周 微,朱若嶺,張 昊

(1.常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 常州 213164;2.河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車學(xué)院,河南 鄭州 450000;3.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 210096)

0 引 言

由于能源短缺等的原因,節(jié)能降耗成為了目前制造業(yè)領(lǐng)域迫切需要解決的問題[1,2]。世界范圍內(nèi),制造業(yè)領(lǐng)域約三分之一的能源消耗于數(shù)控機(jī)床的加工過程,而其中進(jìn)給系統(tǒng)是其產(chǎn)生能耗的主要部件[3]。因此,控制進(jìn)給系統(tǒng)的能耗對(duì)于降低數(shù)控機(jī)床加工過程總能耗具重要的意義[4,5]。

目前,世界各國(guó)在數(shù)控機(jī)床加工過程中能耗控制方面的研究均取得了一定進(jìn)展。在國(guó)內(nèi),曹昆侖等人[6]提出了一種基于載荷損耗系數(shù)的能耗數(shù)學(xué)模型,分析了機(jī)床切削負(fù)載率、實(shí)載率和機(jī)床效率、能量利用率之間的關(guān)系。李聰波等人[7-9]基于磨損機(jī)理,提出了一種考慮刀具磨損的數(shù)控車削批量加工工藝參數(shù)節(jié)能優(yōu)化方法。何吉祥等人[10]通過構(gòu)建結(jié)構(gòu)節(jié)能優(yōu)化模型,提出了降低數(shù)控車床主軸單元能耗的方法。張朝陽等人[11]基于遷移學(xué)習(xí)方法,研究了數(shù)控機(jī)床等待過程的節(jié)能控制策略。陳世平等人[12]利用BP-Adaboost方法,提出了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床切削過程能耗預(yù)測(cè)模型。徐秀玲等人[13]以SIEMENS840D sl數(shù)控系統(tǒng)為例,提出了一種機(jī)床待命、系統(tǒng)待命和關(guān)機(jī)3種節(jié)能控制方案,并將其應(yīng)用于龍門式數(shù)控銑床中。李聰波等人[14]基于元?jiǎng)幼骷夹g(shù),提出了一種數(shù)控車削能耗預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法。

目前,國(guó)內(nèi)在數(shù)控機(jī)床能耗分析、預(yù)測(cè)及控制領(lǐng)域的研究多集中于切削過程,而對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)、控制過程中的能耗研究較為缺乏。

國(guó)外方面,SATO R等人[15]針對(duì)五軸加工中心,研究了工件裝夾位置與進(jìn)給系統(tǒng)能耗間的關(guān)系。WANG Y等人[16]研究了固定時(shí)間間隔內(nèi),進(jìn)給系統(tǒng)的實(shí)時(shí)能耗最優(yōu)化軌跡生成問題。FARRAGE A等人[17]提出了基于傅里葉級(jí)數(shù)的非線性摩擦補(bǔ)償模型,以減少進(jìn)給系統(tǒng)中未知摩擦力所造成的能耗。MOHAMMAD A E K等人[18]基于非線性滑模輪廓控制,對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的降耗進(jìn)行了研究。

實(shí)際上,進(jìn)給系統(tǒng)的能耗不僅取決于各軸的運(yùn)動(dòng)軌跡,還取決于其控制效果。因此,在相同的運(yùn)動(dòng)軌跡下,由于控制器增益的影響,進(jìn)給系統(tǒng)能耗會(huì)發(fā)生變化。然而,前述研究均利用的是固定的控制增益,因此無論其跟蹤性能如何,所采用的控制方法都消耗相同的能量。一般而言,雖然使用較高的控制增益會(huì)提高其運(yùn)動(dòng)精度,但也會(huì)導(dǎo)致其能耗增加,故而必須同時(shí)考慮控制器的跟蹤性能及能耗,才能滿足生產(chǎn)效率和節(jié)能降耗兩方面的要求[19]。FARRAGE A等人[20]提出了一種自適應(yīng)滑模輪廓控制方法,研究了雙軸進(jìn)給系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度及能耗控制問題。

