丁一波,岳曉奎,代洪華,崔乃剛

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,西安 710072

2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001

吸氣式高超聲速飛行器因其高速度、大射程、快響應(yīng)的特點(diǎn),具有重大的軍事價(jià)值與潛在的經(jīng)濟(jì)價(jià)值[1-2]。但是,相比傳統(tǒng)飛行器,吸氣式高超聲速飛行器具有強(qiáng)非線性、靜不穩(wěn)定的特性；由于其腹部超燃沖壓發(fā)動機(jī)的影響,飛行器的推進(jìn)系統(tǒng)和氣動系統(tǒng)之間會產(chǎn)生強(qiáng)耦合；又由于其工作環(huán)境氣動現(xiàn)象復(fù)雜、機(jī)身氣動參數(shù)難以準(zhǔn)確獲取,飛行器易遭遇外界擾動和參數(shù)攝動影響[3-4]。不僅如此,吸氣式高超聲速飛行器跟蹤控制的瞬態(tài)性能對飛行狀態(tài)有著重要的影響,較大的超調(diào)量會生成過大的飛行攻角,無法維持吸氣式發(fā)動機(jī)的進(jìn)氣條件,引起發(fā)動機(jī)熄火[5-6]。上述諸多問題均導(dǎo)致吸氣式高超聲速飛行器的控制問題復(fù)雜而極具挑戰(zhàn)性,因此需要針對吸氣式高超聲速飛行器研究同步考慮跟蹤誤差性能與發(fā)動機(jī)進(jìn)氣條件約束的控制方法。

數(shù)十年以來,國內(nèi)外學(xué)者針對吸氣式高超聲速飛行器的建模工作開展了大量研究。目前研究中常采用的吸氣式高超聲速飛行器動力學(xué)模型主要針對2種構(gòu)型：錐體加速器構(gòu)型(Winged-cone)和乘波體構(gòu)型(X-43A)。錐體加速器的前體是一個軸對稱圓錐體,具有大長細(xì)比和大后掠角,升阻比較大,而發(fā)動機(jī)模塊環(huán)繞整個機(jī)體[7]。美國國家航空航天局(NASA)的Shaughnessy等對Winged-cone構(gòu)型高超聲速飛行器的幾何外形特點(diǎn)和發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)描述,并以圖表形式給出了各個氣動力和氣動力矩系數(shù)與攻角、馬赫數(shù)的關(guān)系,為Winged-cone等構(gòu)型飛行器的后期研究提供了基礎(chǔ)[8]。Mirmirani等根據(jù)NASA公布的Winged-cone構(gòu)型高超聲速飛行器的數(shù)據(jù),用多項(xiàng)式擬合出六自由度的高超聲速飛行器的數(shù)學(xué)模型,并給出較為詳細(xì)的氣動力以及力矩表達(dá)式[9]。后來Mirmirani用計(jì)算流體動力學(xué)得到的數(shù)據(jù)填補(bǔ)風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的空缺,通過曲線擬合方法,給出了與攻角、馬赫數(shù)、側(cè)滑角以及舵偏量相關(guān)的氣動力和氣動力矩表達(dá)式,建立了Winged-cone構(gòu)型飛行器的氣動數(shù)據(jù)庫,并通過仿真計(jì)算,驗(yàn)證了氣動模型的準(zhǔn)確性。對于乘波體構(gòu)型的高超聲速飛行器的運(yùn)動學(xué)以及氣動力建模的研究,國外的成果有：Schmidt和Chavez用第一性原理建立了三自由度的高超聲速飛行器模型[10]。其中氣體流動假設(shè)為準(zhǔn)一維和準(zhǔn)穩(wěn)定的,空氣動力和力矩由牛頓碰撞理論得到,超燃發(fā)動機(jī)則建模為簡單的靜態(tài)模型。美國空軍實(shí)驗(yàn)室的Bolender以X-43A構(gòu)型為例,采用斜激波和Prandl-Meyer理論代替牛頓碰撞理論[11],計(jì)算出高超聲速飛行器表面的氣動力以及彈性結(jié)構(gòu)帶來的斜激波振蕩對氣動力的影響,建立了包含推力、氣動力和彈性結(jié)構(gòu)間相互耦合的高超聲速飛行器“真實(shí)模型”[12-13]。Mirmirani等運(yùn)用壓縮流理論分析正面激波的傾斜角、壓力以及在發(fā)動機(jī)入口處馬赫數(shù),并把氣動力和推力的耦合進(jìn)行量化,提出了X-43A帶有氣推耦合的縱向模型,此模型是加州州立洛杉磯分校利用縮小尺寸的X-43A建模的[14]。Morelli等利用飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)對氣動參數(shù)進(jìn)行評估[15],Engelund詳細(xì)講述了飛行試驗(yàn)任務(wù)以及各階段的氣動數(shù)據(jù),研究了高超聲速飛行器氣動與推進(jìn)系統(tǒng)的相關(guān)特性[16]。由于Bolender的“真實(shí)模型”過于復(fù)雜,為了便于實(shí)際使用,Parker等采用最小二乘曲線擬合方法,求解氣動力與力矩的多項(xiàng)式擬合表達(dá)式,獲得曲線擬合模型(Curve-fitted model)。但是由于Parker等結(jié)合了反饋線性化和增廣LQR控制的方案,而曲線擬合模型卻無法直接實(shí)現(xiàn)反饋線性化,所以Parker等將曲線擬合模型中的高度動力學(xué)與彈性狀態(tài)移除,將升降舵對升力的耦合影響置為零,并且為燃油當(dāng)量比增加二階動力學(xué)擴(kuò)展,進(jìn)一步簡化獲得了面向控制的模型(Control-oriented model)[17]。Sigthorsson和Serrani采用曲線擬合的方法簡化“真實(shí)模型”,并將簡化出來的模型推導(dǎo)成線性參變形式,以便于使用線性控制方法設(shè)計(jì)控制器[18]。Oppenheimer等考慮到非定常氣動力的存在,用活塞理論求解飛行器氣動表面的壓力分布,建立縱向氣動模型,后期又將活塞理論用于考慮飛行器彈性結(jié)構(gòu)形變,獲得了彈性氣動模型[19-20]。隨著理論不斷健全,黏性效應(yīng)、氣動熱都被考慮到模型中[21-23]。在本文中,并未采用線性控制方法,也未采用反饋線性化方案,所以為了實(shí)現(xiàn)更為精確的控制,本文的高超聲速飛行器模型并不采用線性參變形式或面向控制的模型,而是采用了高度非線性的曲線擬合模型。

