗拉強(qiáng)度fy=457 MPa。模型中混凝土采用C3D8R楔形單元，鋼筋采用T3D2桁架單元，Cohesive單元類型采用COH3D8，鋼筋與混凝土采用分離式建模，鋼筋與混凝土保持共同協(xié)調(diào)變形?；炷敛牧蠀?shù)見表1。

表1 混凝土材料參數(shù)Table 1 Concrete material parameters

圖13所示為試驗(yàn)的鋼筋混凝土梁裂縫分布圖，圖14為內(nèi)聚力模型模擬三維鋼筋混凝土梁的斷裂過程圖。開始施加荷載時(shí)，由于所受的彎矩和力較小，鋼筋混凝土梁未出現(xiàn)開裂，從彎矩-撓度曲線可以看出，梁整體表現(xiàn)為彈性變形特征，荷載-撓度曲線近似為一條直線。隨著荷載的繼續(xù)增加，當(dāng)鋼筋混凝土梁跨中的撓度達(dá)到1 mm附近的時(shí)候，跨中受拉區(qū)出現(xiàn)開裂[圖14(a)]，在圖15的彎矩-撓度曲線中出現(xiàn)一個(gè)明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這與文獻(xiàn)[22]中描述的試驗(yàn)結(jié)論是一致的。在梁的跨中區(qū)域出現(xiàn)垂直裂縫后，隨著荷載的增加，構(gòu)件整體變形較為穩(wěn)定，裂縫條數(shù)逐漸增多，垂直裂縫高度穩(wěn)定增長。在梁跨中的垂直裂縫擴(kuò)展到一定程度時(shí)[圖14(b)]，鋼筋混凝土梁開始出現(xiàn)斜裂縫，隨著荷載的繼續(xù)增加，跨中垂直裂縫增長緩慢，斜裂縫穩(wěn)定增長,直到受拉鋼筋出現(xiàn)屈服[圖14(c)]。

圖13 鋼筋混凝土梁裂縫分布圖[17]Fig.13 Crack distribution of reinforced concrete beams[17]

圖14 鋼筋混凝土梁斷裂過程圖Fig.14 Fracture process diagram of reinforced concrete beams

圖15 鋼筋混凝土梁跨中彎矩-撓度曲線Fig.15 Mid-span bending moment-deflection curve of reinforced concrete beam

4 結(jié)論

提供了一種模擬鋼筋混凝土梁斷裂擴(kuò)展的方法，通過對混凝土區(qū)域插入粘結(jié)單元，實(shí)現(xiàn)鋼筋混凝土梁的三維裂紋擴(kuò)展模擬。主要結(jié)論如下。

(1)通過對帶缺口的三點(diǎn)彎曲梁和L型混凝土板的模擬結(jié)果來看，提供的方法能較好地模擬出素混凝土結(jié)構(gòu)有預(yù)制裂紋和沒有預(yù)制裂紋兩種情況下的裂紋擴(kuò)展。同時(shí)對于素混凝土的Ι型斷裂和混合型斷裂的模擬效果較好。

(2)通過對鋼筋混凝土梁的數(shù)值模擬，該方法不僅可以模擬鋼筋混凝土梁的荷載-位移響應(yīng)，而且可以模擬與試驗(yàn)觀察到的破壞模式相對應(yīng)的三維斷裂行為。

(3)雖然該方法模擬的鋼筋混凝土梁斷裂過程與試驗(yàn)的結(jié)果較為一致，但是該方法模擬的裂紋擴(kuò)展特性，如裂紋長度和寬度，還需要與試驗(yàn)相比較，進(jìn)行定量驗(yàn)證，這也是研究的下一步內(nèi)容。