然而,上述方法僅能通過滑?？刂频牡竭_(dá)階段降低能耗,對(duì)滑動(dòng)階段的能耗未加以考慮。

綜上所述,本研究針對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)位置精度及能耗控制兩方面的需求,基于SMC原理,提出一種具有非線性滑模面的ASMC方法,通過設(shè)計(jì)全新的自適應(yīng)趨近律,對(duì)到達(dá)和滑動(dòng)階段的控制增益進(jìn)行更新,提供控制增益的最小容許值,在保證位置跟蹤精度的基礎(chǔ)上降低能耗;最后通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比研究,以驗(yàn)證該方法在位置跟蹤精度及能耗控制兩方面的優(yōu)勢(shì)。

1 進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

筆者所采用的實(shí)驗(yàn)進(jìn)給系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)進(jìn)給系統(tǒng)

該系統(tǒng)包含2臺(tái)交流伺服電機(jī)、2個(gè)分辨率為76.29 nm(經(jīng)角度-位移換算后)的旋轉(zhuǎn)編碼器(用于測(cè)量工作臺(tái)位置),采樣時(shí)間為0.2 ms。雙軸滾珠絲杠均為C1級(jí)高精度定位型。

為獲得準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型,筆者采用擾動(dòng)觀測(cè)器(DOB)對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行估計(jì);進(jìn)給系統(tǒng)兩軸采用相同的辨識(shí)方案。

進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為:

(1)

式中:qi,mi—X、Y工作臺(tái)的位置和質(zhì)量;gi,fi—摩擦力和驅(qū)動(dòng)力。

PID與DOB參數(shù)如表1所示。

表1 PID與DOB參數(shù)

用于參數(shù)辨識(shí)的驅(qū)動(dòng)力fi為:

(2)

式中:Pi,Di,Ii—比例、微分和積分控制增益;ei—跟蹤誤差,定義為期望位置ri和實(shí)際位置qi之間的差值。

(3)

利用表1所示的PID和DOB參數(shù),結(jié)合觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的摩擦模型為:

(4)

式中:fci,ci—庫侖摩擦系數(shù)和粘性摩擦系數(shù)。

實(shí)驗(yàn)進(jìn)給系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù)如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)進(jìn)給系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)

摩擦力模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如圖2所示。

圖2 摩擦力模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

由圖2可知,所辨識(shí)出的參數(shù)與實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)較為符合。因此,摩擦特性可只用庫侖系數(shù)和黏性系數(shù)來描述。進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)械動(dòng)力學(xué)可以用二階解耦系統(tǒng)模型表示,即:

(5)

2 ASMC方法及其穩(wěn)定性分析

2.1 SMC方法概述

SMC方法所采用的非線性滑模面可表示為:

(6)

式中:S—二維滑模面矢量;γ—正定矩陣,用于提供快速響應(yīng),并使占優(yōu)極點(diǎn)滿足Lyapunov方程:βγT+γβ=P(其中:P—正定矩陣;β—用于調(diào)整阻尼比的正定對(duì)角陣;Φ—以Φi為元素的對(duì)角陣,當(dāng)輸出從初始值變?yōu)槠谕禃r(shí),利用該矩陣將阻尼比從較低值調(diào)整為較高值)。

由于Φi沒有唯一的公式,此處采用如下形式[22]來表示:

Φi=ηi[exp(-ei)+exp(ei)],i=x,y

(7)

式中:ηi—用于調(diào)整Φi大小的正值。

對(duì)于理想滑模面,式(6)可變?yōu)?

(8)

此時(shí),通過適當(dāng)調(diào)整(γ+Φβ)的值,跟蹤誤差將收斂到零[23],驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)趨于S=0。此處所采用的趨近律可表示為:

(9)

式中:k—2×2增益矩陣;sgn(S)—滑模面符號(hào)矩陣;h—包含元素hi的2×2矩陣。

且有:

hi≥di

(10)

2.2 ASMC方法原理

雖然式(9)所示控制律具有良好的控制性能,但由于其增益k是固定的,在整個(gè)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)趨近律的能耗將維持不變。此外,雖然較高的增益值通常會(huì)降低控制誤差,但也會(huì)導(dǎo)致能耗增加。

為解決上述問題,可采用自適應(yīng)趨近律。典型的自適應(yīng)滑模趨近律采用如下增益[24,25]:

(11)

