王 正， 黃志剛

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

1 引言及主要結(jié)果

在該文中，假定讀者熟知Nevanlinna 理論以及復(fù)方程理論中的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)和基本內(nèi)容[1-2]，下面介紹一些常用符號(hào)的定義。 設(shè)0＜α＜β＜2π，則復(fù)平面上的扇形定義為

此處n（Ω（θ-ε，θ+ε，r），f=0）表示f 在Ω（θ-ε，θ+ε，r）上零點(diǎn)的數(shù)量。

1919 年，Julia 由Picard 定理提出了Julia 方向的相關(guān)內(nèi)容，并開(kāi)始了亞純函數(shù)奇異方向的研究，他證明了每一個(gè)超越整函數(shù)至少有一個(gè)Julia 方向。 而Valiron[3]根據(jù)Borel 定理，提出來(lái)Borel 方向的相關(guān)概念。

定義1 設(shè)f（z）是一個(gè)級(jí)為ρ 的超越亞純函數(shù)，若對(duì)于?ε＞0，λθ，ε（f-a）=ρ 在C∪∞上至多有兩個(gè)例外值a，則稱射線arg z=θ 為f 的一個(gè)Borel 方向。

自此，關(guān)于亞純函數(shù)Borel 方向的研究在近一個(gè)世紀(jì)里迎來(lái)較大發(fā)展。2005 年，伍勝健[4]首次研究二階線性微分方程解的Borel 方向的問(wèn)題。 這類方程的一般形式為

其中A（z），B（z）和F（z）都是整函數(shù)。 2015 年，黃志剛等人[5]研究了該方程的解與自由項(xiàng)F（z）的Borel 方向之間的關(guān)系，同時(shí)也研究了齊次方程f″+B（z）f′+A（z）f=0 的解在ρθ＝∞時(shí)的θ 集合的測(cè)度問(wèn)題，下面對(duì)這些定理的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)要敘述。

定理A 設(shè)A（z），B（z）為有限級(jí)整函數(shù)，F(xiàn)（z）為超越整函數(shù)并且max{ρ（A），ρ（B）}＜ρ（F）=∞，若arg z=θ是F 的Borel 方向，則它也是方程f″+B（z）f′+A（z）f=F 的每一個(gè)非平凡解的Borel 方向。

定理B 設(shè)A（z），B（z）為整函數(shù)且μ（A）＞ρ（B），若f（z）是方程f″+B（z）f′+A（z）f=0 的一個(gè)非平凡解，則mesI（f）≥min{2π，π/μ（A）}，其中I（f）={θ∈[0，2π）:ρθ（f）＝∞}。

文中將考慮高階微分方程，將定理A 和定理B 推廣至一般形式，并在定理B 推廣形式的基礎(chǔ)上，證明了f 的Borel 方向的測(cè)度也有類似的范圍。

定理1 設(shè)A0，A1，…，An-1為有限級(jí)整函數(shù)，F(xiàn)（z）為超越整函數(shù)且max{ρ(A0)，ρ(A1)，…，ρ(An-1)}＜ρ（F）=∞，f（z）是方程

的一個(gè)非平凡解，若arg z=θ 是F 的Borel 方向，則它也是f 的Borel 方向。

定理2 設(shè)A0，A1，…，An-1為整函數(shù)且μ（A0）＞max{ρ（A1），ρ（A2），…，ρ（An）}，若f（z）是方程

的一個(gè)非平凡解，則mesM（f）≥min{2π，π/μ（A）}，其中M（f）為f 的Borel 方向集合。

2 預(yù)備知識(shí)

在文中，角域上的Nevanlinna 特征函數(shù)是一個(gè)很重要的工具。 若0＜β－α≤2π，k=π/（β－α），f（x）是角域Ω（α，β）上的亞純函數(shù)，則記

其中bv＝|bv|eiβv（v=1，2，…）是f（z）在Ω（α，β，r）上的極點(diǎn)。

引理2[7]設(shè)f（z）為無(wú)窮級(jí)整函數(shù)，則射線arg z=θ 是f 的無(wú)窮級(jí)Borel 方向當(dāng)且僅當(dāng)arg z=θ 是f′的無(wú)窮級(jí)Borel 方向。

引理3[8-9]設(shè)z=rexp（iφ），r0+1＜r，α≤φ≤β，其中0＜β－α≤2π。 假設(shè)n(≥2)是一個(gè)整數(shù)，f（z）在Ω（α，β，r0）

其中E 是一個(gè)線性測(cè)度有限的集合。

3 定理1 的證明

顯然方程（1）的每個(gè)非平凡解f（z）一定滿足ρ（f）=∞，設(shè)arg z=θ∈[0，2π）是F（z）的一條Borel 方向，根據(jù)引理1，對(duì)于任意充分小的ε，有

4 定理2 的證明

再根據(jù)引理6，有

由引理5 知，log+M（r，Ω（θ，ε），f）≤O（rd+k），所以ρθ（f）＜∞，與條件矛盾，故若ρθ（f）＝∞，則arg z=θ 為f 的Borel方向。

設(shè)M（f）為f 的Borel 方向集合，顯然對(duì)于?θ∈I（f），有θ∈M（f），由式（12）知，

故定理2 獲證。

5 結(jié)語(yǔ)

該文主要研究的是高階線性微分方程整函數(shù)解的Borel 方向的問(wèn)題，得到了一些相關(guān)結(jié)果，如一類方程的自由項(xiàng)與函數(shù)解的Borel 方向之間的關(guān)系，以及一類方程解的Borel 方向集合的測(cè)度的下界。 在此研究基礎(chǔ)上，可開(kāi)展更廣泛的研究工作，如非齊次微分方程的自由項(xiàng)為有窮級(jí)時(shí)，它與函數(shù)解的Borel 方向之間的關(guān)系，以及自由項(xiàng)的Borel 方向與函數(shù)解的其他奇異方向之間的關(guān)系等。