迄今為止,已有許多先進(jìn)控制理論應(yīng)用于吸氣式高超聲速飛行器的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,如：LQR控制、魯棒H∞控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、反步控制、滑?？刂频?。Ur Rehman等針對高超聲速飛行器提出了一個極小極大LQR控制器[24],Parker等應(yīng)用帶有積分增廣的LQR控制器補(bǔ)償面向控制的模型中的不確定度[17]。為了減小神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算壓力,Bu等在文獻(xiàn)[25-26]中結(jié)合了新型改進(jìn)反步控制器、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似與Minimal-learning-parameter技術(shù)。Zhang等基于文獻(xiàn)[27]的算法應(yīng)用準(zhǔn)連續(xù)高階滑?？刂破魇垢叱曀亠w行器在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望指令[28]。

吸氣式高超聲速飛行器采用機(jī)體發(fā)動機(jī)一體化設(shè)計(jì)技術(shù),發(fā)動機(jī)安裝于機(jī)身下部,由進(jìn)氣道、燃燒室和尾噴管組成,進(jìn)氣口處設(shè)計(jì)有可移動的罩門,以保證發(fā)動機(jī)在非設(shè)計(jì)工況下獲取最大空氣質(zhì)量流。這種機(jī)身發(fā)動機(jī)一體化的設(shè)計(jì)能夠?yàn)轱w行器提供強(qiáng)大推力、提高升阻比以及減少燃料負(fù)載。但也會產(chǎn)生不利因素,即推進(jìn)系統(tǒng)將與操縱面相互干擾,導(dǎo)致空氣動力學(xué)與推進(jìn)系統(tǒng)之間存在強(qiáng)耦合,為飛行器控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提出了更高的要求和挑戰(zhàn)。由于氣推耦合的影響,在實(shí)際飛行控制過程中,吸氣式高超聲速飛行器的瞬態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能同樣需要受到關(guān)注。若系統(tǒng)跟蹤誤差瞬時(shí)超調(diào)較大,會產(chǎn)生過大攻角,無法維持吸氣式發(fā)動機(jī)的進(jìn)氣量,導(dǎo)致發(fā)動機(jī)熄火[29-30]。傳統(tǒng)飛行控制方法難以滿足吸氣式高超聲速飛行器的性能約束要求,因此需要針對飛行器的瞬態(tài)性能設(shè)計(jì)預(yù)定性能控制。預(yù)定性能控制指的是系統(tǒng)跟蹤誤差滿足期望超調(diào)量、收斂速率與穩(wěn)態(tài)誤差。通過限定飛行狀態(tài)跟蹤誤差(速度、高度、攻角變化范圍)的變化趨勢,能夠有效滿足飛行性能約束與攻角幅值約束,保證吸氣式發(fā)動機(jī)正常工作所需的進(jìn)氣量。Wang等設(shè)計(jì)了新型自適應(yīng)漏斗控制以改進(jìn)傳統(tǒng)方案,并與滑?？刂平Y(jié)合提升系統(tǒng)瞬態(tài)性能[31]。在文獻(xiàn)[32]中,Dong等在自適應(yīng)有限時(shí)間控制中加入障礙李雅普諾夫函數(shù)限定高超聲速飛行器的狀態(tài)量跟蹤誤差。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法是由Bechlioulis與Rovithakis[33]提出的方案,該方法首先設(shè)計(jì)預(yù)定性能邊界函數(shù),然后對系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化得到新的無約束坐標(biāo)。通過設(shè)計(jì)控制律保證新坐標(biāo)有界即可將原本的跟蹤誤差限定在性能邊界函數(shù)內(nèi)。作為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法中的重要一環(huán),預(yù)定性能函數(shù)直接決定了跟蹤誤差的性能,因此學(xué)者們多著眼于性能函數(shù)的設(shè)計(jì)與改進(jìn)。在文獻(xiàn)[34]中,Bu采用傳統(tǒng)的指數(shù)收斂形式性能函數(shù),并應(yīng)用反雙曲正切函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。文獻(xiàn)[35]與文獻(xiàn)[36]分別基于雙曲余切與雙曲余割函數(shù)設(shè)計(jì)預(yù)定性能邊界函數(shù),相比傳統(tǒng)方法,該方案無需精確已知系統(tǒng)跟蹤誤差的初值。

