◎郭培昌 高世臣 廉海榮 耿鳳杰 (中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院,北京 100083)
“數(shù)值分析”課程,主要講授使用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的方法,包括理論分析及其軟件實(shí)現(xiàn).在中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京),“數(shù)值分析”課程是全校理工類專業(yè)研究生的必修公共基礎(chǔ)課,它既有純粹數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)密的科學(xué)性,又有著具體應(yīng)用的廣泛性和實(shí)際實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性,是一門實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程.這門課不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論功底,也要求學(xué)生具有較好的程序編寫能力,即算法實(shí)現(xiàn)能力.這門課內(nèi)容涵蓋數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、最優(yōu)化方法、常微分方程數(shù)值解、偏微分方程數(shù)值解等學(xué)科方向知識(shí)[1],涉及面廣,內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣,在數(shù)學(xué)類課程中一直被認(rèn)為是教師難教、學(xué)生難學(xué)的課程.
基于信息技術(shù)支撐的慕課教學(xué),為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供了極大的方便,給新時(shí)期的數(shù)學(xué)類課程教學(xué)工作帶來了機(jī)遇.[2]但眾所周知,數(shù)學(xué)類課程邏輯性和嚴(yán)密性強(qiáng)[3,4,5],大量的定理推導(dǎo)計(jì)算和證明步驟需要一步步講解呈現(xiàn)給學(xué)生,板書教學(xué)在這方面必不可少.我校研究生“數(shù)值分析”課程主要面向工科專業(yè),相關(guān)學(xué)科的科學(xué)研究非常依賴數(shù)值計(jì)算方法,所以教學(xué)要求高,應(yīng)用性強(qiáng).
基于課程特點(diǎn)和我校相關(guān)專業(yè)的實(shí)際需求,我們對(duì)研究生“數(shù)值分析”公共課程積極開展教學(xué)改革,在借鑒優(yōu)秀教學(xué)經(jīng)驗(yàn)[6,7,8,9]的基礎(chǔ)上,以板書教學(xué)為主、慕課資源為輔,結(jié)合探究性學(xué)習(xí)方式,激發(fā)學(xué)生興趣并培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力,有效提升了教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果.
板書在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有獨(dú)特而重要的地位.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的張繼平院士曾經(jīng)多次提到板書的重要性,他在央視“開講啦”公開課中講到,“板書傳遞了教師的思想和品格,是靈魂在指尖的跳躍.數(shù)學(xué)家的表達(dá)離不開黑板.對(duì)黑板和粉筆的堅(jiān)持背后,是數(shù)學(xué)家一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的學(xué)風(fēng)”.“數(shù)值分析”課程涉及大量數(shù)學(xué)知識(shí)的推導(dǎo)證明,概念性和邏輯性強(qiáng),初學(xué)者很難快速理解.而研究生“數(shù)值分析”課程的學(xué)生,來自不同院系專業(yè),數(shù)理基礎(chǔ)各有千秋.課堂教學(xué)使用粉筆在黑板上一步步演算推導(dǎo),可以根據(jù)學(xué)生表情互動(dòng),靈活調(diào)整講解的快慢程度、詳細(xì)程度,更好地把握教學(xué)節(jié)奏.
例如,在講授線性方程組敏感性分析內(nèi)容時(shí),在使用多媒體課件的基礎(chǔ)上,強(qiáng)化板書授課,有助于學(xué)生理解新知識(shí).首先,通過一個(gè)具體的病態(tài)方程組例子,展示數(shù)據(jù)的微小誤差可能對(duì)解影響很大.這時(shí)候,不涉及推導(dǎo)計(jì)算,如果采用多媒體課件展示課前準(zhǔn)備好的方程組例子,會(huì)省去課上的抄寫時(shí)間,也有利于學(xué)生集中注意力,得到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀認(rèn)識(shí).接下來,關(guān)于定量刻畫系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)擾動(dòng)對(duì)解的影響,這需要合并整理原始方程和擾動(dòng)后方程的范數(shù)表達(dá)式,此時(shí),利用板書逐步展示推導(dǎo)過程,變得非常有必要了.這時(shí)如果繼續(xù)采用多媒體課件來演示中間推導(dǎo)過程,多數(shù)學(xué)生難以消化理解.
再比如,在講授線性方程組的古典迭代法時(shí),展示雅克比迭代計(jì)算格式,可以用多媒體課件,節(jié)省現(xiàn)場(chǎng)手寫時(shí)間.接下來推導(dǎo)雅克比迭代法的收斂性質(zhì)時(shí),需要利用對(duì)角占優(yōu)矩陣相關(guān)知識(shí)來計(jì)算迭代矩陣的特征值分布,這時(shí)現(xiàn)場(chǎng)板書就非常有必要了.通過粉筆書寫,教師可以引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生一步步深入思考,使得學(xué)生對(duì)知識(shí)的消化理解變得水到渠成.
