劉闖,岳曉奎

1. 西北工業(yè)大學 航天學院,西安 710072

2. 西北工業(yè)大學 航天飛行動力學技術重點實驗室,西安 710072

近年來,中國航天技術取得了長足的發(fā)展,同時也面臨諸多挑戰(zhàn)。僅在過去十年時間里,就有數(shù)十顆衛(wèi)星因機械故障或姿態(tài)/軌道失控等突發(fā)原因而變?yōu)楣收匣蚴Ш教炱?不僅帶來巨大經(jīng)濟損失而且長期占據(jù)寶貴的軌道資源。故障或失效航天器、空間碎片及對方航天器是典型的非合作目標,無法主動提供狀態(tài)信息及慣性參數(shù)信息,而抓捕后形成的組合體穩(wěn)定高精度在軌運行又嚴重受姿軌耦合的影響,因此對組合體進行魯棒高精度控制是國際公認的難題,極具挑戰(zhàn)性。利用在軌服務技術開展維修、離軌等操作迫在眉睫,因此國家“十三五”規(guī)劃將“在軌服務與維護系統(tǒng)”列入“科技創(chuàng)新2030—重大項目”。

由于故障航天器呈現(xiàn)狀態(tài)參數(shù)未知、運動行為不配合等復雜的“非合作”特征,對其進行空間抓捕后難以精確建立姿態(tài)動力學模型,容易受參數(shù)不確定性、測量誤差及執(zhí)行機構故障等多源擾動影響[1-2]。對于非合作目標抓捕后,難以準確測量其質(zhì)量特性信息,這些都會導致姿態(tài)控制精度不能滿足空間任務要求[3]。當空間抓捕后形成的組合體航天器帶有柔性附件時,其姿態(tài)穩(wěn)定及振動抑制變得更加困難。Singh等[4-5]針對柔性航天器姿態(tài)機動和振動抑制問題提出了一種自適應控制方法,但在反饋時僅考慮了俯仰角及其微分,在航天器閉環(huán)系統(tǒng)面臨未建模動態(tài)時可能會導致參數(shù)分散或不穩(wěn)定性。Zheng等[6]考慮了柔性航天器的最優(yōu)控制方法,這要求姿態(tài)控制律同時保證對外界干擾的魯棒性和對性能指標的最優(yōu)性,但這2個目標是沖突的,尋求二者間的平衡非常必要。混合H2/H∞控制器的發(fā)展很好地滿足了這一平衡性要求,且可以加入極點配置的需求使得柔性航天器姿控系統(tǒng)滿足期望性能[7]。張秀云等[8]將輸入成形器、自適應有限時間干擾觀測器和有限時間滑?？刂朴行ЫY合起來,用于柔性航天器姿態(tài)控制,但在應用時需要提前獲知轉動慣量,難以直接用于空間非合作航天器抓捕后柔性組合體的姿態(tài)控制問題。針對柔性航天器姿態(tài)跟蹤控制中的執(zhí)行機構故障、參數(shù)不確定性和外界干擾,Hu[9]提出了一種帶有L2增益性能的自適應滑?？刂品椒ā＝陙硪渤霈F(xiàn)了一些針對柔性航天器姿態(tài)控制問題提出的新方法。針對未知慣性參數(shù)、外界干擾及執(zhí)行機構故障影響下的姿態(tài)跟蹤問題,Ma等[10]基于柔性航天器提出了一種容錯自適應控制方案。Yan和Wu Z[11]提出了一種基于擴張干擾觀測器的控制器,將觀測器與反步反饋控制器結合在一起,研究了空間環(huán)境干擾和未建模動態(tài)下航天器的姿態(tài)穩(wěn)定問題。Wu S N和Wen[12]詳細研究了H∞控制方法在柔性航天器中的應用,這對處理外部干擾、參數(shù)不確定性以及敏感器和執(zhí)行機構不精確配置非常有效；但該研究沒有考慮測量誤差以及輸入幅值、變化率受限問題。此外,盡管有大量可用的方法,但對于快速響應航天器而言,采用無需慣性矩陣并對其他不確定性具有魯棒性的控制算法非常有意義。另外,高精度確定航天器慣性特性的方法通常代價昂貴[13]。為緩解這一需求,Sanyal等[14]提出了無需慣性矩陣即可實現(xiàn)航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制的控制器,但僅討論了其在剛體航天器上的應用。