綜合上述分析可知,現(xiàn)有的性能函數(shù)能夠自由調(diào)節(jié)函數(shù)收斂速率,但是實(shí)現(xiàn)較快收斂速率需要付出的代價(jià)是較大的初始控制量,這在實(shí)際控制幅值受限的吸氣式高超聲速飛行器中通常難以實(shí)現(xiàn)。因此,需要研究能夠靈活調(diào)整收斂速率且初始控制量較小的新型性能函數(shù)[37]。而且,如何基于性能函數(shù)方法針對吸氣式高超聲速飛行器設(shè)計(jì)同步考慮跟蹤誤差性能約束與發(fā)動機(jī)進(jìn)氣條件約束的控制器是一個需要解決的難題。因此,本文基于新型設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)提出了一種約束預(yù)定性能控制器,能夠滿足飛行器跟蹤誤差的性能約束與吸氣式發(fā)動機(jī)的進(jìn)氣約束。設(shè)計(jì)的新型設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)能夠保證性能函數(shù)變量在預(yù)設(shè)時(shí)刻精確收斂至穩(wěn)態(tài)值。

1 高超聲速飛行器動力學(xué)建模

本節(jié)首先給出高超聲速飛行器的動力學(xué)方程,然后將其拆分為速度和高度2個子系統(tǒng),最后給出跟蹤誤差的預(yù)定性能條件與進(jìn)氣約束。

1.1 高超聲速飛行器數(shù)學(xué)模型

高超聲速飛行器的縱向動力學(xué)模型為

(1)

式中：V、h、γ、α、Q分別為速度、高度、飛行路徑角、攻角和俯仰角速度；m、g、Iyy分別為質(zhì)量、重力加速度與轉(zhuǎn)動慣量；T、M、L和D分別為推力、俯仰力矩、升力和阻力。推力與氣動力、氣動力矩經(jīng)由曲線擬合近似可得：

(2)

考慮到高超聲速飛行器的任務(wù)需求與實(shí)際物理約束,在飛行過程中,系統(tǒng)狀態(tài)需要保持在如表1 所示特定允許范圍內(nèi)[17, 38]。

表1 狀態(tài)量與控制量允許范圍

1.2 子系統(tǒng)分解

基于功能分解,飛行器動力學(xué)系統(tǒng)(式(1))可拆分為2個子系統(tǒng)：速度與高度子系統(tǒng)。速度階躍指令信號Vc與高度階躍指令信號hc通過2個預(yù)濾波器可以獲取2個子系統(tǒng)的期望信號Vd與hd[39]：

(3)

(4)

式中：ωd1和ζd1為角頻率和阻尼比,其取值分別為ωd1=0.03 rad/s,ζd1=0.95。2個預(yù)濾波器的功能是將階躍的指令信號Vc與hc調(diào)制為光滑且可導(dǎo)的期望信號Vd與hd。

定義速度、高度、飛行路徑角跟蹤誤差分別為eV=V-Vd、eh=h-hd與eγ=γ-γd：

(5)

(6)

式中：dVT、dγT、dQT分別表示氣動參數(shù)攝動及外部擾動作用于速度、飛行路徑角、俯仰角速度動力學(xué)上的擾動;其余符號定義如下：

(7)

(8)

假定氣動系數(shù)與結(jié)構(gòu)系數(shù)都受到參數(shù)攝動的影響。定義Pr為實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù),包括質(zhì)量m、轉(zhuǎn)動慣量Iyy、參考面積S；P0為其標(biāo)稱值。符號Cr表示實(shí)際氣動擬合參數(shù)與推力擬合參數(shù),C0為其標(biāo)稱值。在實(shí)際控制器設(shè)計(jì)中,僅有標(biāo)稱參數(shù)P0與C0可以獲得,因此利用標(biāo)稱值P0與C0替換式(7)與式(8)中的實(shí)際值Pr和Cr可以計(jì)算得到標(biāo)稱函數(shù)FV0、GV0、Fγ0、Gγ0、Fα0、Gα0、FQ0、GQ0。式(5)和式(6)的誤差動力學(xué)可以表示為

(9)

(10)

