賈增福
(廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學 528333)
A.當λ=1時,△AB1P的周長為定值
B.當μ=1時,三棱錐P-A1BC的體積為定值
解析取特殊點判斷.
評注本題也可以用建系的方法解決.本題以正三棱柱為載體,考查了空間中的動點軌跡與線面位置關(guān)系,學生通過取特殊值判斷或是通過常規(guī)方法建立坐標系,可以將問題很好地進行轉(zhuǎn)化.
1.探究空間中動點軌跡的長度
圖1
評注本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面垂直的判定、扇形中的弧長公式等,以此來考查學生的能力.
圖2
2.探究與動點軌跡相關(guān)的最值問題
例2 如圖3,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為B1C1,C1D1的中點,點P是底面A1B1C1D1內(nèi)一點,且AP∥平面EFDB,則tan∠APA1的最大值是( ).
圖3
評注本題考查空間中直線與直線之間的夾角等.由題意畫出圖形,可得點P的軌跡,從而實現(xiàn)了問題的解決,考查了學生的空間想象、數(shù)學運算及邏輯推理等能力.
變式如圖4,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點,且AP⊥BD1,記AP與平面BCC1B所成的角為θ,則tanθ的最大值為( ).
圖4 圖5
評注本題通過空間直角坐標系,探究了空間中的動點軌跡,體現(xiàn)了空間向量在立體幾何中的工具性作用,考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力,同時體現(xiàn)了函數(shù)與方程及轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想.
本文通過具體實例,簡單探究了立體幾何中常見的動點問題,并對相關(guān)的數(shù)學方法進行了簡單分析,旨在通過此類問題的探究,可以更好地引導(dǎo)學生加強對立體幾何的學習,并讓學生在學習中,學會歸納、總結(jié),提高綜合素質(zhì).