慕課是板書教學(xué)的有益補(bǔ)充,共享和開放的慕課平臺(tái)資源極大豐富了教學(xué)內(nèi)容.學(xué)生通過對(duì)名校名師等優(yōu)質(zhì)課程的在線學(xué)習(xí),拓寬了知識(shí)面,可以從視頻課程切入知識(shí)點(diǎn)的角度理解課本知識(shí),這對(duì)課堂授課是有益的補(bǔ)充.同時(shí),慕課大大擴(kuò)充了教學(xué)的時(shí)間與空間.從固定教室上課拓展到隨時(shí)隨地學(xué)習(xí),可以是周末,可以是晚上,可以是宿舍,可以是家里.但是,網(wǎng)上慕課資源,魚龍混雜,需要任課教師指導(dǎo)學(xué)生挑選適合自己的課程資源.結(jié)合我校實(shí)際情況,我們著重參考東北大學(xué)的數(shù)值分析國(guó)家精品課程,以及華東師大的數(shù)值分析課程.另一方面,慕課平臺(tái)上的視頻課程大多都十分簡(jiǎn)短,普遍將關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)信息進(jìn)行了濃縮.由于借助多媒體課件輔助教學(xué),且缺少師生之間的互動(dòng),一個(gè)章節(jié)的視頻課講授時(shí)間往往也就半小時(shí)左右.在課外進(jìn)行線上課程資源學(xué)習(xí)的時(shí)候,有些知識(shí)點(diǎn)需要學(xué)生反復(fù)觀看,并且暫停思考推算才能明白.我們認(rèn)為慕課最好作為課前預(yù)習(xí)或者課后復(fù)習(xí)的補(bǔ)充手段,而在課堂上最好采用能與學(xué)生進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋的模式進(jìn)行教學(xué),這樣有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高.
因此,在數(shù)值分析課程的實(shí)際教學(xué)中,在對(duì)重要、困難的數(shù)學(xué)定理進(jìn)行推導(dǎo)講解時(shí),我們采用板書的方式,這比單純利用多媒體課件演示,更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的消化吸收.同時(shí)要充分利用慕課資源,幫助學(xué)生在課下自主學(xué)習(xí).
課程大綱規(guī)定教學(xué)的知識(shí),也會(huì)明確教材和參考書.但教學(xué)的實(shí)施不局限于一本教材.我們會(huì)建議學(xué)生同時(shí)閱讀其他版本的教材和專著,每一本教材或?qū)Vc作者自身的學(xué)科背景知識(shí)和科研息息相關(guān).同一個(gè)知識(shí)內(nèi)容,從不同的視角看待,就有不同的解釋.“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”.博采眾長(zhǎng),可以吸收不同的思想,提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解.
同時(shí)也要非常重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí),精心準(zhǔn)備課外閱讀材料,供學(xué)生在學(xué)習(xí)教材知識(shí)之外,自主學(xué)習(xí).這些閱讀材料是課本基礎(chǔ)知識(shí)和前沿研究進(jìn)展的橋梁,在選取上遵循幾個(gè)原則:一、與課程內(nèi)容相關(guān).二、適合學(xué)生學(xué)習(xí)難度.三、每個(gè)章節(jié)對(duì)應(yīng)一到兩篇.四、結(jié)合地球科學(xué)特色.
比如,在講解共軛梯度法相關(guān)內(nèi)容時(shí),提供了英文文獻(xiàn)“An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain”,這是伯克利加州大學(xué)教授撰寫的專題課程講義,深入淺出地介紹了求解大規(guī)模線性方程組的共軛梯度法及更廣泛的克雷洛夫子空間方法;再比如,在講解非線性方程解法時(shí),提供了英文文獻(xiàn)“History Development of the Newton-Raphson method”[10],這篇文獻(xiàn)介紹了用于非線性方程求根的牛頓類迭代格式的歷史演化以及設(shè)計(jì)靈感;結(jié)合我校地質(zhì)學(xué)科特色,還可以向?qū)W生提供地質(zhì)學(xué)和數(shù)值計(jì)算交叉領(lǐng)域的文獻(xiàn).例如,在講解矩陣特征值內(nèi)容時(shí),提供“基于最大特征值估計(jì)的C3算法及應(yīng)用”[11]這篇文獻(xiàn).在揭示斷裂、地質(zhì)層序等地質(zhì)現(xiàn)象時(shí),相干體技術(shù)是一種重要的不連續(xù)性檢測(cè)技術(shù),這是基于特征值結(jié)構(gòu)分析的算法.這樣我校研究生能夠清楚看到數(shù)值分析知識(shí)在本專業(yè)領(lǐng)域的直接應(yīng)用.
通過閱讀這些文獻(xiàn)材料,一方面,大大開闊學(xué)生眼界,增加其知識(shí)面廣度,把數(shù)值分析知識(shí)和自己所攻讀專業(yè)結(jié)合起來,以科研論文作為驅(qū)動(dòng),增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的驅(qū)動(dòng)力.另一方面,加深了學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的理解,并兼顧不同數(shù)學(xué)知識(shí)水平學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.這可以讓優(yōu)秀學(xué)生“吃飽”,有利于培養(yǎng)具備扎實(shí)數(shù)理基礎(chǔ)的地學(xué)領(lǐng)域拔尖人才.
