陳 璐， 郭世旭， 王月兵， 鄭慧峰， 徐遨璇

(中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院， 浙江 杭州 310018)

1 引 言

近場(chǎng)聲全息(near-field acoustical holography,NAH)是聲學(xué)研究中的一種極其重要的聲場(chǎng)推算方法，由Williams提出并根據(jù)空間聲場(chǎng)變換進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)應(yīng)用[1～3]。近場(chǎng)聲全息技術(shù)在噪聲源定位、聲場(chǎng)重構(gòu)及可視化方面有重要應(yīng)用。通過在輻射體的近場(chǎng)區(qū)域內(nèi)測(cè)量聲場(chǎng)數(shù)據(jù)重建和預(yù)測(cè)整個(gè)三維空間的聲學(xué)特性，從而識(shí)別和定位聲源，獲得聲源的聲輻射特性，達(dá)到判斷噪聲來源進(jìn)行聲源控制的目的。目前工程中基于近場(chǎng)聲全息的噪聲分析識(shí)別算法主要包括空間聲場(chǎng)變換聲全息(spatial transformation of sound field,STSF)，統(tǒng)計(jì)最優(yōu)聲全息(statistically optimized NAH,SONAH)，等效源法聲全息(equivalent source model,ESM)等算法。在算法的選擇和應(yīng)用上，需要根據(jù)實(shí)際需求以及應(yīng)用場(chǎng)合進(jìn)行選取。

在技術(shù)研究方面，首先興起的是STSF，Arteaga通過對(duì)全息聲場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性預(yù)測(cè)邊界填充外推法，使STSF算法可在較小孔徑下仍具有理想的重建精度[4]。姬慶對(duì)比了不同格林函數(shù)對(duì)聲場(chǎng)重建的影響[5]。Jiang等通過結(jié)合正交球面波疊加法和數(shù)據(jù)擴(kuò)展法來改進(jìn)算法，提高聲場(chǎng)重構(gòu)的精度[6]。郭世旭結(jié)合二維平面聲壓構(gòu)建技術(shù)提出了高效率的聲場(chǎng)測(cè)量方法[7]。由于重建非穩(wěn)態(tài)聲場(chǎng)的需求，基于等效源的近場(chǎng)聲全息算法受到重視，Pereira在球型陣列的等效源法中引入權(quán)矩陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行迭代求解，達(dá)到了提高低頻近場(chǎng)重建精度的目的[8]。王成利用等效源算法對(duì)高頻換能器聲場(chǎng)進(jìn)行有效分析[9]。陶文俊提出了一種用壓縮感知將聲強(qiáng)信息轉(zhuǎn)為稀疏信號(hào)的方法，進(jìn)而優(yōu)化該算法[10]。陳漢濤運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法與等效源法結(jié)合，使低信噪比條件下的弱聲源得以檢測(cè)[11]。統(tǒng)計(jì)最優(yōu)算法研究起步最晚，張永斌提出了一種平面波優(yōu)化方法，對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提升了重建精度[12]。趙報(bào)川通過多種波函數(shù)組合得到聲場(chǎng)傳遞函數(shù)提高了聲場(chǎng)重建的精度[13,14]。熊久鵬提出二維平面聲壓重構(gòu)技術(shù)來提高聲場(chǎng)測(cè)量效率[15]。

在實(shí)際測(cè)量中，近場(chǎng)聲全息算法的精度受多方面影響，主要有聲源頻率、重建距離、測(cè)量面采樣間距、正則化參數(shù)選取等，本文在這些研究的基礎(chǔ)上，將仿真和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，互相驗(yàn)證，分析總結(jié)各個(gè)算法受上述因素的影響規(guī)律，并對(duì)運(yùn)算效率進(jìn)行分析比較，為不同需求的水下近場(chǎng)聲全息算法選擇及參數(shù)選取提供了一定參考。

2 近場(chǎng)聲全息算法原理

2.1 基于空間聲場(chǎng)變換的聲全息技術(shù)

當(dāng)格林函數(shù)滿足聲源表面均勻邊界條件時(shí)，Helmholtz方程的積分形式如下表示：

(1)

式中：x是位置矢量；r是聲源和對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在面的法向距離；下標(biāo)S表示聲源面的性能評(píng)價(jià)；p表示聲壓。如果聲源面和全息面共形，它們之間可以通過測(cè)量數(shù)據(jù)和格林函數(shù)的卷積運(yùn)算得到。波數(shù)域測(cè)量面聲壓通過和格林函數(shù)乘積后再經(jīng)由逆Fourier變換得到空間重建面聲場(chǎng)，計(jì)算公式如下：

p(kx,ky,zS)=F-1(p(kx,ky,zH)e-ikz(zH-zS))