然而,盡管采用式(11)所示增益的自適應(yīng)趨近律可提高進(jìn)給系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度,但是在達(dá)到期望的控制精度時(shí),無法將增益更新至較低的數(shù)值。因此,上述自適應(yīng)趨近律只能在到達(dá)階段降低能耗,而不能在滑動(dòng)階段降低能耗。

為克服上述缺點(diǎn),文獻(xiàn)[26]提出了一種自適應(yīng)滑模趨近律,其增益在到達(dá)和滑動(dòng)階段均可改變,即:

(12)

為提供更快的自適應(yīng)速率,減少到達(dá)和滑動(dòng)階段的跟蹤誤差,文獻(xiàn)[27]735提出了基于開關(guān)增益的自適應(yīng)滑模趨近律:

(13)

然而,盡管采用增益(13)的自適應(yīng)趨近律可降低能耗,但會(huì)因跟蹤誤差增加從而使控制性能降低。此外,由于期望邊界層周圍的誤差幅度變化,控制信號(hào)將出現(xiàn)較大的抖振。

為了解決上述各自適應(yīng)控制律的缺陷,筆者提出了一種新的ASMC方法,所采用的控制增益可根據(jù)跟蹤誤差的平方值,以更快的自適應(yīng)速率自動(dòng)更新,即:

(14)

當(dāng)趨近律進(jìn)入到達(dá)階段時(shí),將激活式(14)中的第一個(gè)條件,以提供更快的適應(yīng)速率,降低控制信號(hào)作用時(shí)間。當(dāng)增益(14)的第2個(gè)條件激活時(shí),控制增益略有下降,但仍能在降低能耗的同時(shí)保持控制方法的跟蹤性能。

筆者所采用的自適應(yīng)滑模趨近律表示為:

(15)

2.3 穩(wěn)定性分析

2.3.1 滑模面穩(wěn)定性分析

Lyapunov候選函數(shù)為:

V1=eTβe

(16)

根據(jù)式(8),式(16)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可表示為:

(17)

式中:P,β—正定矩陣。

其中:Z=βe。由于V1≤0,保證了受控系統(tǒng)在理想滑模面上的穩(wěn)定性。

2.3.2 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

Lyapunov候選函數(shù)為[28]:

(18)

式(18)的一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)為:

(19)

(20)

根據(jù)式(5),系統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)模型可表示為:

(21)

(22)

式(14)中的兩個(gè)自適應(yīng)律條件為:

(1)當(dāng)|si|≥δi時(shí),式(22)表示為:

(23)

為使滑模面收斂到零,依據(jù)Barbalat引理[29]有:

(24)

式中:Δi—平滑項(xiàng)。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證該控制律的有效性,筆者利用圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置來進(jìn)行驗(yàn)證。系統(tǒng)進(jìn)給速度為25 mm/s的,其圓周運(yùn)動(dòng)軌跡為:

(25)

通過試錯(cuò)法得到了其控制參數(shù),如表3所示。

表3 控制參數(shù)

各自適應(yīng)控制方法實(shí)施流程如圖3所示。

圖3 各自適應(yīng)控制方法實(shí)施流程

筆者采用相同動(dòng)力學(xué)模型和控制技術(shù),利用表3所示的相同控制參數(shù),對(duì)該ASMC方法的跟蹤性能和能耗進(jìn)行驗(yàn)證,并將其與采用式(11～13)增益的自適應(yīng)趨近律進(jìn)行比較。

在相同控制參數(shù)條件下,基于控制律式(11～14)的控制信號(hào)如圖4所示。

圖4 相同控制參數(shù)條件下基于控制律(11～14)的控制信號(hào)

在相同控制參數(shù)條件下,基于趨近律(11～14)的平均定位誤差如圖5所示。

圖5 相同控制參數(shù)條件下基于趨近律(11～14)的平均定位誤差

在相同控制參數(shù)條件下,基于控制律(11～14)的最大定位誤差如圖6所示。

圖6 相同控制參數(shù)條件下基于控制律(11～14)的最大定位誤差

在相同控制參數(shù)下,不同控制律的能耗如表4所示。

表4 相同控制參數(shù)下不同控制律的能耗

在相同控制參數(shù)下,不同控制律平均及最大定位誤差如表5所示。

表5 相同控制參數(shù)下不同控制律平均及最大定位誤差

實(shí)驗(yàn)中,控制過程的能耗采用功率計(jì)(HIOKI 3390AC/DC)進(jìn)行測(cè)量。由表5可知:與采用增益(11～13)的自適應(yīng)趨近律相比,所提出的ASMC方法可在提高跟蹤精度的同時(shí)降低控制能耗。