在解決柔性航天器姿態(tài)機動過程中的振動抑制問題時,常用的一個方法是使用壓電材料。這類執(zhí)行機構由黏合到柔性附件表面的壓電材料薄膜組成,由于它們具有固有的分布特性,似乎在某些方面比一些局部致動器能夠更好地消除振動影響。Song和Agrawal[15]將脈沖寬度脈沖頻率調(diào)制器和具有正位置反饋的智能材料用于柔性航天器的主動振動抑制,其中嵌入的壓電陶瓷貼片既被用作傳感器又被用作執(zhí)行器,以檢測和抑制振動。Di Gennaro[16]提出了一種基于主動振動抑制的動態(tài)控制器,帶有分布式壓電執(zhí)行器,可以削弱干擾/參數(shù)變化的影響,并抑制非期望振動,但其具有能耗高的缺點,這是因為其仿真得到的輸入控制力矩大于20 N·m,并具有30 N·m飽和上限。Moon等[17]提出采用反饋線性化方法和壓電致動器的非線性控制器來抑制面板顫振,但沒有考慮實際系統(tǒng)中存在的不確定性。

柔性航天器上安裝的姿態(tài)控制執(zhí)行機構,如推進器、反作用飛輪和控制力矩陀螺很容易受到輸入約束的影響。忽略對輸入幅值及變化率的約束可能會導致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性甚至造成災難性后果。為了解決這個關鍵問題,已有文獻中提出了幾種方法。例如,Hu等[18]引入了一種特殊的Nussbaum型函數(shù),用來解決輸入飽和帶來的時變非線性項；為解決輸入受限問題,Su和Zheng[19]使用了雙曲正切函數(shù)。隨后,Hu等[20]采用了反正切函數(shù)對受約束的控制輸入進行建模,其中研究了受外部干擾、慣性不確定性、執(zhí)行機構故障和輸入飽和影響的衛(wèi)星姿態(tài)重定向問題。Guo等[21]采用雙曲正切函數(shù)和積分滑模方法處理輸入飽和/受限問題,且使用了有限時間觀測器使得控制器設計時無需角速度測量。但是,上述文獻僅考慮了控制輸入幅值受限問題。

本文將針對空間非合作航天器抓捕后姿態(tài)動力學建模及穩(wěn)定控制問題,建立慣性參數(shù)未知情形下受多源擾動影響的姿態(tài)系統(tǒng)模型,提出一種基于中間狀態(tài)觀測器的抗干擾控制方法,其中觀測器能夠同時估計組合體姿態(tài)/模態(tài)信息及綜合干擾,且基于此設計的控制器將輸入幅值及變化率受限問題直接融入算法理論中,進而顯式解決輸入受限問題,實現(xiàn)復雜多源擾動下柔性組合體姿態(tài)高精度穩(wěn)定控制,本文旨在為組合體姿態(tài)穩(wěn)定控制的研究提供新思路和理論依據(jù)。

1 問題描述

1.1 抓捕后姿態(tài)動力學模型

為滿足空間任務需求,常需要帶有2個柔性附件的柔性航天器對非合作航天器進行抓捕,組成柔性組合體航天器(以下簡稱組合體),典型特性就是慣性參數(shù)未知,且為非線性的剛柔耦合系統(tǒng)。此處定義一個當?shù)厮疆數(shù)卮怪弊鴺讼礔o(Xo,Yo,Zo),作為參考坐標系。該坐標系的原點位于航天器質(zhì)心,滾轉軸沿著飛行方向,俯仰軸與軌道面垂直,偏航軸指向地心。此外,定義航天器本體坐標系FB(XB,YB,ZB),原點位于組合體質(zhì)心,3個坐標軸分別與其慣性主軸重合。

