趙晨陽，雷明鋒,2，賈朝軍，張逆進，彭龍，龔琛杰

（1.中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075；2.重載鐵路工程結構教育部重點實驗室，湖南長沙，410075；3.中鐵十二局集團第七工程有限公司，湖南長沙，410029；4.中交三航局第三工程有限公司，江蘇南京，210011）

巖土體流變是影響隧道長期穩(wěn)定的重要因素之一[1-3]，主要包括蠕變、松弛、長期強度和彈性后效，其中蠕變是主要研究內容[4]。隧道與地下工程的實踐與研究均表明，開挖區(qū)域圍巖的破壞可能在開挖后幾天甚至幾年發(fā)生。為探究巖石蠕變特性，科技工作者從巖石蠕變力學試驗出發(fā)，對試驗數(shù)據(jù)進行擬合得到經(jīng)驗公式，建立巖石的應力、應變與時間的函數(shù)關系式。該方法雖然反映了某種巖石在設定條件下的蠕變特征，但并未反映其內在機理。為此，將元件模型引入巖石蠕變特性研究領域，并用于分析巖石的長期穩(wěn)定性。為解決元件組合模型不能反映巖石流變的非線性問題，學者們對元件模型進行了改進，或采用內時理論[5]、損傷力學[4]、斷裂力學[6]等新理論建立巖石蠕變本構模型，如：徐衛(wèi)亞等[7-8]在進行綠片巖三軸流變力學試驗的基礎上，將非線性黏性元件與黏彈性元件串聯(lián)起來，建立了河海模型；韋立德等[9]從巖石蠕變機理出發(fā)，建立了由非線性元件組成的一維黏彈塑性模型來反映巖石流變全過程；周家文等[10]通過構造非線性函數(shù)并引入廣義Bingham 模型，建立了非線性蠕變模型；張貴科等[11]建立了一個與應力狀態(tài)和時間相關的非線性黏性體，并將該非線性黏性體與傳統(tǒng)Maxwell模型相結合，建立了五元件黏彈塑性模型；楊春和等[12]結合鹽巖流變試驗，采用巖石損傷力學理論研究了鹽巖流變損傷特征，并建立了非線性流變本構模型；賈善坡等[13]通過構造基于摩爾-庫侖準則的蠕變勢，建立了泥巖非線性蠕變損傷本構模型及其損傷演化方程；ZHU 等[14]基于細觀力學推導Eshelby 等效加載問題的均勻化理論，在熱力學框架下得到了準脆性巖石各向異性的彈塑性損傷本構模型。

綜合上述分析可知，巖石蠕變模型已取得一些研究成果，但適用于軟弱結構面巖體的非線性蠕變元件本構模型理論的研究仍處于初級階段，有待深入研究。隨著川藏鐵路、跨江（海）隧道等重大工程的建設，為避免圍巖流變對隧道施工及運營產(chǎn)生較大影響，對含軟弱結構面巖體的蠕變力學特性理論研究就顯得十分迫切和重要[15-17]。為此，本文基于Kachanov-Rabotnov 理論建立考慮蠕變抗剪強度的非線性黏塑性元件，進而結合Burgers 模型建立考慮軟弱結構面的巖石流變力學模型，并通過相關試驗驗證模型的合理性，該成果可為隧道長期穩(wěn)定分析提供理論依據(jù)。

1 加速蠕變模型

1.1 蠕變變形特征

在長期荷載作用下，含軟弱結構面巖體的變形具有明顯的時效性。在恒定應力作用下，巖石蠕變的理論曲線如圖1中曲線a所示。

圖1中，OM段對應加載瞬間產(chǎn)生的彈性應變；MN段對應應變速率隨時間增長而逐漸遞減的初期蠕變階段，亦稱衰減蠕變階段；NP段對應應變速率隨時間增長呈穩(wěn)定狀態(tài)的第二期穩(wěn)態(tài)蠕變階段，亦稱等速蠕變階段，此階段的歷時主要取決于應力水平和加載速率；PQ段對應試件達到破壞前應變速率呈加速增長的第三期蠕變階段，稱為加速蠕變階段。

巖體蠕變曲線的形狀因巖體屬性、應力狀態(tài)以及環(huán)境條件產(chǎn)生差異。

1）當應力水平低于某一限值時，巖體幾乎不產(chǎn)生蠕變，如圖1中曲線b所示。

2）當應力水平較高且接近巖石的強度時，蠕變3個區(qū)段的區(qū)分度可能不明顯，表現(xiàn)為變形急劇發(fā)展直至試樣破壞，如圖1中曲線c所示。

圖1 恒定應力作用下的蠕變曲線Fig.1 Creep curves under constant stress

3）當應力水平較低時，可能只產(chǎn)生衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變，即曲線a 上的MN和NP這2 個蠕變階段。