式中：ΔV、Δγ、Δα與ΔQ表示由外部擾動或參數(shù)攝動影響引發(fā)的集總擾動。

1.3 問題陳述

由于1.1節(jié)中所述氣推耦合的影響,吸氣式高超聲速飛行器的飛行狀態(tài)會直接影響發(fā)動機(jī)工作情況,主要體現(xiàn)在飛行攻角的大小會改變發(fā)動機(jī)進(jìn)氣量,若攻角幅值超出允許范圍,發(fā)動機(jī)將出現(xiàn)進(jìn)氣不足現(xiàn)象,產(chǎn)生熱滯,導(dǎo)致推進(jìn)系統(tǒng)癱瘓。因此需要同時(shí)關(guān)注飛行器實(shí)時(shí)控制下的飛行狀態(tài)瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能,以限制攻角幅值變化范圍,保證發(fā)動機(jī)正常工作[40]?？杀ＷC發(fā)動機(jī)進(jìn)氣約束的攻角幅值范圍滿足如下條件[41-42]：

|α|≤Aα=aαV+bαV∈[Vmin,Vmax]

(11)

式中：Vmin≈4Mam/s；aα與bα為常數(shù)。當(dāng)V=Vmin時(shí),aαVmin+bα=0。由式(11)可知,當(dāng)飛行速度低于4Ma時(shí),吸氣式超燃沖壓發(fā)動機(jī)無法工作；當(dāng)飛行速度大于4Ma時(shí),發(fā)動機(jī)正常工作允許的最大攻角值A(chǔ)α隨速度的增大而增大[43]。

根據(jù)上述條件可知,吸氣式發(fā)動機(jī)的進(jìn)氣約束與飛行速度、飛行狀態(tài)等都密切相關(guān)。因此需要對速度、高度、攻角等狀態(tài)的跟蹤誤差進(jìn)行瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能2方面的精確控制和限制。定義速度與高度跟蹤誤差的預(yù)定性能條件為

-δVLρfV(t)0

(12)

-δhLρfh(t)0

(13)

式中：ρfV(t)與ρfh(t)分別為速度與高度跟蹤誤差的預(yù)定性能函數(shù),其界定了期望瞬態(tài)性能(最小收斂速率,最大超調(diào))與穩(wěn)態(tài)性能(穩(wěn)態(tài)誤差)[44]；δVL、δVU、δhL、δhU為界限參數(shù),其滿足：

δVL,δVU,δhL,δhU∈(0, 1]

(14)

本文的控制目的是設(shè)計(jì)考慮約束的非線性控制器,使得高超聲速飛行器的速度與高度跟蹤誤差滿足期望預(yù)定性能式(12)與式(13),即保證飛行器跟蹤誤差的瞬態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能滿足預(yù)期需求。同時(shí),飛行攻角實(shí)時(shí)滿足條件式(11),保證超燃沖壓發(fā)動機(jī)正常工作。

2 約束預(yù)定性能控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)控制器設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)安排如下：首先針對速度子系統(tǒng)提出有限時(shí)間預(yù)定性能控制器,對受約束的速度跟蹤誤差進(jìn)行無約束轉(zhuǎn)化,并結(jié)合新型設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)與一致收斂觀測器,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換誤差的快速有限時(shí)間收斂,保證速度跟蹤誤差滿足預(yù)定性能約束式(12)；然后基于新型固定時(shí)間濾波器,為高度子系統(tǒng)提出指令濾波反步預(yù)定性能控制器,該控制器針對高度跟蹤誤差設(shè)計(jì)了預(yù)定性能控制；另外,在反步控制中,限定攻角的虛擬控制信號幅值不超過Aαc,并對攻角跟蹤誤差執(zhí)行預(yù)定性能控制,令其性能函數(shù)最大值max{ρfα(t)}與Aαc之和不大于進(jìn)氣條件約束下的最大攻角值A(chǔ)α,則可保證飛行器滿足攻角幅值約束式(11)。約束預(yù)定性能控制器的完整結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 約束預(yù)定性能控制器結(jié)構(gòu)

2.1 速度子系統(tǒng)有限時(shí)間預(yù)定性能控制器

本節(jié)首先設(shè)計(jì)新型設(shè)定時(shí)間性能函數(shù),然后基于無約束轉(zhuǎn)化設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制律。

2.1.1 設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)設(shè)計(jì)

為了保證系統(tǒng)跟蹤誤差的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)值滿足期望預(yù)定性能,首先需要構(gòu)建函數(shù)值大于零的光滑預(yù)定性能函數(shù)作為預(yù)定性能邊界[45]。本文提出如下多項(xiàng)式形式的新型設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)：

ρfV(t)=aV3t4+aV2t3+aV1t2+cVρrt+cVρ0

(15)

式中：aV3、aV2與aV1的表達(dá)式為

(16)

其中：cVρ0、cVρr、ρfV∞與TfV為調(diào)節(jié)參數(shù)。cVρ0為正數(shù),表示初始誤差界限；cVρr表示性能函數(shù)初始變化方向；ρfV∞為函數(shù)ρfV(t)的穩(wěn)態(tài)收斂值；TfV為ρfV(t)收斂至穩(wěn)態(tài)值ρfV∞的設(shè)定時(shí)間。