組合體姿態(tài)運動學方程[22]為

(1)

式中：ωx、ωy、ωz為3個方向上的姿態(tài)角速度;φ、θ、ψ分別為姿態(tài)角Θ的3個分量,即滾轉、俯仰和偏航姿態(tài)角；ω0為組合體所在高度的軌道角速度。

當高軌組合體進行小角度姿態(tài)調(diào)整時,式(1)可進一步簡化為

(2)

如果將壓電驅動器結合到組合體柔性附件的表面以提供輸入電壓up,從而產(chǎn)生導致控制力矩的變形,則組合體本體及柔性動力學方程[23]可以表示為

(3)

式中：J∈3×3為組合體本體的慣性矩陣；為剛體與柔性結構之間的耦合系數(shù)矩陣；m為相對本體的模態(tài)坐標矢量；Tc∈3、Td∈3分別為控制輸入力矩和外界干擾力矩,Td包括重力梯度力矩、太陽輻射壓力矩和空氣動力矩；為模態(tài)阻尼矩陣,其中分別為阻尼比和固有頻率,m為所考慮的柔性模態(tài)的個數(shù)；m×m為剛度矩陣；為輸入電壓up對應的耦合矩陣；ω×為ω的叉乘矩陣,可表示為

(4)

(5)

式(3)中的第1個分式變?yōu)?/p>

Tc+Td

(6)

(7)

具體方案如下：

(8)

(9)

(10)

式中：

(11)

(12)

(13)

(14)

注解1由于參數(shù)攝動、模型誤差和外界環(huán)境變化,慣性不確定性廣泛存在于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng),如果控制器設計不考慮該不確定性,所獲得控制器在實際應用中很可能失效。尤其是在對空間非合作航天器進行抓捕后,慣性矩陣的先驗知識存在未知性和不確定性,因此,控制器設計中首先選擇一個標稱矩陣Jn來代替實際慣性矩陣J,兩者之間的差異值可以當作慣性不確定性。

此外,空間非合作航天器抓捕后所形成的組合體系統(tǒng)也會受到以下3個因素的影響。

1) 測量誤差。系統(tǒng)的輸出模型常?；谧藨B(tài)系統(tǒng)的真實狀態(tài)信息精確獲得,但在實際情況下,用于反饋控制的航天器狀態(tài)往往是通過敏感器測量獲得的估計值。由于外部環(huán)境的意外變化、測量技術的局限性以及大多數(shù)測量設備的過時問題,會出現(xiàn)敏感器測量誤差v(t)∈L2[0, ∞)。測量誤差代表系統(tǒng)實際輸出與測量輸出之間的差異值,如敏感器校準誤差、系統(tǒng)偏差及實際敏感器測量中存在的一些隨機擾動,這在電子測量中非常普遍[24]。

2) 執(zhí)行機構輸入故障。由于執(zhí)行機構的不當作用會嚴重影響姿態(tài)控制系統(tǒng)的性能,因此必須將執(zhí)行機構故障視為要解決的關鍵問題之一。為了將這個問題考慮進去,使用列滿秩矩陣E表示輸入中故障信號f(t)的分布矩陣。

3) 輸入受限。在實際工程應用中,由于執(zhí)行機構功率容量有限和其他物理限制,航天器姿態(tài)系統(tǒng)中的控制輸入受限問題無處不在。如果控制器設計過程不考慮這個問題,往往會對為理想情況設計的姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其他性能產(chǎn)生負面影響。當組合體執(zhí)行姿態(tài)機動時,往往遇到輸入受限問題,而受限情況可能包括輸入幅值受限和輸入變化率受限,引入2個正標量λ1和λ2,滿足

(15)

(16)

式中：λ1和λ2分別表示控制輸入幅值和變化率2范數(shù)的最大值。

考慮以上因素,組合體姿態(tài)控制系統(tǒng)的最新狀態(tài)空間形式為

(17)