1.2 加速蠕變的描述

為克服既有元件組合模型（如Burgers 模型和Nishihara模型）無法充分描述加速蠕變特征的不足，本文提出一種新的蠕變本構模型。根據(jù)不連續(xù)點在加速蠕變階段之前沒有明顯的非線性蠕變變形，假設巖石在加速蠕變階段前未受到破壞，即在加速蠕變階段前的損傷變量D為0，試樣破壞時的損傷變量D為1.0。

RABOTNOV[18]提出的Kachanov-Rabotnov理論可用于描述損傷的演變：

蠕變本構方程為

式中：σ為應力；為蠕變變形（εc）對時間的微分；m，n，p，q，A和B均為材料常數(shù)。

根據(jù)式（2），無損傷的含軟弱結構面巖石試樣的蠕變應變可寫為

式（3）表明，不同剪應力水平下的穩(wěn)態(tài)蠕變速率可以采用冪函數(shù)表示。

在恒定應力下，加速蠕變階段損傷D可以通過對方程（1）進行積分確定。假定t=0時刻邊界條件D=0，可得

需注意的是，初始時間是加速蠕變的開始時間。

進一步假定試樣蠕變破壞的時間t=tR，此時，試樣損傷值D=1.0，將此邊界條件代入式（4）得

將式（5）代入式（4），得到損傷變量D：

由式（6）可知，損傷變量D隨時間變化，并將其代入式（2）并積分，可得蠕變隨時間的變化。假定t=0時刻εc=0，可得

式中：λ=(1+p)/(1+p-q)，其為1個大于1.0的常數(shù)，與材料性質有關。

由式（7）可知，將t=tR代入，可得試樣破裂時的蠕變應變：

式（8）表示的蠕變應變如圖2所示。從圖2可以看出：若試樣未發(fā)生加速蠕變變形，則蠕變變形為穩(wěn)態(tài)蠕變速率與時間的積，而若試樣發(fā)生加速蠕變，則蠕變變形需要乘以材料常數(shù)λ。

圖2 蠕變應變隨時間變化的示意圖Fig.2 Schematic diagram of creep strain change with time

1.3 參數(shù)敏感性分析

為分析剪應變與材料常數(shù)λ的關系，對λ的參數(shù)敏感性進行分析。設定式（8）中=1×10-4h-1，tR=0.7 h，得到不同λ條件下的蠕變-時間曲線如圖3所示。從圖3可以看出：λ越大，剪應力和剪切速率越大；當λ為1.0 時，蠕變應變在整個過程中呈線性增大。

圖3 參數(shù)λ對蠕變應變的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of the parameter λ to creep strain

式（7）描述了加速蠕變階段的非線性蠕變規(guī)律。考慮到在多級剪切蠕變試驗中，加速蠕變階段僅在最終剪切應力水平下發(fā)生，并且與該階段的穩(wěn)態(tài)應變率有關，故式（7）可變化為

式中：ts為含軟弱結構面巖體進入加速蠕變階段的時間；η為黏度系數(shù)；·為麥考利符號，x=(x-|x|)/2。

根據(jù)式（9），可得到非線性加速蠕變元件，見圖4。當剪切應力小于閾值τs時，非線性加速蠕變元件不工作；當應力大于閾值τs時，蠕變應變將隨時間呈非線性增加。

圖4 非線性加速蠕變元件示意圖Fig.4 Schematic diagram of nonlinear accelerated creep element

2 蠕變模型

2.1 Burgers蠕變特征

Burgers 蠕變模型是一個線性黏彈塑性流變模型，可以較好地描述巖石的瞬時彈性變形、初期流變變形與穩(wěn)態(tài)流變變形，同時能反映巖石的松弛現(xiàn)象。Burgers 流變模型可認為是Maxwell 模型與Kelvin 模型的組合體，一維應力狀態(tài)下的流變模型如圖5所示。

圖5 Burgers蠕變模型Fig.5 Burgers creep model

在外荷載長期作用下，當切應力為τn時，Burgers流變模型相應的狀態(tài)方程為

式中：τ1和τ2為切應力；G1和G2分別為Maxwell模型和Kelvin 模型的體積模量；ε11，ε12和ε2分別為Maxwell模型中彈性虎克元件、黏性牛頓元件和Kelvin 模型的應變；和為應變率；η1為Maxwell 模型黏度系數(shù)；η2為Kelvin 模型黏度系數(shù)。

根據(jù)式（10），消去方程中的下標可得系統(tǒng)總應力、應變本構方程為

在t=0 時，施加恒定應力τn，將τn代入式（10），同時考慮下列初始條件：

式中：i=1，2。對式（10）進行拉普拉斯變換及其逆變換，可得蠕變方程：

將式（13）兩邊分別對時間t求一階、二階導數(shù)可得：

由式（14）和式（15）可知＞0，而¨＜0。施加恒定應力τn后，模型產(chǎn)生瞬時彈性變形及蠕變變形，且隨著時間增加，蠕變速率逐漸減小，最終達到穩(wěn)定。

