王嘉航， 顧 玲， 翟相華

（1.蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011；2.河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098）

梯度系統(tǒng)是一類數學系統(tǒng)，是微分方程和動力系統(tǒng)中的重要部分。 如果一個力學系統(tǒng)能夠成為梯度系統(tǒng)，那么就可以利用梯度系統(tǒng)的性質來研究力學系統(tǒng)的行為，特別是穩(wěn)定性問題[1]。 約束力學系統(tǒng)的梯度表示及其穩(wěn)定性分析研究已經取得了一定的重要成果[2-11]，但這些研究成果大多是針對整數階模型的。 在實際應用中，相比整數階模型而言，分數階模型往往更為合適，如在粘彈性流體力學、量子力學、統(tǒng)計力學、砂巖力學等性質研究時往往需要用到分數階微分方程[12]。 近年來，分數維研究逐漸成為了物理、力學以及數學等領域的熱點研究問題。文獻[13]指出任意階α≠1（包括α 為整數）的分數維梯度系統(tǒng)都可稱之為分數維的。關于Birkhoff 系統(tǒng)、非自治Birkhoff 系統(tǒng)、弱非完整系統(tǒng)以及完整系統(tǒng)的分數維梯度表示已有相關研究結果[14-18]。筆者進一步研究準坐標下完整系統(tǒng)、相對運動動力學系統(tǒng)和變質量完整系統(tǒng)這三類系統(tǒng)的二階分數維梯度表示，并利用分數維梯度系統(tǒng)的性質研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，最后舉例說明結果的應用。

1 準坐標下完整系統(tǒng)的分數維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

1.1 系統(tǒng)的運動微分方程

系統(tǒng)的運動微分方程可以表示為[2]

其中L*為用準速度表示的Lagrange 函數，有

對準坐標πs的偏導數定義為

其中Ps*為用準速度表示的非勢廣義力，有

設系統(tǒng)非奇異，即

則可由方程（1）解出所有的ω˙s，簡單記作

1.2 系統(tǒng)的分數維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

設準坐標下完整系統(tǒng)不含時間t，若將方程（6）化為梯度系統(tǒng)，需要將其表示為一階形式，令

則方程（6）可統(tǒng)一表示為

其中

對于式（8），如若滿足以下條件

則它是一個梯度系統(tǒng)，此時可求得勢函數V=V（a），使得

應注意，如果條件（10）不滿足，還不能斷定它不是一個梯度系統(tǒng)，因為這依賴于方程組的一階表達形式[1]。

一般情況方程（8）不是一個α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)，若滿足則是一個α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)。

滿足條件（12）的分數維梯度系統(tǒng)，可以求得勢函數V=V（a），使得

如果勢函數V 在解的鄰域內正定，那么勢函數V 可取為Lyapunov 函數，利用Lyapunov 定理來研究解的穩(wěn)定性，也可利用Rumyatsev 定理來研究系統(tǒng)部分變量的穩(wěn)定性。如果勢函數V 不能成為Lyapunov 函數，那么根據分數維梯度系統(tǒng)任一平衡點處的線性化系統(tǒng)都只有實特征值這一性質，可通過求解其線性化系統(tǒng)的特征根來分析解的穩(wěn)定性：如若特征根全為負實根，則解是漸近穩(wěn)定的；如果特征根存在正實根，則解是不穩(wěn)定的。

1.3 舉例

二自由度系統(tǒng)為

試將其化為α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)，并研究零解的穩(wěn)定性。

解 由系統(tǒng)的運動微分方程（1）得

令，a1=q1， a2=q2， a3=-ω1， a4=-ω2。

由方程（8）得

因為

所以條件（10）不滿足，此系統(tǒng)不是一個通常梯度系統(tǒng)。 但滿足條件（12），所以該系統(tǒng)是α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)。

由式（13）可以求出勢函數V 為

勢函數V 在a1=a2=a3=a4=0 的鄰域內正定，由Lyapunov 定理可知：零解a1=a2=a3=a4=0 是穩(wěn)定的。

2 相對運動動力學系統(tǒng)的分數維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)的運動微分方程

系統(tǒng)的運動微分方程有形式[2]

2.2 系統(tǒng)的分數維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

勢函數在a1=a2=0 的鄰域內正定，根據Lyapunov 定理可知：零解a1=a2=0 是穩(wěn)定的。

3 變質量力學系統(tǒng)的分數維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

3.1 系統(tǒng)的運動微分方程

系統(tǒng)的運動微分方程有形式[2]

設系統(tǒng)（28）非奇異，即設

則可由方程（28）解出所有廣義加速度，記作

令

則方程（31）可寫為

其中

引進廣義動量ps和Hamilton 函數H

則方程（28）可以寫為

其中

方程（36）還可寫成如下的形式

其中

3.2 系統(tǒng)的分數維梯度表示及其穩(wěn)定性分析

一般來說，系統(tǒng)（33）或者（38）都不是梯度系統(tǒng)，對于方程（33），如果滿足條件

則是一個α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)。 對于方程（38），如果滿足條件

方程（33）或者方程（38）在條件（43）或條件（44）下，可以化成階α＝2 的分數維梯度系統(tǒng)，如果勢函數V在解的鄰域內正定，可以利用Lyapunov 定理來研究解的穩(wěn)定性，也可利用Rumyatsev 定理來研究系統(tǒng)部分變量的穩(wěn)定性。

3.3 舉例

一變質量質點以水平角β 的初速度v0射出后，在重力場中運動，其質量變化規(guī)律為m=m0exp（-γt），其中m0，γ 為常數，假設微粒分離的相對速度vr的大小為常量，方向永遠與v0相反。 試將系統(tǒng)的運動微分方程化為α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)，并且研究其零解的穩(wěn)定性。

解 系統(tǒng)的Lagrange 函數和反推力分別為

其中，q1=x，q2=y 分別為水平坐標和鉛垂坐標，廣義力為

4 結語

研究了準坐標下完整系統(tǒng)、相對運動動力學系統(tǒng)和變質量完整力學系統(tǒng)這三類系統(tǒng)成為α＝2 階的分數維梯度系統(tǒng)的條件，并給出勢函數V。 若勢函數V 可以取為Lyapunov 函數，則可以利用Lyapunov 定理來研究解的穩(wěn)定性，也可利用Rumyatsev 定理來研究系統(tǒng)部分變量的穩(wěn)定性；如果勢函數V 不能成為Lyapunov函數，則可以根據其線性化系統(tǒng)的特征根的正負來判斷解的穩(wěn)定性。 例題說明了方法的有效性。