(2)

式中：kx、ky和kz分別表示在x、y和z軸方向的波數(shù)；p(kx,ky,zS)與p(kx,ky,zH)分別表示全息面與測(cè)量面的聲壓；zH和zS分別表示全息面和測(cè)量面與聲源的距離；F-1表示傅里葉逆變換。

2.2 基于統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的聲全息技術(shù)

基于統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的近場(chǎng)聲全息技術(shù)是局部近場(chǎng)聲全息算法的一種，核心算法是通過賦予空間聲場(chǎng)的復(fù)聲壓權(quán)值來計(jì)算重建面的聲壓，自由聲場(chǎng)里任意點(diǎn)的復(fù)聲壓都可以用多個(gè)空間聲場(chǎng)中的傳播波和倏逝波疊加計(jì)算得到：

(3)

式中：p(rH,n)為測(cè)量面上的聲壓。復(fù)聲壓權(quán)重系數(shù)C(rS)只和位置有關(guān)，即只要重建面與全息面的相對(duì)位置關(guān)系不變，不同聲壓都可以用同樣的權(quán)重系數(shù)矩陣。用標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化求解出系數(shù)C(rS)代入式(3)即可得基于統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的重建面聲壓計(jì)算公式：

p(rs)=pT(rH)(AHA+θ2I)-1AHα(rS)

(4)

式中：H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；I表示單位對(duì)角矩陣；θ表示正則化參數(shù)；A表示2個(gè)平面間的傳遞矩陣；α(rS)為距聲源rS處平面波組成的列向量。

2.3 基于等效源的聲全息技術(shù)

等效源近場(chǎng)聲全息技術(shù)的基本思想是用輻射場(chǎng)內(nèi)部等效源疊加替代該物體所產(chǎn)生的輻射場(chǎng)。單個(gè)等效源強(qiáng)度可定義為[16]：

(5)

式中：G表示自由場(chǎng)格林函數(shù)；q表示虛擬聲源。

為避免聲場(chǎng)重建過程中奇異值帶來的誤差，計(jì)算虛擬表面聲強(qiáng)時(shí)對(duì)聲源表面進(jìn)行反運(yùn)算，由測(cè)量面聲場(chǎng)信息倒推出等效源后再重建出真實(shí)的重建面聲場(chǎng)。計(jì)算公式如下所示：

pS=GVS(pH(GHV)-1)

(6)

3 正則化方法

3.1 Tikhonov正則化

將測(cè)量面的聲壓信息pH中的誤差假設(shè)為空間不相關(guān)、方差為r2的高斯噪聲εp，那么噪聲和重建聲壓有如下關(guān)系：

pH=HpS,pH=pH0+εp, var|pH|=r2

(7)

式中：var為方差。

標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化分解通過增加一個(gè)約束項(xiàng)，使得求解最小二乘解的病態(tài)方程變成非病態(tài)方程。

(8)

標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化解為：

C(rs)=(AHA+θ2I)-1AHα(rS)

(9)

式中：H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；I表示單位對(duì)角矩陣。

正則化參數(shù)θ有多種計(jì)算方式，主要有廣義交叉驗(yàn)證法、L曲線法、固定參數(shù)法等，一般情況下固定參數(shù)的計(jì)算公式為[17]：

(10)

式中：d表示全息面和重建面間的距離；SNR表示信噪比。

3.2 廣義交叉驗(yàn)證法(GCV)

GCV法的主要思想是當(dāng)在聲全息重建過程中缺失一個(gè)聲場(chǎng)信息時(shí)，用此時(shí)的聲場(chǎng)模型的正則化解預(yù)測(cè)缺失的聲場(chǎng)信息。在標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化求解中GCV函數(shù)可以用下式表示：

(11)

式中：Tr為矩陣的跡。GCV函數(shù)達(dá)到極小值時(shí)對(duì)應(yīng)的θ就是所求的正則化參數(shù)。

3.3 L-曲線法(L-curve)

(12)

式中：ρ′、ρ″、ζ=、ζ″分別為ρ和ζ的一階、二階導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的曲率達(dá)到極大值時(shí)對(duì)應(yīng)曲線的拐角系數(shù)為正則化參數(shù)θ。

