李海蓉,彭 煜,胡 翔,靳俊杰,包 福,劉方義,姜 明

(1.湖北省計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院,湖北 武漢 430223;2.武漢紡織大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院,湖北 武漢 430200;3.武漢紡織大學(xué) 計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院,湖北 武漢 430200)

沖擊試驗(yàn)是確定產(chǎn)品及設(shè)備在經(jīng)受沖擊負(fù)荷作用時(shí)產(chǎn)品的安全性、可靠性和有效性的一種試驗(yàn)方法[1-2]。為了保證沖擊試驗(yàn)機(jī)示值的準(zhǔn)確性,必須對(duì)其進(jìn)行計(jì)量檢定/校準(zhǔn)。而用標(biāo)準(zhǔn)沖擊樣品對(duì)沖擊試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行計(jì)量,能夠評(píng)定沖擊試驗(yàn)機(jī)的綜合性能,或?qū)υO(shè)備問(wèn)題進(jìn)行追溯,是一種準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單、高效的計(jì)量手段。

不確定度評(píng)估的目的是探知測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確和可靠程度[3-10]。GUM(The guide to the expression of uncertainty in measurement)[11]提供了測(cè)量不確定度的指導(dǎo)方法。它通過(guò)測(cè)量方程建立起誤差元變量與被測(cè)量之間的關(guān)系,從而確保誤差之間的可傳遞性。GUM S1[12]基于數(shù)值計(jì)算方法通過(guò)Monte-Carlo方法實(shí)現(xiàn)概率密度函數(shù)的抽樣。它也可看作是一種特殊先驗(yàn)條件下基于貝葉斯方法(Bayesian method)的不確定度評(píng)估[13-14]?；谪惾~斯方法評(píng)定不確定度的研究大多采用A類(lèi)評(píng)定,但通常未考慮完整測(cè)量方程[15-18]。

本文在考慮多源測(cè)量不確定性基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)ABS共聚物沖擊試樣進(jìn)行沖擊測(cè)試,建立適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方程,分別通過(guò)GUM標(biāo)準(zhǔn)評(píng)估方法與非線(xiàn)性系統(tǒng)的貝葉斯方法對(duì)評(píng)定數(shù)據(jù)源進(jìn)行分析,并對(duì)二者結(jié)果進(jìn)行對(duì)比與評(píng)價(jià)。進(jìn)一步,我們提出簡(jiǎn)單重復(fù)性取樣,優(yōu)化貝葉斯方法的先驗(yàn)選取方案不足,以此,我們得到更置信的貝葉斯評(píng)估方案。

1 評(píng)估方法

1.1 數(shù)學(xué)模型

依據(jù)GBT1043.1-2008標(biāo)準(zhǔn)制備A型沖擊試樣,試樣原料為丙烯腈-丁二烯-苯乙烯共聚物(ABS,TAIRILAC 15A0)。樣品沖擊強(qiáng)度為

(1)

式(1)中:Ec為樣條沖擊強(qiáng)度,kJ/m2;c為沖擊能,J;h為樣條在缺口處的厚度,mm;b為樣條剩余寬度,mm。

由式(1)可知,沖擊樣條的測(cè)量不確定度包括沖擊能c的測(cè)量不確定度、樣條在缺口處的厚度h的測(cè)量不確定度以及樣條剩余寬度b的測(cè)量不確定度三個(gè)部分,且互不相關(guān),因此樣條沖擊強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公式如下:

(2)

1.2 誤差源分析

1) 在沖擊試樣尺寸測(cè)量過(guò)程中引入的不確定度

包括測(cè)量缺口處的厚度,以及寬度所引入的不確定度分量。此類(lèi)不確定度評(píng)定需經(jīng)過(guò)重復(fù)性的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算,進(jìn)行A類(lèi)不確定度評(píng)定。

2) 由于沖擊能修正而引入的不確定度

該分量與實(shí)驗(yàn)儀器的精度和沖擊實(shí)驗(yàn)過(guò)程中擺錘能量損失有關(guān),無(wú)須開(kāi)展重復(fù)性實(shí)驗(yàn),進(jìn)行B類(lèi)不確定度評(píng)估。

3) 由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修約而引入的不確定度

進(jìn)行B類(lèi)不確定度評(píng)估。

4) 與沖擊強(qiáng)度測(cè)量重復(fù)性相關(guān)的不確定度

進(jìn)行A類(lèi)不確定度評(píng)估。

1.3 GUM方法評(píng)估

根據(jù)JJF 1059.1-2012《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》進(jìn)行GUM法不確定度評(píng)估。