注解2抓捕后組合體姿態(tài)系統(tǒng)中的未知不確定慣性矩陣J僅影響x(t)的第2個分向量ω,故綜合不確定項ΔAx(t)+ΔB1u(t)+ΔB2w0(t)+ΔB3ex(t)將對干擾有貢獻,同理適用于Ef(t),它們一起構成了新的綜合干擾w(t)。

1.2 基本假設和引理

為便于后續(xù)理論推導,給出如下基本假設和引理。

注解3假設1并未定義綜合干擾的邊界,因而更通用。

注解4假設2在文獻[25]中已經(jīng)出現(xiàn),κ2在控制器設計時可以未知,因而比文獻[20]中的方法更通用。

引理3[26]假設函數(shù)V(t)≥0在?t≥0上連續(xù)且V(0)有界,如果不等式式(18)成立,則可以推出V(t)有界。

(18)

式中：c1、c2為常數(shù),c1>0。

1.3 控制目標

本文目標是尋找控制器增益矩陣K,使得式(13) 所表示的閉環(huán)姿控系統(tǒng)滿足下列條件：

1) 閉環(huán)姿控系統(tǒng)在慣性矩陣不確定性、測量誤差、執(zhí)行機構故障以及輸入幅值及變化率受限情況下最終穩(wěn)定。

2) 控制輸入滿足受限條件,即滿足式(15)、式(16)。

3) 組合體姿態(tài)及模態(tài)信息能夠被高精度估計出來。

2 抗干擾控制器設計

考慮觀測器對狀態(tài)觀測隨機丟包的情況,首先引入一個隨機中間變量：

(19)

(20)

(21)

ξ(t)=w(t)-

(22)

(23)

那么,所設計的中間狀態(tài)觀測器基于式(25)得到,即

(24)

(25)

(26)

(27)

基于式(24)和式(27)獲得的估計值,設計抗干擾控制器為

(28)

(29)

從而可得

(30)

(31)

(32)

式中：

首先,引入定理1并給出其證明。

定理1對于給定標量∈[0,1],η>0,ξi>0(i=1,2,3)以及給定對稱正定矩陣P1和滿足Hurwitz條件的矩陣L,式(32)所表示的閉環(huán)姿控系統(tǒng)一致最終有界,如果存在對稱正定矩陣P2、P3和矩陣K,滿足線性矩陣不等式：

0

(33)

通過求解式(33)可獲得控制器增益矩陣K。

證明選取Lyapunov函數(shù)為

(34)

則：

P1(A-B1K)]x(t)+2xT(t)P1B1Kex(t)+

2xT(t)P1B2eξ(t)+2

根據(jù)引理1和給定約束條件可知

x(t)+2xT(t)P1B1Kex(t)+2xT(t)P1B2·

eξ(t)+2

P3)eξ(t)-22·

根據(jù)引理2,Lyapunov函數(shù)的一階導數(shù)變?yōu)?/p>

式中：Π11=(A-B1K)TP1+P1(A-B1K);Π12=P1B1K+

定義

可知

(35)

(36)

即

(37)

根據(jù)引理3和式(37)可知閉環(huán)系統(tǒng)(式(32))一致最終有界。

定理1證畢。

將式(37)與eξ3t相乘可得

(38)

式(38)在區(qū)間[0,t]上積分可得

由于綜合干擾w(t)的復雜結構以及參數(shù)ξ3的存在,式(33)的可行解很難獲得。為提高式(33) 的可行性以及降低獲取控制器增益矩陣K的困難,基于定理1可獲得魯棒H∞控制策略,即定理2。

定理2對于給定標量∈[0,1]和η>0,以及給定對稱正定矩陣P1和滿足Hurwitz條件的矩陣L,當時,式(32)所表示的閉環(huán)姿控系統(tǒng)在控制(式(28))作用下二次穩(wěn)定,y(t)滿足H∞性能約束,設γ為正標量,如果存在標量γ2=γ2,對稱正定矩陣P2、P3和矩陣K,滿足線性矩陣不等式