2.2 非線性6元件蠕變本構模型

為全面描述含軟弱結構面巖體的蠕變特性，將非線性元件和Burgers 蠕變模型串聯(lián)在一起，可得1個六元件非線性黏彈性塑性不連續(xù)模型，如圖6所示。

圖6 改進的6元件非線性黏彈塑性蠕變模型Fig.6 Improved nonlinear visco-elasto-plastic creep model for 6 elements

與Burgers 模型相比，其適用于非線性元件的加速蠕變特性。該模型的本構方程為

式中：η3為加速蠕變規(guī)律非線性模型黏度系數(shù)。

3 蠕變模型驗證

為驗證本文提出非線性黏彈性塑性蠕變模型的合理性，制取軟弱結構面試樣，在不同應力等級下開展多級蠕變試驗。

剪切蠕變試驗在CSS-3940YJ 型巖石伺服控制雙軸流變試驗機上進行。多級剪切蠕變試驗流程與文獻[19]中斷層F17的試驗流程相同。本次模型驗證共完成3個試樣的試驗，在3個試樣上分別施加0.2，0.6 和1.0 MPa 的正應力σn。具體的試驗步驟如下：1）施加正應力至設定值；2）以位移控制模式（0.2 mm/min）施加剪切應力，每種應力水平維持約48 h 或72 h；3）待試樣在該級正應力下達到穩(wěn)態(tài)蠕變階段后繼續(xù)施加下一級剪應力；4）若剪切位移以大于閾值的速率增加或樣品失敗，則停止記錄數(shù)據(jù)，并且結束測試。

試驗所得到的剪切位移隨時間變化曲線如圖7和圖8所示。分析圖7和圖8可見：

圖7 不同正應力下剪切蠕變曲線Fig.7 Shear creep curves under different normal stresses

圖8 最后一級剪應力下的蠕變和蠕變速率曲線Fig.8 Creep and creep rate curves under the last shear stress

1）在施加每級荷載時都會產(chǎn)生瞬時彈性應變，隨后經(jīng)歷衰減蠕變階段，蠕變速率隨時間逐漸降低。

2）當剪切應力水平較低時，剪切蠕變速率減小至恒定值，意味著剪切變形呈線性增加，即試件處于穩(wěn)態(tài)蠕變階段。

3）當剪應力加載到最后一級時，經(jīng)過穩(wěn)態(tài)蠕變后的試樣蠕變速率迅速增加，蠕變變形也急劇增加并最終導致試樣破壞。

運用建立的模型對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，擬合后各參數(shù)如表1所示。表中，R2為可決系數(shù)。分析表1可知：

表1 蠕變模型擬合參數(shù)的結果Table 1 Results of creep model fitting parameters

1）在恒定法向應力下，體積模量初始階段的G1遠比其他剪應力時的高，并隨剪應力增加而減小。

2）忽略初始值時，G1和剪切應力間的關系可用線性方程式描述（圖9）。法向應力分別為0.2，0.6，1.0 MPa的3個樣品的體積模量G1的平均值分別為0.43，0.36和0.39 GPa。

圖9 擬合體積模量G1與剪切應力之間的關系Fig.9 Relationship between fitted volume modulus and shear stress level

3）通常，黏度系數(shù)η1隨剪切應力增加而增加，這與穩(wěn)態(tài)蠕變結果相吻合。

4）G1/η2反映了從初始蠕變階段到穩(wěn)態(tài)蠕變階段的持續(xù)時間，其隨著剪切應力的增加而趨于減小。

最終階段的擬合曲線如圖10所示。從圖10可見所提出的模型能夠描述軟弱結構面的加速蠕變階段的變形特性。

圖10 剪切蠕變模型的擬合效果Fig.10 Fitting effect of shear creep model

4 結論

1）基于Kachanov-Rabotnov 蠕變損傷理論開發(fā)了非線性元件，并將該非線性元件和Burgers 蠕變模型串聯(lián)起來形成六單元非線性黏彈性塑性蠕變模型，可以實現(xiàn)含軟弱結構面巖體的加速蠕變階段模擬。

2）試樣在衰減蠕變階段的蠕變速率隨時間逐漸降低。當剪切應力水平較低時，剪切蠕變速率減小至恒定值，處于穩(wěn)態(tài)蠕變階段。隨著剪應力增加，經(jīng)過穩(wěn)態(tài)蠕變后的試樣蠕變速率迅速增加，蠕變變形亦急劇增加并最終導致試樣破壞。

3）所提出的模型能夠描述不連續(xù)性的時間相關特性，可以對試樣軟弱結構面剪切蠕變特性進行較全面描述。