4 仿真模型及仿真結(jié)果

首先建立有限元仿真模型，聲源放置于坐標(biāo)原點(diǎn)，測(cè)量面與重構(gòu)面處于z方向法線上，且平行于xy平面，兩個(gè)面大小相等，見圖1。聲源頻率設(shè)置為500 Hz，測(cè)量面距聲源0.3 m，重建面距聲源0.25 m，測(cè)量面和重建面的大小都為1 m×1 m，采樣點(diǎn)數(shù)為11×11個(gè)。仿真環(huán)境為水域，聲速c=1 500 m/s，水密度ρ=1 000 kg/m3，模型采用邊界元，因此忽略實(shí)驗(yàn)環(huán)境中的水面和池壁反射，為了精確解析整個(gè)聲學(xué)域的壓力梯度變化，使用二次單元進(jìn)行離散化處理，在進(jìn)行頻域仿真時(shí)，對(duì)其采用大小為λ/6的細(xì)化網(wǎng)格，通過有限元仿真獲得測(cè)量面是理想值。

圖1 聲場(chǎng)測(cè)量示意圖Fig.1 Schematic diagram of sound field measurement

4.1 聲源頻率對(duì)重建精度的影響

在上述有限元仿真模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)調(diào)整：修改聲源頻率為300 Hz到1 500 Hz，分別計(jì)算3種近場(chǎng)聲全息算法隨頻率變化產(chǎn)生的重建誤差。

由圖2可以看出，在低頻區(qū)域(<700 Hz)，ESM算法的誤差低于6%，其重建精度較高；當(dāng)頻率大于700 Hz時(shí)，3種算法的重建誤差隨著頻率增大而線性增大，且SONAH>ESM>STSF；同時(shí)隨著頻率增大，3種算法的重建精度變化趨勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定。

圖2 誤差隨頻率的變化曲線圖Fig.2 Variation curve of error with frequency

4.2 重建距離對(duì)重建精度的影響

對(duì)部分仿真條件進(jìn)行調(diào)整，聲源頻率為500 Hz，獲取距聲源0.26～0.53 m的聲場(chǎng)數(shù)據(jù)，計(jì)算測(cè)量面與重建面距離變化時(shí)3種近場(chǎng)聲全息算法的重建誤差。

由圖3可以看出，ESM與SONAH在0.3 m的范圍內(nèi)重建誤差較小，STSF在超過0.1 m后重建誤差呈指數(shù)型增長，結(jié)果發(fā)生嚴(yán)重失真?？傮w上，3個(gè)算法的重建誤差都隨著重建距離增大而增大，重建誤差STSF>SONAH>ESM。

圖3 誤差隨重建距離的變化曲線Fig.3 Variation curve of error with reconstruction of distance

4.3 采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)重建精度的影響

修改仿真條件，聲源頻率為500 Hz，測(cè)量面和重建面分別距聲源0.3 m、0.25 m，分別以 5×5到19×19采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)測(cè)量聲場(chǎng)進(jìn)行采樣，計(jì)算比較算法重建誤差變化。

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，3種算法的重建誤差隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加而減小，且STSF>SONAH>ESM。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)大于250后，采樣點(diǎn)數(shù)變化對(duì)重建精度的貢獻(xiàn)率基本不變。其中隨著采樣點(diǎn)數(shù)的變化，ESM與STSF的誤差浮動(dòng)范圍為10%，SONAH的誤差浮動(dòng)范圍為25%。

圖4 誤差隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化曲線Fig.4 Variation curve of error with the number of sampling points

由于算法的運(yùn)算方式不同，聲場(chǎng)數(shù)據(jù)量對(duì)計(jì)算效率的影響會(huì)有所差異。聲場(chǎng)數(shù)據(jù)量的大小取決于采樣點(diǎn)數(shù)，通過選取不同采樣點(diǎn)數(shù)，對(duì)3種重建算法的重建運(yùn)算時(shí)間進(jìn)行計(jì)算分析。由于基于統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的近場(chǎng)聲全息算法運(yùn)算時(shí)間較長，因此對(duì)各算法的運(yùn)算時(shí)間取對(duì)數(shù)后進(jìn)行對(duì)比。由圖5可以看出運(yùn)算時(shí)間：STSF> ESM>SONAH。其中SONAH算法由于測(cè)量面聲場(chǎng)信息的矩陣維度提升而大幅降低重建速度，因此在計(jì)算高維度聲場(chǎng)且對(duì)重建速度要求不高時(shí)可選用ESM算法，當(dāng)對(duì)速度有較高要求，對(duì)重建精度要求不高時(shí)可選用STSF算法。

圖5 運(yùn)算時(shí)間隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化曲線Fig.5 Variation curve of operation time with the number of sampling points