為了保證跟蹤誤差eV初始處于預(yù)定性能區(qū)域式(12)內(nèi),性能函數(shù)參數(shù)需要滿足[46]：

-δVLcVρ0

(17)

式中：eV(0)為eV的初始值。則式(17)等價(jià)于：當(dāng)eV(0)≥0時(shí),需要滿足：cVρ0>eV(0)/δVU；當(dāng)eV(0)<0時(shí),需要滿足：cVρ0>-eV(0)/δVL。綜合2種情況,cVρ0參數(shù)選擇應(yīng)滿足：

(18)

注意式(18)中的符號函數(shù)sgn[eV(0)]只是用于獲得初始速度跟蹤誤差eV(0)的正負(fù)性,根據(jù)其正負(fù)性計(jì)算cVρ0的選取范圍。這里的符號函數(shù)并不會用于控制器設(shè)計(jì)中,所以并不會影響控制器的實(shí)際應(yīng)用。令t=TfV可得：

(19)

可見,性能函數(shù)式(15)能夠在設(shè)定時(shí)間TfV處精確等于期望穩(wěn)態(tài)收斂值,且ρfV(t)與其導(dǎo)數(shù)在設(shè)定時(shí)間處均連續(xù)光滑。

注釋1考慮如下3種傳統(tǒng)預(yù)定性能控制的性能函數(shù)[35,46-47]：

(20)

式中：kρ為正設(shè)計(jì)參數(shù),表示性能函數(shù)衰減速率。這3種性能函數(shù)都能夠有效衰減直至期望穩(wěn)態(tài)值,但是它們只能實(shí)現(xiàn)指數(shù)收斂。相比之下,設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)能夠保證ρfV(t)在預(yù)設(shè)時(shí)刻TfV精確等于穩(wěn)態(tài)值,從而實(shí)現(xiàn)更快的收斂速度與更高的收斂精度。同時(shí),設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)中的參數(shù)cVρr可以調(diào)節(jié)函數(shù)初始變化方向,靈活調(diào)整衰減形式。

2.1.2 控制器設(shè)計(jì)

為了補(bǔ)償速度子系統(tǒng)中擾動的影響,應(yīng)用文獻(xiàn)[48]中的一致收斂觀測器精確估計(jì)擾動ΔV：

(21)

κA1=3,κA2=4.16,κA3=3.06,κA4=1.1

(22)

參數(shù)αA為充分小正常數(shù);kAi需要保證多項(xiàng)式s4+kA1s3+kA2s2+kA3s+kA4滿足霍爾維茨條件;參數(shù)θA定義為

(23)

下面設(shè)計(jì)速度子系統(tǒng)預(yù)定性能控制器。首先將受約束的eV轉(zhuǎn)化為等價(jià)的無約束形式：

eV=λVρfV(t)=S(εV)ρfV(t)

(24)

式中：εV為轉(zhuǎn)換誤差；λV=S(εV)表示關(guān)于εV的光滑遞增轉(zhuǎn)換函數(shù),其滿足如下條件[46]：

(25)

根據(jù)條件式(25)設(shè)計(jì)可用轉(zhuǎn)換函數(shù)[49]：

(26)

(27)

結(jié)合式(21)的輸出信號可得速度控制器：

(28)

式中：kV,kVF>0, 0

(29)

定理1在控制律式(28)作用下,速度子系統(tǒng)轉(zhuǎn)換誤差εV能夠在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂至0。因此速度跟蹤誤差eV可始終處于預(yù)定性能區(qū)域式(12) 內(nèi)。

(30)

將式(28)代入式(30)可得：

(31)

(32)

其中：

(33)

若參數(shù)kV設(shè)計(jì)滿足：kV>1/2,則VV可在有限時(shí)間內(nèi)收斂進(jìn)入下述區(qū)域：

(34)

收斂時(shí)間滿足：

(35)

其中:VV0為VV的初始值。

(36)

故在觀測器收斂之后,εV將在有限時(shí)間內(nèi)精確收斂至0。收斂時(shí)間滿足：

(37)

則εV有界,由式(25)得λV=S(εV)∈(-δVL,δVU), -δVL

2.2 高度子系統(tǒng)指令濾波反步預(yù)定性能控制器

本節(jié)設(shè)計(jì)指令濾波反步預(yù)定性能控制器,在保證高度跟蹤誤差期望預(yù)定性能的同時(shí),滿足攻角幅值約束。

首先針對高度跟蹤誤差設(shè)計(jì)性能函數(shù)：

ρfh(t)=ah3t4+ah2t3+ah1t2+chρrt+chρ0

(38)

式中:ah3、ah2與ah1的表達(dá)式為

(39)

其中：chρ0、chρr、ρfh∞與Tfh為調(diào)節(jié)參數(shù)。chρ0為正數(shù),表示初始誤差界限；chρr表示性能函數(shù)初始變化方向；ρfh∞為ρfh(t)的穩(wěn)態(tài)收斂值；Tfh表示ρfh(t)收斂至穩(wěn)態(tài)值ρfh∞的設(shè)定時(shí)間。

