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        斜率之和為定值直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法探究和推廣

        2021-11-24 09:36:20李文東
        數(shù)理化解題研究 2021年31期

        李文東

        (廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

        定點(diǎn)、定值問(wèn)題是圓錐曲線中常考的問(wèn)題,尤其是兩直線的斜率之和為定值證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題在高考中經(jīng)常出現(xiàn),這類問(wèn)題充分考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),其解法較多,不同解法對(duì)運(yùn)算能力要求不一樣,因此有必要系統(tǒng)地研究此類問(wèn)題的解法.

        一、題目呈現(xiàn)

        (1)求C的方程;

        (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn).

        二、題目探究

        1.第(1)問(wèn)解析

        2.第(2)問(wèn)解析

        點(diǎn)評(píng)設(shè)動(dòng)直線AB的方程,然后利用韋達(dá)定理設(shè)而不求是解決此類問(wèn)題最常見(jiàn)的方法.

        點(diǎn)評(píng)點(diǎn)P2在橢圓上,因此設(shè)直線P2A,P2B的方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)而求之也是一個(gè)重要的方法,但是本題中對(duì)于直線AB方程的變形是難點(diǎn),相比解法1,運(yùn)算量更大一些!

        即x2+(4+8B)(y-1)2+8Ax(y-1)=0.

        點(diǎn)評(píng)對(duì)于問(wèn)題:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為圓錐曲線mx2+ny2=1上一點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)P的直線與圓錐曲線mx2+ny2=1交于A,B兩點(diǎn),則直線PA,PB的斜率之和、斜率之積為定值.

        我們可以采取如下的齊次化方法求解:

        由題意,直線PA,PB的斜率為該方程的兩根,再利用韋達(dá)定理可順利求解此類問(wèn)題.

        (2)本題的思路就是將曲線系方程表示成曲線在點(diǎn)P2處的切線方程和直線AB的方程乘積的形式,從而得到直線AB的方程,這種做法操作方便,目標(biāo)明確,運(yùn)算量不大,它可以方便處理兩直線斜率和、積為定值的情形.

        點(diǎn)評(píng)通過(guò)聯(lián)立直線得到點(diǎn)A,B的坐標(biāo),然后將坐標(biāo)代入橢圓方程構(gòu)造出關(guān)于kP2A,kP2B的同構(gòu)方程,這種做法便于推廣到一般情形,值得我們學(xué)習(xí)!

        兩式相減,得2(y2-y1)+x2-x1=x1y2-x2y1.

        又x1y2-x2y1=x1y2-x1y1+x1y1-x2y1=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1,于是(y2-y1)(2-x1)=(x2-x1)(-1-y1),可見(jiàn)直線AB過(guò)定點(diǎn)(2,-1).

        以上解法1和解法2雖然是通法,但是計(jì)算量較大,不便于推廣到一般情形,解法6雖然很巧妙,但是變量較多,不容易變形和觀察,解法3、解法4和解法5更具有一般性,便于推廣,下面我們利用解法4將上述結(jié)果推廣到一般情形.

        三、題目推廣

        數(shù)學(xué)思維就是在一次次的解題過(guò)程中不斷鉆研和總結(jié)中不斷提升的,通過(guò)一題多解、多題歸一和一題多變等變式教學(xué)和訓(xùn)練的手段達(dá)到我們的目的.

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