(39)

當式(39)具有可行解時,可以獲得控制器增益矩陣K。

x(t)+2xT(t)P1B1Kex(t)+2xT(t)P1B2·

eξ(t)+2

定義

式中：Π11=(A-B1K)TP1+P1(A-B1K)；Π12=P1B1K+則Lyapunov函數(shù)的一階導數(shù)變?yōu)?/p>

(40)

因而,閉環(huán)系統(tǒng)(式(32))在控制器(式(28))作用下二次穩(wěn)定。

接下來證明輸出y(t)滿足H∞性能約束。

其中：

根據(jù)引理2和式(39)可知J<0,y(t)滿足H∞性能約束。

定理2證畢。

考慮控制輸入幅值及變化率受限情況,可使用定理3來解決,給出證明過程。

定理3假設存在對稱正定矩陣P2、P3和矩陣K滿足式(39),控制輸入幅值及變化率受限滿足,如果對于給定標量>λmax(P2)、λ1、λ2及對稱正定矩陣P1和矩陣L,滿足線性矩陣不等式

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

相關矩陣為

根據(jù)引理2,式(41)等價于

(47)

由注解5可知

(48)

利用引理2,不等式(42)等價于

(49)

又B1=B2,控制器(式(28))可以寫成

(50)

從而可得

(51)

式中：

從而可知

根據(jù)引理2,式(43)等價于

(A-B1K)TP1(A-B1K)

(52)

由式(48)可得

(K+

(53)

聯(lián)立式(52)、式(53)可得

(A-B1K)T(K+

B1K)

(54)

由式(49)可得

(K+

(55)

根據(jù)引理2,式(44)等價于

(56)

聯(lián)立式(55)、式(56)可得

(57)

因此,由引理1可以得到

[(K+

B1K)T(K+

(A-B1K)T(K+

(A-B1K)T(K+

(1+ξ20+ξ21)(

由式(45)可得

[(K+

(58)

根據(jù)引理2,式(46)等價于

(59)

又C1=I6+2m,式(57)等價于

LT(K+

(60)

聯(lián)立式(32)、式(50)可得

-(K+

(B1K+

(K+

ex(t)+B2eξ(t)-Lv(t))-((

B1K)x(t)+[-(K+ηB2·

(B1K-A+LC1)+(

(61)

那么：

2xT(t)(A-B1K)T(K+

B1K)T(K+

2xT(t)(A-B1K)T(K+

Lv(t)-2xT(t)(A-B1K)T(K+

[(K+

A+LC1)+(

[(K+

[(K+

(K+

根據(jù)引理1和給定約束條件,可以得到

LC1)+(η·

從而可得

(62)

定理3證畢。

3 仿真結果

通過對組合體姿態(tài)控制系統(tǒng)的仿真來驗證所設計控制器的有效性與可行性?？刂颇繕耸窃跐M足輸入受限的前提下實現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定及振動抑制,由于低階模態(tài)通常在柔性航天器中占主導地位,因而仿真中僅考慮航天器柔性附件的前4階模態(tài)(表1)。

表1 柔性動力學參數(shù)

選取組合體本體的標稱慣性矩陣為

耦合矩陣為

kg1/2·m

慣性矩陣的未知不確定部分假設為ΔJ=[0.1+0.02sin(0.11πt)]Jn,控制力矩受限于λ1=2 N·m 和λ2=10 (N·m)/s?？紤]到觀測器增益矩陣是一個常數(shù)矩陣,需在仿真前進行計算,需要計算對稱正定矩陣P2、P3及控制器增益矩陣K。

組合體在軌運行時所受外界環(huán)境干擾力矩包括重力梯度力矩、空氣動力矩和地磁力矩,文獻[27]詳細分析了上述干擾并指出正弦曲線是一些周期性干擾的原型,而地磁力矩和重力梯度力矩的環(huán)境干擾基本上是周期性的并且可以通過正弦曲線表示。此外,正弦曲線表示的干擾也用來測試控制算法的魯棒性[28-29]。因此,可以選擇外部干擾力矩Td為