5 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

5.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)搭建

為驗(yàn)證算法的重建效果，在開闊大型水域進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境水域深度足夠，湖面平穩(wěn)，無過往船只及人員干擾。測(cè)量系統(tǒng)如圖6所示，陣元為相幅一致的水聽器。

圖6 測(cè)量系統(tǒng)示意圖Fig.6 Schematic diagram of measurement system

水聽器陣列尺寸為3 m×2.875 m，由168個(gè)水聽器排列成7行24列。選用柱形換能器，高度為0.08 m，直徑為0.06 m，實(shí)驗(yàn)中可視為點(diǎn)聲源。固定水聽器陣列，換能器與水聽器陣列中心位置相對(duì)。首先激勵(lì)換能器工作，在開闊水域中形成聲場(chǎng)分布，然后利用水聽器陣列對(duì)水域聲場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，輸出信號(hào)同步呈現(xiàn)在示波器上，最終將數(shù)據(jù)讀取并存儲(chǔ)在電腦中。實(shí)驗(yàn)器材：低頻換能器、功率放大器、信號(hào)源、示波器、水聽器陣列、采集卡、上位機(jī)。

5.2 算法結(jié)果比較

首先從聲源頻率、重建距離、采樣點(diǎn)數(shù)及正則化方式4個(gè)方面采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后利用各個(gè)算法進(jìn)行聲場(chǎng)重建，最后分析比較，驗(yàn)證仿真結(jié)果。實(shí)驗(yàn)環(huán)境中信噪比接近60 dB，前3者比較中皆選取Tikhonov正則化固定參數(shù)法進(jìn)行重建。

為了便于算法重建效果比較，采用分貝誤差定義聲場(chǎng)重建誤差：

(13)

式中：ps(m,n)和ph(m,n)分別為理論面和重建面點(diǎn)(m,n)處的聲場(chǎng)信息。

5.2.1 根據(jù)頻率變化的重建精度比較

將距離換能器0.05 m處的聲場(chǎng)面作為重建理論面，距離為0.15 m處作為測(cè)量面。用換能器分別發(fā)射頻率為500 Hz、1 000 Hz、2 000 Hz的聲波，得到不同頻率下重建面和理論面的聲場(chǎng)信息。用STSF算法、SONAH算法與ESM算法進(jìn)行聲場(chǎng)重建，重建效果與重建誤差如圖7與表1所示。

圖7 3種算法在不同頻率下的重建效果Fig.7 The reconstruction effects of three algorithms at different frequencies

表1 不同頻率下的重建誤差Tab.1 The reconstruction error of each frequency dB

可以看出，在低頻區(qū)域，SONAH算法和ESM算法保留了更多的聲壓信息，對(duì)聲場(chǎng)信號(hào)有較好的還原效果，重建精度優(yōu)于STSF算法。ESM算法對(duì)聲場(chǎng)信息還原最好，但容易產(chǎn)生虛像，造成噪聲源定位偏差。STSF算法具有較好的聲源定位效果，但忽略了其他微弱的聲場(chǎng)信息，重建誤差較大，且受聲源頻率變化的影響較為明顯。當(dāng)聲源頻率增大時(shí)算法的重建精度逐漸降低，且ESM>SONAH>STSF。

5.2.2 根據(jù)距離變化的重建精度比較

將距離換能器0.05 m處聲場(chǎng)面作為重建面，發(fā)出頻率為1 kHz的聲波，分別測(cè)量距離為0.15 m、0.25 m、0.35 m處的聲場(chǎng)分布作為測(cè)量面。計(jì)算不同算法對(duì)應(yīng)各個(gè)重建距離的重建誤差，重建效果與重建誤差如圖8與表2所示。

圖8 3種算法在不同重建距離下的重建效果Fig.8 Reconstruction effects of three algorithms at different reconstruction distances

表2 不同重建距離下的重建誤差Tab.2 The reconstruction error of each distances dB

通過對(duì)比可以看出隨著重建距離增大，重建誤差都逐漸變大。SONAH與ESM具有較強(qiáng)的重建效果， STSF算法除了有較好的定位能力， 對(duì)聲壓信息還原較差，受重建距離變化的影響最大。ESM與STSF由于算法中格林函數(shù)受距離變化影響較大，從而在重建計(jì)算中產(chǎn)生虛像和旁瓣，因此誤差增加明顯，其中STSF算法尤為明顯。

5.2.3 根據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)變化的精度比較

對(duì)水聽器陣列進(jìn)行調(diào)整，分析對(duì)比水聽器采樣點(diǎn)數(shù)為7×8個(gè)、7×12個(gè)、7×24個(gè)情況下的聲場(chǎng)重建效果。重建效果與重建誤差如圖9與表3所示。

