王嘉誠, 劉 龍
(上海海事大學(xué)上海離岸工程研究院, 上海 201306)
岸邊集裝箱起重機是在碼頭進行貨物裝卸的重要機械。在起重機的工作過程中小車的運行與吊重的偏擺會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形與振動,結(jié)構(gòu)的振動又會反過來影響小車與吊重,對起重機的運行安全與工作效率產(chǎn)生影響。因此對工作狀況下的岸橋進行動力學(xué)分析是有必要的。
移動物體作用下的耦合系統(tǒng)通常簡化為移動質(zhì)量-大梁系統(tǒng)進行分析。秦仙蓉等[1]進行了不同運動參數(shù)的移動質(zhì)量作用下的簡支梁動力學(xué)響應(yīng)分析。段民封等[2]提出了針對不確定性移動載荷激勵下的簡支梁分析方法。龔云軒等[3]基于Timoshenko階梯梁模型,分析了移動質(zhì)量作用下梁的振動響應(yīng)。Zhang等[4]對移動載荷作用下的Euler-Bernoulli梁與Timoshenko梁的響應(yīng)進行了對比。Qiao等[5]研究了黏彈性邊界條件下梁的振動響應(yīng)。經(jīng)薇等[6]研究了多個車輛作用下的車橋耦合振動特性。
與車橋耦合系統(tǒng)不同的是岸橋結(jié)構(gòu)復(fù)雜并且需要考慮吊重的作用。蘇晴等[7]建立了岸橋上部結(jié)構(gòu)簡化模型,將拉桿模擬為彈簧支撐,門架連接處假設(shè)為簡支邊界條件。劉華森等[8]建立了簡支梁、移動小車與吊重的耦合系統(tǒng)并進行數(shù)值求解。Wu等[9]將吊重假設(shè)為考慮吊具的雙擺與單擺兩種形式,把結(jié)果進行對比。辛運勝等[10]考慮了軌道缺陷,建立司機-起重機-軌道系統(tǒng)進行分析。
向量式有限元(vector form intrinsic finite element,VFIFE)是一種新型數(shù)值計算方法。Long等[11]進行了空間框架結(jié)構(gòu)在地震作用下的倒塌模擬。唐敬哲等[12]基于有限質(zhì)點法對界面之間的接觸、斷裂等行為進行了分析。Duan等[13]進行了考慮車鉤效應(yīng)的車橋耦合問題分析。
前人研究中進行起重機小車運行工況下的分析時,將橋式和門式起重機簡化為簡支梁,針對結(jié)構(gòu)復(fù)雜的岸橋則需要對模型進行簡化處理。現(xiàn)基于向量式有限元理論,建立包含單元耦合、鉸接點和質(zhì)量點的岸橋模型,對移動吊重與小車作用下的岸橋動力學(xué)行為進行分析,解決在岸橋的動力學(xué)分析中如何表示單元間耦合與鉸接點的問題,擺脫目前依賴有限元軟件進行分析的現(xiàn)狀。
向量式有限元與經(jīng)典力學(xué)的區(qū)別在于對結(jié)構(gòu)概念的描述和簡化的方式不同。向量式有限元理論由3個基本概念組成,分別為點值描述、途徑單元和虛擬的逆向運動。
(1)
令t2時刻的桿單元a2b2做虛擬的逆向運動,首先進行逆向的平移-u,使得節(jié)點a2與a1的位置重合,此時桿單元到達虛擬位置的兩端節(jié)點為a′2和b′2。之后再進行逆向的轉(zhuǎn)動-Δθ,使得單元a′2b′2與單元a1b1平行,到達虛擬位置的兩端節(jié)點為a″2和b″2,轉(zhuǎn)角的大小為Δθ=sin-1|e1e2|,其中u′b、u″b、u?b和u?a分別為節(jié)點b1~b′2、節(jié)點b′2~b″2、節(jié)點b1~b″2和節(jié)點a1~a″2的位移。逆向運動后節(jié)點的位移與轉(zhuǎn)角變化為
(2)
圖1 梁單元的虛擬逆向運動Fig.1 Virtual reverse motion of beam element