111}。

選擇F1=[1.144 3×103-6.726 1×1021.108 8×102-0.006 1×102],F2=[6.528 0×1028.312 9×102-1.666 5×1020.026 5×102]。

表的形式

求解式(39)、式(41)～式(46)可得到控制器增益矩陣

K=

將控制器增益K和觀測器增益L應用于閉環(huán)系統(tǒng)(式(32))可得圖1～圖5所示的仿真曲線,從圖1可以看出在控制器(式(28))作用下,姿態(tài)角和角速度均能在140 s左右收斂于平衡點。從圖2可知,主動抑制能夠在100 s內(nèi)有效抑制振動。圖3表示姿態(tài)角、角速度和模態(tài)坐標的估計誤差,可知估計能在2×10-3s內(nèi)完成,說明所設計的觀測器能夠快速估計系統(tǒng)狀態(tài)。

圖1 姿態(tài)角與角速度時間響應曲線

圖2 模態(tài)坐標時間響應曲線

圖3 狀態(tài)估計誤差時間響應曲線

從圖4可以看出,綜合干擾及其估計值均小于2.5 N·m,估計誤差最終趨于平衡點附近,驗證了觀測器對于綜合干擾估計的有效性?？刂屏胤导白兓是€如圖5所示,可以看出,三軸控制力矩幅值及變化率分別小于0.4 N·m和0.5 (N·m)/s,且控制力矩幅值及變化率的范數(shù)分別小于0.5 N·m和0.8 (N·m)/s,滿足輸入受限條件。

圖4 綜合干擾及其估計誤差

圖5 控制力矩幅值及變化率時間響應曲線

當采用混合H2/H∞控制器時,控制器增益為

K=

將該控制器用于姿控系統(tǒng)可得圖6所示的仿真結果,可以看出,姿態(tài)角和角速度能夠在400 s左右收斂至平衡點附近,而所提出的控制方法僅需要140 s左右,穩(wěn)定時間減少了約65%；振動抑制在約500 s時完成,而所提出的控制方法需要約100 s,相比而言,振動抑制時間減少了約80%。盡管該控制器作用下最大模態(tài)位移較小,但需要消耗更多時間。通過混合H2/H∞控制器作用下的控制力矩曲線可以看出,三軸方向的最大控制力矩均約為0.1 N·m,比所要求的輸入幅值上界小太多,表明未充分有效利用執(zhí)行機構所能提供的控制力矩,導致更慢的收斂速度和更大的超調(diào)量,從這個角度來看提出的基于中間狀態(tài)觀測器的控制器更優(yōu),更重要的是不需要慣性矩陣的先驗信息。

圖6 混合H2/H∞控制下姿控系統(tǒng)仿真曲線

4 結 論

在對空間非合作航天器進行抓捕后形成柔性組合體,考慮到慣性矩陣或姿態(tài)或模態(tài)信息未知情況,設計了一種基于觀測器的抗干擾控制器,同時考慮了模型參數(shù)不確定性、敏感器測量誤差、執(zhí)行機構故障和輸入幅值及變化率受限問題；通過分析構造了一個綜合干擾,同時利用狀態(tài)信息和綜合干擾設計了一個中間狀態(tài)觀測器,可以同時估計狀態(tài)信息和綜合干擾,并利用觀測信息設計了一個抗干擾控制器,在求解控制器增益時考慮了輸入幅值及變化率受限條件,且不需要慣性矩陣、外界干擾和執(zhí)行機構故障的精確信息。最后通過給定參數(shù)進行數(shù)值仿真對比,驗證了所設計控制器的有效性和優(yōu)越性。

在未來的研究中,將建立非合作航天器抓捕后完整的姿軌耦合動力學模型,并同時考慮質(zhì)量特性未知以及控制器脆弱性的影響,設計能夠實現(xiàn)姿軌跟蹤及振動抑制一體化的多目標控制器。