圖9 3種算法在不同采樣點(diǎn)數(shù)下的重建效果Fig.9 The reconstruction effect of three algorithms at different number of sampling points

表3 不同采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)的重建誤差Tab.3 The reconstruction error of each sampling points number dB

經(jīng)過比較可以看出隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)的減少， 聲場(chǎng)信息也在減少，各算法的重建效果區(qū)別變得不明顯。當(dāng)測(cè)量點(diǎn)數(shù)增多時(shí)，SONAH算法有比較理想的精度，隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)減少，ESM算法表現(xiàn)出較大的優(yōu)勢(shì)。

測(cè)量點(diǎn)數(shù)的變化造成聲場(chǎng)數(shù)據(jù)量增多，使矩陣運(yùn)算維度增大引起計(jì)算效率差異，為對(duì)比采樣率對(duì)算法的影響，對(duì)3種算法的計(jì)算效率進(jìn)行比較，不同采樣率下算法的運(yùn)算時(shí)間如表4所示。由表4可以看出STSF算法始終保持著高速的計(jì)算效率，而 SONAH算法由于涉及矩陣運(yùn)算，當(dāng)采樣率變大時(shí)聲場(chǎng)重建運(yùn)算效率降低，在3種算法中計(jì)算速度最慢。ESM算法速度較為穩(wěn)定，受采樣率的影響較小。

表4 不同采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)的計(jì)算時(shí)間Tab.4 Operation time at different number of sampling points s

5.2.4 正則化參數(shù)比較

正則化的主要作用是減少噪聲信號(hào)對(duì)信號(hào)源分析的影響，對(duì)測(cè)量面的聲場(chǎng)信息人為加入方差為36，均值為0的高斯噪聲，再用混入噪聲的測(cè)量面聲信號(hào)進(jìn)行聲場(chǎng)重建。

本次實(shí)驗(yàn)所用聲源頻率為1 000 Hz，測(cè)量面距聲源0.15 m，重建面距聲源0.05 m，采樣點(diǎn)數(shù)選取 7×24個(gè)，選取不同正則化參數(shù)進(jìn)行聲場(chǎng)重建，效果對(duì)比如圖10所示。

圖10 3種正則化參數(shù)選取方法對(duì)重建效果的影響Fig.10 The reconstruction effect of three regularization parameter selection methods

可以看出，在3種正則化方法中廣義交叉驗(yàn)證法的降噪效果最好，L-曲線法對(duì)噪聲源的還原能力最強(qiáng)。SONAH算法與L-曲線法結(jié)合的近場(chǎng)聲全息既能有效保留聲場(chǎng)信息，又能對(duì)噪聲進(jìn)行抑制，在該工況下具有最好的重建效果。

6 結(jié) 論

通過聲源頻率、重建距離、傳感器陣列的采樣點(diǎn)數(shù)及正則化參數(shù)的選取這4種對(duì)聲場(chǎng)重建影響較大的因素分析3種常用的近場(chǎng)聲全息算法在不同工況下的優(yōu)劣，分別對(duì)各自算法進(jìn)行了仿真趨勢(shì)分析和實(shí)驗(yàn)重建效果驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

1) 隨著聲源頻率降低，重建距離減小，采樣率增加，算法的重建精度提高；

2) STSF算法速度最快，對(duì)聲源有較好的定位效果，然而聲場(chǎng)重建精度受重建距離影響明顯，微弱信號(hào)聲場(chǎng)信息丟失嚴(yán)重，因此該算法適用于對(duì)噪聲定位具有高速且準(zhǔn)確定位的應(yīng)用場(chǎng)合，如海洋軍事與航天航空領(lǐng)域雷達(dá)定位、水域環(huán)境探測(cè)等；

3) SONAH算法重建效果良好，且能保留較多聲場(chǎng)信息，配合L-曲線正則化法后對(duì)噪聲能進(jìn)行有效抑制，但受測(cè)量點(diǎn)數(shù)影響較大，計(jì)算速度緩慢，適用于對(duì)計(jì)算速度要求較低且需要聲場(chǎng)有效還原的應(yīng)用領(lǐng)域，如房間聲場(chǎng)噪聲分析等；

4) ESM算法有較好的重建精度和速度，結(jié)合正則化法后對(duì)聲場(chǎng)信息保留情況較好，但在計(jì)算過程中對(duì)聲源位置有預(yù)測(cè)要求，因此適用于近距離下，聲源位置誤差較小的非接觸式噪聲分析，如機(jī)械結(jié)構(gòu)噪音定位等。