類比速度跟蹤誤差性能函數(shù)參數(shù)選擇條件式(18),chρ0需滿足如下條件：

(40)

式中：eh(0)為eh的初始值。高度跟蹤誤差性能函數(shù)式(38)同樣可在設(shè)定時(shí)間Tfh處精確等于期望穩(wěn)態(tài)值。下面將高度跟蹤誤差eh轉(zhuǎn)化為無約束變量：

eh=λhρfh(t)=S(εh)ρfh(t)

(41)

其中：λh=S(εh)為關(guān)于εh的轉(zhuǎn)換函數(shù)：

(42)

轉(zhuǎn)換誤差εh通過反函數(shù)求解：

(43)

根據(jù)轉(zhuǎn)換誤差εh設(shè)計(jì)期望飛行路徑角γd[50]：

(44)

式中:kP>0;rPh與HPh的定義為

(45)

若飛行路徑角等于γd,則εh滿足：

(46)

故εh可指數(shù)收斂。則λh=S(εh)∈(-δhL,δhU)。

下面針對飛行路徑角跟蹤誤差eγ設(shè)計(jì)考慮攻角約束的反步控制器,在實(shí)現(xiàn)eγ收斂的同時(shí)保證攻角處于允許工作區(qū)域內(nèi)。

步驟1

對于高度子系統(tǒng)式(10)中的eγ動力學(xué)：

(47)

(48)

(49)

其中:kγ>0。對虛擬控制αc0進(jìn)行如下限幅處理：

(50)

注意Aαc需滿足：Aαc+max{ρfα(t)}≤Aα,其中ρfα(t)為下一步設(shè)計(jì)的攻角誤差預(yù)定性能函數(shù)。

將αc通過固定時(shí)間濾波器可得αd0[51]：

sigaF2[kα2(αc-αd0)]

(51)

式中：τα為正時(shí)間常數(shù);kα1,kα2≥1; 01。同樣對αd0進(jìn)行限幅處理：

(52)

定義eα=α-αd與zα=αd-αc,則eγ滿足：

(53)

步驟2

對于攻角誤差動力學(xué)：

(54)

同樣應(yīng)用一致收斂觀測器補(bǔ)償擾動Δα：

(55)

-δαLρfα(t)0

(56)

類似式(12)與式(13),δαL,δαU∈(0, 1]。ρfα(t)的表達(dá)式為

ρfα(t)=aα3t4+aα2t3+aα1t2+cαρrt+cαρ0

(57)

其中：aα3、aα2與aα1的表達(dá)式為

(58)

其中：cαρ0、cαρr、ρfα∞與Tfα為調(diào)節(jié)參數(shù)。cαρ0為初始誤差界限；cαρr表示性能函數(shù)初始變化方向；ρfα∞為ρfα(t)的穩(wěn)態(tài)收斂值；Tfα為設(shè)定收斂時(shí)間。cαρ0需滿足:

(59)

其中：eα(0)為eα的初始值。將eα進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

eα=λαρfα(t)=S(εα)ρfα(t)

(60)

其中：λα=S(εα)為關(guān)于εα的轉(zhuǎn)換函數(shù)：

(61)

轉(zhuǎn)換誤差εα通過反函數(shù)求解：

(62)

因此,虛擬控制律Qc設(shè)計(jì)為

(63)

式中:kα>0;rPα與HPα定義為

(64)

將虛擬控制Qc通過固定時(shí)間濾波器可得濾波器輸出信號Qd：

sigaF2[kQ2(Qc-Qd)]

(65)

式中：τQ>0；kQ1≥1；kQ2≥1。

定義eQ=Q-Qd與zQ=Qd-Qc,則攻角轉(zhuǎn)換誤差εα對應(yīng)的動力學(xué)滿足：

(66)

步驟3

對于俯仰角速度誤差動力學(xué)：

(67)

應(yīng)用一致收斂觀測器補(bǔ)償擾動ΔQ：

(68)

(69)

其中:控制參數(shù)kQ>0。則eQ的動力學(xué)為

(70)

定理2在虛擬控制律式(49)、式(63)和舵偏角控制指令式(69)作用下,高度子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致最終有界,同時(shí)攻角始終處于限定幅值式(11)之內(nèi)。

證明：為子系統(tǒng)式(10)設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)：

(71)

結(jié)合式(53)、式(66)與式(70),可得Vh的導(dǎo)數(shù)滿足：

(72)

式中：Gγ0eγeα項(xiàng)滿足

|Gγ0eγeα|≤|Gγ0||eγ||ρfαS(εα)|≤

ρfα|Gγ0||eγ||εα|

(73)

將式(73)代入式(72)可得：

(74)

zα與zQ是固定時(shí)間濾波器跟蹤誤差,其滿足：

(75)

(76)

(77)

綜合考慮多種情況,若參數(shù)選擇滿足：

(78)

(79)

α=eα+αd≤|eα|+|αd|≤max{ρfα(t)}+

Aαc≤Aα

(80)