同時(shí),在跟蹤性能相近的條件下,筆者比較了前述各自適應(yīng)趨近律的能耗。為獲得與ASMC方法近似的跟蹤誤差,增益(11～13)中的適應(yīng)率值ρ分別設(shè)置為[10 30]T、[30 60]T和[7 5]T,并將式(6)中γ分別設(shè)置為[50 80]T、[50 70]T和[50 60]T,以調(diào)整控制器阻尼比。

在相同定位精度下,不同控制律的平均及最大跟蹤誤差如表6所示。

表6 相同定位精度下不同控制律平均及最大跟蹤誤差

由表6可以看出:各方法的控制性能相近;式(11)所示的控制增益在達(dá)到其上限值后保持常數(shù),因此該方法的能耗與其跟蹤精度無關(guān);控制增益(12)可在其到達(dá)和滑動(dòng)階段進(jìn)行變化,然而其適應(yīng)速率較低;采用控制增益(13)的自適應(yīng)趨近律時(shí),由于其控制信號(hào)連續(xù)性差,所產(chǎn)生的跟蹤誤差較大。

在相同控制性能條件下,基于控制律(11～14)的控制信號(hào)輸入如圖7所示。

圖7 相同控制性能條件下基于控制律(11～14)的控制信號(hào)輸入

在相同控制性能條件下,控制律(11～14)的能耗如圖8所示。

由圖7及圖8可以看出:各方法的控制信號(hào)(與能量消耗直接相關(guān))差異較大;與采用式(11～13)所示的控制增益的自適應(yīng)方法相比,采用ASMC方法可使X軸和Y軸能耗分別降低1.74%和0.79%、0.99%和0.26%、0.96%和0.92%。

此外,控制輸入信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差是評(píng)價(jià)控制方法產(chǎn)生抖振現(xiàn)象強(qiáng)弱的指標(biāo),即:

(26)

式中:ui—控制信號(hào)的平均值;fij—第j個(gè)采樣時(shí)刻的控制信號(hào)幅值,j=1,2,…,J;J—采樣次數(shù)。

在相同控制性能條件下,基于控制律(11～14)的輸入信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差如圖9所示。

圖9 相同控制性能條件下基于控制律(11～14)的輸入信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差

由圖9可以看出:與采用式(11～13)所示的控制增益的自適應(yīng)方法相比,ASMC方法控制輸入信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差(X軸和Y軸)分別降低了2.90%和4.97%、4.63%和1.76%、-1.22%和2.88%。

由此可見,筆者提出的控制方法在保證相同控制性能的前提下,可有效降低控制能耗及系統(tǒng)抖振。

4 結(jié)束語

基于進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及SMC理論,筆者通過設(shè)計(jì)全新的自適應(yīng)控制增益,提出了相應(yīng)的非線性ASMC方法;該方法提供了更快的自適應(yīng)速率,可在保證位置跟蹤精度的基礎(chǔ)上降低控制能耗;利用實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

研究結(jié)果表明:

(1)與其他自適應(yīng)控制方案相比,所提控制方法在控制參數(shù)相同的條件下,可使進(jìn)給系統(tǒng)定位精度更高,且X、Y軸的平均定位誤差最多可分別降低16.4%及20.3%;

(2)與其他自適應(yīng)控制方案相比,在控制性能相同的條件下,所提控制方法產(chǎn)生的能耗最少,X軸和Y軸的控制能耗最大可分別降低1.74%及0.96%;

(3)與其他自適應(yīng)控制方案相比,所提控制方法能夠更為有效地抑制系統(tǒng)的抖振。

在后續(xù)的研究中,筆者將研究控制輸入信號(hào)的幅值對(duì)上述自適應(yīng)方法的影響;同時(shí)采用最優(yōu)化理論選取其最佳增益值,從而獲得更高的位置跟蹤進(jìn)度,也使控制能耗可得到進(jìn)一步的降低。