李嘉諾， 程毛林

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

如今隨著時代和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，信息化時代如約而至，信息的變化也是日新月異。 通過對現(xiàn)有的信息數(shù)據(jù)進(jìn)行分析模擬可以有效的對未來的發(fā)展趨勢做出推測和預(yù)估。 目前研究者使用到的統(tǒng)計預(yù)測模型有很多，比如多元線性回歸、時間序列預(yù)測等。 在1982 年3 月，我國學(xué)者鄧聚龍教授在國際上首先提出了灰色系統(tǒng)理論，該系統(tǒng)理論不需要大量的樣本，樣本也不需要規(guī)律性分布，預(yù)測準(zhǔn)確度高。 由于其顯著的優(yōu)點，從此至今，灰色系統(tǒng)理論被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測、能源預(yù)測、環(huán)境評估等多個方面。

灰色GM（1，1）模型作為灰色系統(tǒng)理論的最重要的模型之一，受到無數(shù)人的推崇。 近年來，有越來越多的專家學(xué)者對GM（1，1）模型進(jìn)行研究和優(yōu)化改進(jìn)。 其中，徐進(jìn)軍等人提出了一種新的基于一次累加序列約束和基于原始序列約束條件下積分參數(shù)的確定方法[1]；徐華鋒等人將灰色作用量b 改進(jìn)為動態(tài)的b1+b2k 從而優(yōu)化了GM（1，1）模型[2]；何文章等人運(yùn)用線性規(guī)劃來代替最小二乘法對模型參數(shù)進(jìn)行了求解[3]；劉斌等人利用最小二乘法確定白化權(quán)函數(shù)的時間響應(yīng)函數(shù)中的常數(shù)C，來構(gòu)建GM（1，1）的時間響應(yīng)函數(shù)的最優(yōu)模型[4]；羅黨等人通過用指數(shù)數(shù)列對x（1）的鄰值生成數(shù)z（1）k 進(jìn)行替換來達(dá)到對GM（1，1）模型的優(yōu)化，并且使模型在短期、中期及長期預(yù)測中擴(kuò)大了適用范圍[5]；彭正明等人用積分優(yōu)化、二次擬合優(yōu)化等優(yōu)化方法分步對GM（1，1）模型進(jìn)行了改進(jìn)[6]；盧懿等人通過加入調(diào)節(jié)因子λ 來優(yōu)化背景值的公式[7]；楊華龍等人使用自動尋優(yōu)定權(quán)對背景值進(jìn)行選擇，并且基于最小二乘法原理對GM（1，1）模型的初始值進(jìn)行改進(jìn)[8]；許秀莉等人用序列算子和影響因子對原始序列的數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的處理，提高了GM（1，1）模型的精度[9]；原玉昌等人對背景值重構(gòu)和用等維遞補(bǔ)原理對GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了等維遞補(bǔ)模型[10]；豆紅磊等人用Lagrange 插值法對原始序列進(jìn)行修正，然后用修正后的數(shù)據(jù)建立GM（1，1）模型，改善了誤差和遺漏數(shù)據(jù)導(dǎo)致預(yù)測精度低、殘差大等問題[11]；邱利軍等人通過對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)ln（x（0）（i）+c）變換使建模數(shù)據(jù)序列光滑度提高，進(jìn)而提高所建模型的預(yù)測精度[12]；張振超等人通過引入線性時間項的灰色作用量和廣義加權(quán)構(gòu)造最優(yōu)背景值相結(jié)合的方法，構(gòu)建了優(yōu)化背景值的GM（1，1）模型從而減少了預(yù)測的偏差[13]；袁磊等人利用殘差尾段對模型進(jìn)行修正，建立了精度更高的模型[14]；史國軍、程毛林通過構(gòu)建一個新的GM（1，1）拓展模型GM（1，1，dt）對GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測，結(jié)果與傳統(tǒng)模型相比精度大大提高[15]；程毛林通過直接對時間響應(yīng)函數(shù)優(yōu)化并通過三和法和三點法優(yōu)化函數(shù)初始值的方法大大提高了模型的精度[16]；程媛媛、周漢磊等人通過建立灰色預(yù)測模型對蘇州市的ESV 進(jìn)行有效的預(yù)測并且從中得到有效的結(jié)論[17]。

筆者通過借鑒其他專家學(xué)者的思想方法，通過對GM（1，1）模型的白化方程進(jìn)行拓展，旨在能夠更加貼合原始數(shù)據(jù)的非線性變化趨勢，能夠更好地提高預(yù)測精度。

1 拓展的灰色模型

1.1 傳統(tǒng)GM（1，1）模型

傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型基本形式為

x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））為原始時間序列，對其進(jìn)行累和則得到x（0）的AGO 生成數(shù)列x（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），x（1）的鄰值生成數(shù)為z（1）（k）。