1.4 貝葉斯方法評(píng)估

將參數(shù)μ看作隨機(jī)變量,且測(cè)試前具有關(guān)于參數(shù)μ的所有信息的先驗(yàn)分布,通過(guò)測(cè)試得到數(shù)據(jù)X=(x1,x2,x3,…),結(jié)合X和先驗(yàn)分布得到參數(shù)μ的后驗(yàn)分布。后驗(yàn)分布包含了μ的所有信息,因此對(duì)μ所作的任何計(jì)算都基于后驗(yàn)分布。

貝葉斯理論可簡(jiǎn)單表示為

h(μ|x)∝p(μ)L(μ|x)。

(3)

式中:h(μ|x)為后驗(yàn)密度函數(shù),p(μ)為先驗(yàn)密度函數(shù),L(μ|x)為樣本密度函數(shù),即似然函數(shù)。

當(dāng)測(cè)量樣本(x1,x2,x3,…)相互獨(dú)立時(shí),上一次的后驗(yàn)分布可以作為下次計(jì)算的先驗(yàn)分布。根據(jù)歷史測(cè)量數(shù)據(jù)得到先驗(yàn)均值μ0和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差τ,并假設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,因此可認(rèn)為p(μ)～N(μ0,τ2),得到均值μ的先驗(yàn)密度函數(shù)為

(4)

(5)

將式(4)和(5)代入式(3)得到后驗(yàn)分布為

(6)

其中,

(7)

(8)

2 測(cè)試結(jié)果與分析

利用XJJ-50型簡(jiǎn)支梁沖擊試驗(yàn)機(jī)對(duì)樣條進(jìn)行沖擊測(cè)試,得到數(shù)據(jù)如表1所示。

2.1 測(cè)試數(shù)據(jù)異常值判定

表1 樣品沖擊測(cè)試結(jié)果

2.2 不確定度評(píng)估

我們首先基于GUM方法評(píng)估該型儀器的不確定度?；诖俗鳛閷?duì)比結(jié)果,在2.3中引入貝葉斯方法與Monte-Carlo方法進(jìn)行對(duì)比評(píng)估,并詳細(xì)介紹了其中引起差異性結(jié)果的原因。

2.2.1 由沖擊樣條尺寸測(cè)量引入的不確定度

a. 由沖擊試樣的厚度測(cè)量引入的不確定度

利用貝塞爾公式得到25次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差:

(9)

故標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(10)

由沖擊試樣厚度測(cè)量引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(11)

b. 由沖擊試樣剩余寬度測(cè)量引入的不確定度

同理,基于A類(lèi)不確定度評(píng)估方法評(píng)估剩余寬度測(cè)量數(shù)據(jù),利用貝塞爾公式得到其標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(12)

其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(13)

沖擊試樣剩余寬度測(cè)量引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(14)

根據(jù)貝塞爾方法計(jì)算出的由于沖擊樣條尺寸測(cè)量引入的相對(duì)不確定度為

(15)

2.2.2 由于擺錘能量損失而引入的不確定度

a. 與沖擊試驗(yàn)機(jī)測(cè)量誤差相關(guān)的不確定度

(16)

b. 由于能量損失而引入的不確定度

測(cè)試過(guò)程中的空氣阻力、指針摩擦、軸承摩擦等因素會(huì)造成擺錘沖擊能損失。參照該試驗(yàn)機(jī)技術(shù)指標(biāo),7.5 J擺錘的能量損失為0.5%,所以區(qū)間半寬a=0.5%,測(cè)量值落在該區(qū)間的概率呈均勻分布,所以相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(17)

故在沖擊過(guò)程中,由于能量損失引入的不確定度為

(18)

2.2.3 由于測(cè)量沖擊能的重復(fù)性引入的不確定度

由貝塞爾公式可計(jì)算出沖擊強(qiáng)度Ec的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(19)

由于測(cè)量的可重復(fù)性引入的相對(duì)不確定度為

(20)

2.2.4 由于測(cè)試數(shù)據(jù)修約所引入的不確定度

(21)

其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(22)

2.2.5 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

綜合上述幾種不確定度分量,將其誤差源視為獨(dú)立分布變量,則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

(23)

2.2.6 擴(kuò)展不確定度

在95%的置信因素下,取包含因子k=2,則擴(kuò)展不確定度為

uk=k×ugum=10.60%。

(24)

2.3 貝葉斯方法不確定度評(píng)估

2.3.1 由沖擊樣條尺寸測(cè)量引入的不確定度

本研究中樣條尺寸有25組數(shù)據(jù),根據(jù)前15組數(shù)據(jù)得出先驗(yàn)分布,再根據(jù)貝葉斯理論計(jì)算出后10組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

a. 由沖擊試樣厚度測(cè)量引入的不確定度

b. 由沖擊試樣剩余寬度測(cè)量引入的不確定度

故根據(jù)貝葉斯理論計(jì)算出由于沖擊樣條尺寸測(cè)量引入的相對(duì)不確定度為

(25)