因此攻角能夠始終處于預(yù)先限定幅值式(11)內(nèi)?！?/p>

3 仿真分析

本節(jié)將約束預(yù)定性能控制器應(yīng)用于吸氣式高超聲速飛行器中,驗(yàn)證跟蹤性能約束與進(jìn)氣條件約束的滿足情況。飛行器初始條件如表2所示。

表2 初始條件

速度與高度通道的階躍指令為

Vc=2 407.92 m/s,hc=26 212.8 m

定義飛行器氣動參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的參數(shù)不確定度為[25]

(81)

式中:ACr=20%;APr=10%。約束預(yù)定性能控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)如表3所示。

表3 約束預(yù)定性能控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)

以速度通道為例,下面給出設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)的參數(shù)選擇依據(jù)。根據(jù)式(14)可知δVL,δVU∈(0, 1],故選擇δVU=1,δVL=1,表示將eV直接限定在由ρfV(t)與-ρfV(t)構(gòu)成的界限內(nèi)；ρfV∞表示速度跟蹤誤差的期望穩(wěn)態(tài)收斂值,因?yàn)樗俣雀櫿`差在控制器作用下能夠?qū)崿F(xiàn)高精度有限時(shí)間收斂,所以選擇ρfV∞=10-3。cVρr表示性能函數(shù)的初始變化方向,當(dāng)其為正數(shù)時(shí)性能函數(shù)初始增大,為負(fù)數(shù)時(shí)性能函數(shù)初始減小,因此cVρr決定了性能函數(shù)的初始收斂速度。因?yàn)樗俣雀櫿`差eV的初始響應(yīng)速度并無特殊要求,所以cVρr的選擇較為靈活,故令cVρr=0。TfV為性能函數(shù)的期望收斂時(shí)間,這里設(shè)定為4 s。cVρ0表示性能函數(shù)的初始界限,需要滿足式(18),這里eV(0)=-1 m/s,則計(jì)算式(18)的右端項(xiàng)可得：cVρ0>1,所以選擇cVρ0=1.1。

場景A本場景將本文的約束預(yù)定性能控制器與2種控制器進(jìn)行了對比仿真。一種為不考慮性能與進(jìn)氣約束的控制器,一種為文獻(xiàn)[34]設(shè)計(jì)的預(yù)定性能控制器。第1種無約束控制器(Unconstrained Controller,UCC)未考慮速度與高度的跟蹤誤差約束,未對攻角跟蹤誤差進(jìn)行預(yù)定性能處理也未對攻角虛擬控制進(jìn)行限幅,剩余控制器部分與本文控制器相同；文獻(xiàn)[34]采用傳統(tǒng)預(yù)定性能函數(shù)：ρfV(t)=(cVρ0-ρfV∞)e-kρt+ρfV∞。控制器部分結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑?？刂?文中僅考慮了性能約束,未考慮進(jìn)氣約束。為了與本文控制器單獨(dú)對比新型設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)的優(yōu)勢,本場景下的對比仿真修改文獻(xiàn)[34]的控制器與本文相同,同樣考慮攻角約束,只是采用不同的性能函數(shù)。其中,速度、高度、攻角跟蹤誤差的性能函數(shù)參數(shù)分別選擇為：kVρ=0.5,khρ=0.15,kαρ=0.3。

場景A下的仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。高超聲速飛行器跟蹤誤差eV、eh與eγ的跟蹤曲線如圖2～圖4所示。圖2(a)與圖3(a)對比了本文控制器(proposed)與無約束控制器的效果,曲線表明在無約束控制器作用下,速度與高度跟蹤誤差均超出了期望性能邊界,而約束預(yù)定性能控制器則能夠?qū)⒏櫿`差有效限定在設(shè)定性能函數(shù)區(qū)域內(nèi)。圖2(b)、圖3(b)與圖4比較了本文控制器與對比仿真的效果。曲線顯示了2種性能函數(shù)不同的收斂特性,對比仿真的性能函數(shù)僅能夠以指數(shù)形式無限趨近于期望穩(wěn)態(tài)收斂值,與之相比,本文設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)能夠在指定時(shí)刻快速精確收斂至期望穩(wěn)態(tài)值,不僅收斂速度快,而且可靈活調(diào)節(jié)收斂時(shí)間。在不同性能函數(shù)作用下,本文的跟蹤誤差能夠?qū)崿F(xiàn)更快的收斂速度。圖5與圖6給出的是本文控制器作用下的速度與高度跟蹤誤差的轉(zhuǎn)化誤差變量與歸一化變量。結(jié)果表明εV與εh均可快速收斂,且歸一化變量λV與λh能夠分別有效限定至預(yù)定界限(-δVL,δVU)與(-δhL,δhU)內(nèi)。

圖2 速度跟蹤性能 (場景A)

圖3 高度跟蹤性能(場景A)

圖4 飛行路徑角跟蹤性能(場景A)