對應(yīng)的灰色GM（1，1）模型的白化方程為

其中a 和b 分別是發(fā)展系數(shù)和灰作用量。

用求微分方程的方法可求得傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型的時間相應(yīng)方程為

對其進(jìn)行累減得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值為

1.2 拓展的GM（1，1）模型

通過對傳統(tǒng)模型的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)原始數(shù)列為指數(shù)變化且模擬和預(yù)測的精度和數(shù)據(jù)的增長速率有關(guān)。 為了緩和數(shù)據(jù)增長速率過快導(dǎo)致的精度變化，文中對傳統(tǒng)灰色模型進(jìn)行拓展，以此解決這類問題。設(shè)拓展的GM（1，1）灰色模型基本形式為

稱其為拓展模型2。

1.3 拓展的GM（1，1）模型的時間響應(yīng)方程

拓展的灰色模型的白化方程為

1.4 修正的GM（1，1）模型的參數(shù)估計

2 應(yīng)用實例

第三產(chǎn)業(yè)增加值能夠直觀的反應(yīng)科技、信息、金融三大行業(yè)的發(fā)展水平，因此，預(yù)測并分析第三產(chǎn)業(yè)增加值對我國快速發(fā)展有著重要的意義。 文中選取了2000 到2019 年這20 年間中國第三產(chǎn)業(yè)增加值的數(shù)據(jù)（所有數(shù)據(jù)都來自于國家統(tǒng)計局的《中國統(tǒng)計年鑒》）為基礎(chǔ)來進(jìn)行實例說明。 以2000 年到2016 年這17 年間的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以2017 年到2019 年這3 年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。 中國第三產(chǎn)業(yè)增加值的實際值記為x（0）（t）（單位：億元），有關(guān)資料見表1。

若建立傳統(tǒng)灰色模型GM（1，1），計算得

由a，b 傳統(tǒng)模型的時間響應(yīng)方程得

由x^（0）（t）=x^（1）（t）-x^（1）（t-1）計算出原始序列的模擬值和預(yù)測值，見表1。 各期相對誤差和平均相對誤差見表1。

若建立拓展模型1，計算得

由x^（0）（t）=x^（1）（t）-x^（1）（t-1）計算出原始序列的模擬值和預(yù)測值，見表1。 各期相對誤差和平均相對誤差見表1。

表1 中國第三產(chǎn)業(yè)增加值數(shù)據(jù)以及有關(guān)計算結(jié)果

若建立拓展模型2，計算得代入拓展模型的時間響應(yīng)方程得

由x^（0）（t）=x^（1）（t）-x^（1）（t-1）計算出原始序列的模擬值和預(yù)測值，見表2。 各期相對誤差和平均相對誤差見表2。

表2 拓展模型2 有關(guān)計算結(jié)果

為了更好的比較各模型誤差，對各模型的擬合誤差、預(yù)測誤差、平均誤差作直方圖，如圖1 所示。

圖1 三種模型的誤差對比直方圖

從圖1 可以看出，文中給出的2 種拓展模型的平均模擬相對誤差、平均預(yù)測相對誤差和平均相對誤差相比于傳統(tǒng)模型來說明顯減小，精度明顯提高，表明文中給出的建模方法有很高的可靠性和有效性，可以適用于第三產(chǎn)業(yè)增加值的相對預(yù)測。 相比較而言拓展模型2 的精度最高。

3 結(jié)語

筆者對GM（1，1）模型做了簡單的介紹，通過傳統(tǒng)的GM（1，1）模型引申出其拓展模型GM（1，1，beck）。 同時文中給出等權(quán)和不等權(quán)拓展模型的白化方程、灰微分方程、時間響應(yīng)方程的公式并且給出估算參數(shù)的方法。通過對2000 到2019 年的中國第三產(chǎn)業(yè)增加值數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測，由數(shù)據(jù)顯示發(fā)現(xiàn)等權(quán)的拓展模型和不等權(quán)的拓展模型相比于傳統(tǒng)的GM（1，1）模型來說，在對第三產(chǎn)業(yè)增加值這個數(shù)據(jù)的模擬和預(yù)測方面的精度都有很大的提高，再對兩者進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，不等權(quán)的GM（1，1，beck）模型的精度最高。 通過用不等權(quán)的GM（1，1，beck）模型對2020、2021 年中國第三產(chǎn)業(yè)增加值進(jìn)行預(yù)測得到670 599.42 億元和856 876.06 億元這兩組數(shù)據(jù)。 盡管文中涉及的不等權(quán)的GM（1，1，beck）模型預(yù)測精度比傳統(tǒng)GM（1，1）模型高，但仍然存在著一些問題，比如此拓展模型不一定適應(yīng)所有的數(shù)據(jù)，再者文中的誤差還有提高的可能，可以通過優(yōu)化背景值的方法來進(jìn)一步降低預(yù)測的誤差，這也是未來的一個研究方向。