2.3.2 由于擺錘能量損失而引入的不確定度

貝葉斯方法評(píng)估不確定度依賴(lài)于先驗(yàn)信息,對(duì)于讀數(shù)誤差,損失誤差等不可測(cè)量的誤差因素,其先驗(yàn)信息的缺失可能導(dǎo)致計(jì)算數(shù)據(jù)不足。因此,我們通過(guò)Monte-Carlo方法模擬這些不可測(cè)量誤差從而獲得仿真數(shù)據(jù),并進(jìn)一步基于貝葉斯理論計(jì)算該不確定度。為模擬真實(shí)測(cè)量場(chǎng)景,基于上述GUM方法B類(lèi)評(píng)估數(shù)據(jù),模擬出M=100萬(wàn)組與測(cè)量變量對(duì)應(yīng)的25組誤差源數(shù)據(jù)。并基于貝葉斯方法計(jì)算出各個(gè)數(shù)據(jù)源,取其中一組模擬數(shù)據(jù)(如表2)進(jìn)行分析。由試驗(yàn)機(jī)測(cè)試精度引入的不確定度分量σa(c)=3.540 0×10-2,由測(cè)試過(guò)程能量損失引入的相對(duì)不確定度σb(c)=2.815 6×10-3。

2.3.3 由于沖擊能測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度

表2 誤差模擬數(shù)據(jù)

因此,由沖擊能測(cè)量重復(fù)性所引入的相對(duì)不確定度為σrel(c)=σ(c)/1.215 2=4.907 6×10-2。

2.4 不確定度合成與結(jié)果分析

綜合上述幾種計(jì)算源結(jié)果,則標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成如下:

(26)

通過(guò)上述計(jì)算可知,貝葉斯與GUM方法計(jì)算結(jié)果存在差異,主要原因在于其先驗(yàn)數(shù)據(jù)相較于整體測(cè)試樣本數(shù)據(jù)未保持分布一致。因此,基于上述分析可知,將BM與Monte-Carlo模擬相結(jié)合,并通過(guò)多次隨機(jī)抽取先驗(yàn)數(shù)據(jù)與后驗(yàn)數(shù)據(jù),可有效排除人為因素干擾,有利于獲得更為有效的沖擊試樣測(cè)量不確定度評(píng)估結(jié)果。

2.5 重復(fù)隨機(jī)抽樣

σrel(h)=3.1463×10-3,

(27)

σrel(b)=3.0139×10-3,

(28)

σrel(c)=5.1429×10-2。

(29)

與上述基于貝葉斯方案的結(jié)果對(duì)比該重復(fù)取樣方案由于刨除了實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選取的影響,因而具有更可信的取樣空間,從而計(jì)算結(jié)果將變得更可靠。

進(jìn)一步,我們?cè)敿?xì)分析了不同先驗(yàn)數(shù)據(jù)比例下(先驗(yàn)與后驗(yàn)數(shù)據(jù)量的不同)的相對(duì)不確定度。在同樣實(shí)驗(yàn)環(huán)境下針對(duì)于每組實(shí)驗(yàn)?zāi)MM=10萬(wàn)次結(jié)果如表3所示。

表3 不同取樣尺度的結(jié)果

結(jié)果項(xiàng)中,由于其選取先驗(yàn)與后驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)目的不同,導(dǎo)致了最終計(jì)算結(jié)果的差異。其歸因于式(8)受后驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)目的影響。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文系統(tǒng)分析了ABS共聚物沖擊試樣的測(cè)量誤差源,通過(guò)建立完整測(cè)量方程,基于GUM標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)估方法進(jìn)行不確定度評(píng)估。進(jìn)一步基于貝葉斯評(píng)估方法與Monte-Carlo模擬結(jié)合評(píng)估該型機(jī)器的不確定度,并基于結(jié)果與GUM標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行對(duì)比。利用貝葉斯方法進(jìn)行了測(cè)量不確定度評(píng)估。有利于降低試驗(yàn)成本,通過(guò)先驗(yàn)數(shù)據(jù)和后驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)合完成大樣本量下的不確定度評(píng)定,從而獲得更為有效的沖擊試樣測(cè)量不確定度評(píng)估結(jié)果。另外,附加的重復(fù)性取樣對(duì)于貝葉斯不確定度評(píng)估也是可選的方法,這將有利于綜合先驗(yàn)與后驗(yàn)數(shù)據(jù)選取的影響。后續(xù)將通過(guò)實(shí)測(cè)樣本數(shù)據(jù)以及優(yōu)化算法進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)模擬可信度,以此推動(dòng)和優(yōu)化沖擊試樣的標(biāo)準(zhǔn)化研制工作。