圖7給出的是攻角與俯仰角速度變化曲線,其中紅色點(diǎn)劃線為滿足發(fā)動機(jī)進(jìn)氣條件的最大攻角值(αmax)。無約束控制器作用下的攻角在初始動態(tài)響應(yīng)過程中超出了最大允許值,這將導(dǎo)致發(fā)動機(jī)熄火,推進(jìn)系統(tǒng)癱瘓。與之相比,約束預(yù)定性能控制器作用下的攻角始終處于最大攻角值之下,能夠滿足發(fā)動機(jī)進(jìn)氣需求。圖8給出的是飛行器的執(zhí)行機(jī)構(gòu)變化曲線,可見在約束預(yù)定性能控制器作用下,控制輸入處于表1所列的允許邊界內(nèi)。而且,本文控制器相比UCC和對比仿真的最大控制量都要小,這表明本文控制器在實(shí)際應(yīng)用中可以有效避免控制信號的幅值飽和,其原因在于設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)中的參數(shù)cρ r能夠調(diào)節(jié)性能函數(shù)初始變化方向,靈活調(diào)整狀態(tài)量的初始收斂速率。圖9與圖10給出的是約束預(yù)定性能控制器的固定時(shí)間濾波器跟蹤結(jié)果,濾波輸出αd和Qd可分別以高精度跟蹤輸入信號αc和Qc。且圖9顯示,為了實(shí)現(xiàn)飛行攻角約束,攻角虛擬控制αc與濾波輸出αd均被限幅不超過Aαc。圖11顯示了攻角跟蹤誤差與俯仰角速度跟蹤誤差,曲線表明攻角跟蹤誤差被有效限定在預(yù)定性能函數(shù)內(nèi)。類似于速度與高度跟蹤誤差,本文控制器作用下攻角跟蹤誤差相比對比仿真同樣可實(shí)現(xiàn)更快的收斂速度。圖12說明攻角的轉(zhuǎn)化誤差變量εα可保持一致最終有界,歸一化變量λα能夠限定至預(yù)定界限(-δαL,δαU)內(nèi)。

圖8 燃油當(dāng)量比與升降舵偏轉(zhuǎn)角 (場景A)

圖10 虛擬控制信號Qc的跟蹤曲線 (場景 A)

圖11 攻角與俯仰角速度跟蹤誤差 (場景 A)

圖12 攻角跟蹤誤差的εα與λα (場景 A)

場景B本場景對飛行器進(jìn)行100次蒙特卡洛打靶仿真,其中參數(shù)不確定度的定義如1.2節(jié)所示。實(shí)際值Pr與Cr均滿足均勻分布規(guī)律。即飛行器的實(shí)際結(jié)構(gòu)、氣動、推力擬合參數(shù)滿足：

(82)

式中:ACr=40%;APr=10%; U(-1, 1)表示-1～1閉區(qū)間上的均勻分布。為了保證強(qiáng)不確定性擾動下控制器的魯棒性,控制參數(shù)設(shè)定為：cαρ0=0.02,ρfα∞=0.05,kV=2,Tfh=25,kγ=kα=kQ=0.3,剩余參數(shù)與表3一致。

場景B的仿真結(jié)果如圖13～圖18所示,可見在考慮強(qiáng)不確定性參數(shù)攝動影響下,本文控制器仍然能夠保證飛行器的穩(wěn)定性,并同時(shí)滿足跟蹤誤差的性能約束與攻角幅值約束。

圖14 高度跟蹤性能(場景B)

圖15 飛行路徑角跟蹤性能(場景B)

圖16 攻角與俯仰角速度(場景B)

圖17 燃油當(dāng)量比與升降舵偏轉(zhuǎn)角(場景B)

圖18 攻角與俯仰角速度跟蹤誤差(場景B)

4 結(jié) 論

本文針對受跟蹤誤差性能與發(fā)動機(jī)進(jìn)氣條件約束的高超聲速飛行器控制需求,設(shè)計(jì)了約束預(yù)定性能控制器。

1) 對于跟蹤誤差性能約束,首先設(shè)計(jì)設(shè)定時(shí)間性能函數(shù)。相比傳統(tǒng)方案,其能夠保證性能函數(shù)在預(yù)先設(shè)定時(shí)刻精確等于穩(wěn)態(tài)值,同時(shí)靈活調(diào)整函數(shù)初始收斂速率。然后將受約束的跟蹤誤差進(jìn)行無約束轉(zhuǎn)化,通過控制轉(zhuǎn)化誤差有界可實(shí)現(xiàn)原始跟蹤誤差的預(yù)定性能約束。

2) 在高度子系統(tǒng)中,為指令濾波反步法設(shè)計(jì)了新型固定時(shí)間濾波器,相比結(jié)合傳統(tǒng)低通濾波器,高度跟蹤誤差能夠在相同時(shí)間常數(shù)下實(shí)現(xiàn)更高的收斂精度與更快的響應(yīng)速度。

3) 通過在反步控制器中對攻角虛擬控制進(jìn)行限幅處理,并對攻角跟蹤誤差執(zhí)行預(yù)定性能控制,能夠滿足攻角幅值約束。

4) 對比無約束控制器,本文的約束預(yù)定性能控制器能夠同時(shí)滿足跟蹤誤差性能約束與攻角約束,綜合保證系統(tǒng)瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能,始終滿足吸氣式超燃沖壓發(fā)動機(jī)的進(jìn)氣需求。