學(xué)好“數(shù)值分析”課程很難,不僅對(duì)數(shù)學(xué)的要求高,還要熟練操作計(jì)算機(jī),甚至還要對(duì)所需解決的實(shí)際問題背景知識(shí)有具體的了解,這就給學(xué)生帶來了較大的壓力.我們重視培養(yǎng)學(xué)生的編程計(jì)算能力.在習(xí)題布置方面,不僅包括理論推導(dǎo),也有上機(jī)編程的計(jì)算題目.將課堂上所學(xué)到的數(shù)學(xué)算法通過編程、上機(jī)實(shí)現(xiàn),得到計(jì)算機(jī)的計(jì)算結(jié)果,這一點(diǎn)非常重要.
例如,關(guān)于曲線擬合的最小二乘法,布置上機(jī)編程計(jì)算題目,分別按照法方程和正交分解方法來計(jì)算最小二乘解,在病態(tài)最小二乘問題上,觀察這兩種算法對(duì)計(jì)算結(jié)果精確度的影響.這樣好處有以下幾方面:一、有助于理解課上所學(xué)到的數(shù)學(xué)理論知識(shí),因?yàn)橄胍幊龀绦虼a,首先必須透徹理解算法的數(shù)學(xué)原理;二、加強(qiáng)學(xué)生的編程應(yīng)用能力,使學(xué)生熟練掌握編程語言;三、學(xué)生可以根據(jù)程序代碼的運(yùn)行結(jié)果來比較算法的優(yōu)劣,直觀感受算法的穩(wěn)定性、運(yùn)算量、運(yùn)算時(shí)間等;四、可以增加趣味性,有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
再比如,在介紹求解線性方程組的古典迭代法時(shí),布置編程計(jì)算題目,分別按照雅克比迭代和高斯賽德迭代格式來求解方程組,可以讓學(xué)生通過實(shí)際運(yùn)算時(shí)間來比較兩種算法的漸近收斂速度.這時(shí)再與高斯消去法的程序運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行比較,可以直觀感受到迭代法在處理大規(guī)模稀疏問題方面的優(yōu)勢(shì),進(jìn)而深入分析運(yùn)算量和存儲(chǔ)量對(duì)算法效果的影響.
另外,在利用好慕課資源的基礎(chǔ)之上,我們抽出專門的兩個(gè)學(xué)時(shí)來介紹MATLAB和Python,結(jié)合技術(shù)發(fā)展趨勢(shì),向?qū)W生介紹流行編程語言、軟件產(chǎn)品.伴隨著人工智能與大數(shù)據(jù)技術(shù)的迅猛發(fā)展,和課程知識(shí)相關(guān)的各種軟件包產(chǎn)品百花齊放、推陳出新,業(yè)界和學(xué)術(shù)界流行的編程語言也與時(shí)俱進(jìn)、不斷變化.以常用的編程軟件MATLAB為例,在最近幾次的版本更新中,大幅增加了機(jī)器學(xué)習(xí)方面的函數(shù)程序.同樣于人工智能領(lǐng)域研究的火爆,由于具有良好的可擴(kuò)展性,Python編程語言變得非常流行.我們及時(shí)向?qū)W生介紹這些工具,使學(xué)生跟上計(jì)算機(jī)算法語言的發(fā)展.
學(xué)生評(píng)價(jià)說,“通過一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí),我的編程能力比學(xué)期初提高了很多.當(dāng)我發(fā)現(xiàn)自己完全可以獨(dú)立完成平時(shí)的編程作業(yè)后,我逐漸有了編程的自信心.這使得我在研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中,敢于編程并求解得到了時(shí)間序列分析的結(jié)果.如果沒有這一學(xué)期完成‘?dāng)?shù)值分析’編程作業(yè)的經(jīng)歷,我不會(huì)對(duì)自己的編程能力抱有信心,可能從一開始就放棄去思考這個(gè)問題了”.此外,在編程時(shí)可以對(duì)算法的本身進(jìn)行更充分透徹的了解,如果對(duì)算法的核心思想不了解,那肯定是編不出來程序的.學(xué)生反饋說,“在程序反復(fù)報(bào)錯(cuò)與對(duì)錯(cuò)誤的修正中,我加深了對(duì)算法相關(guān)數(shù)學(xué)原理的理解”.這幫助學(xué)生理解了優(yōu)秀算法的精妙之處.
數(shù)學(xué)素質(zhì)已成為今天培養(yǎng)高層次創(chuàng)新人才的重要基礎(chǔ).教學(xué)改革是一項(xiàng)長(zhǎng)期工作,需要不斷探索和實(shí)踐.研究生“數(shù)值分析”課程的教學(xué)實(shí)踐,一直建立在充分研討的基礎(chǔ)上,始終堅(jiān)持“謹(jǐn)慎推進(jìn)”的原則.我們今后將主要圍繞以下問題,繼續(xù)展開教學(xué)探索:一、如何把思政元素融入研究生“數(shù)值分析”教學(xué)中.二、結(jié)合學(xué)生主修專業(yè)特點(diǎn),如何因材施教.