(3)
根據(jù)虛功原理,因節(jié)點變形導(dǎo)致的節(jié)點內(nèi)力做功與單元的變形虛功相等。對單元進行分析后可得t1與t2時刻的節(jié)點內(nèi)力的差值為[14]
(4)
式(4)中:I為慣性矩;A為截面面積;E為彈性模量;Δfbx為節(jié)點b所受內(nèi)力的插值;Δma和Δmb分別為節(jié)點a和b所受彎矩的差值;Δ為單元的純變形,θa和θb分別為節(jié)點a和b的轉(zhuǎn)角。
(5)
(6)
則單元內(nèi)力的表達式為
(7)
圖2 梁單元節(jié)點內(nèi)力Fig.2 Internal forces of beam element points
式(7)中:fjx、fjy和mj分別為全局坐標下的單元在x方向上的內(nèi)力、y方向上的內(nèi)力和彎矩,單元作用在兩端節(jié)點上的內(nèi)力為單元內(nèi)力的反作用力,因此節(jié)點a和b所受內(nèi)力分別為fa=fa,fb=-fb。取Pa和Pb為兩個節(jié)點所受外力,節(jié)點所受合力Fa=Pa+fa,則梁單元節(jié)點運動表達式為
(8)
式(8)中:Ma為質(zhì)量矩陣;xa為位移矩陣;Fa為合力矩陣;ma和Ia分別為節(jié)點的質(zhì)量和慣性矩;xa、ya和θa分別為節(jié)點a水平與豎直方向位移與轉(zhuǎn)角;Fax、Fay和Faz為3個方向上的力。
使用中心差分法,將式(8)代入中心差分公式中,可得第-1步、第1步和第n+1步的節(jié)點a的位移迭代公式分別為
(9)
(10)
(11)
根據(jù)牛頓運動定律可知在沒有消能機制的情況下,振動的物體將保持持續(xù)振動的狀態(tài)。所以在運動公式中加入阻尼力,起到減小振動的振幅的作用,以此得到近似的收斂結(jié)果。
對于桁架機構(gòu)、連桿機構(gòu)等軸力桿件結(jié)構(gòu)可使用向量式有限元桿單元理論進行模擬。向量式有限元桿單元與梁單元的不同之處在于不考慮節(jié)點的轉(zhuǎn)動,與之對應(yīng)的內(nèi)力與外力中減少彎矩的作用。
桿單元求解節(jié)點內(nèi)力的思路與梁單元理論類似,通過虛擬的逆向運動得到單元的純變形。結(jié)構(gòu)如圖1所示,由材料力學(xué)知識可得,t2時刻的桿單元a2b2兩端節(jié)點內(nèi)力為
(12)
1~19為節(jié)點圖3 岸橋點值描述Fig.3 Point value description of quayside container crane
選取某型號的岸橋作為分析對象,其中大梁長度為144.132 m,基距為30.48 m。如圖3所示,對整機結(jié)構(gòu)進行點值描述,其中拉桿用桿單元構(gòu)建,其他結(jié)構(gòu)用梁單元構(gòu)建,節(jié)點15為前大梁與后大梁連接的鉸接位置。岸橋作為一種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的大型機械,結(jié)構(gòu)中存在鉸點、不同單元耦合作用下的節(jié)點、質(zhì)量點和高度變化的偏擺吊重等特點,所以需了解如何使用向量式有限元對這些特點進行分析。
為了使岸橋的前大梁在非工作狀態(tài)下能夠抬起,前大梁與后大梁的連接方式為鉸接。假設(shè)前大梁與后大梁通過一個鉸接點連接,為了模擬出鉸接的兩單元的相對轉(zhuǎn)動,需要對單元的內(nèi)力計算公式進行修改。
以1-2梁單元為例,對于常見的剛接節(jié)點,單元兩端的節(jié)點內(nèi)力計算公式為[15]
(13)
以14-15單元為例,前大梁與后大梁通過鉸接點15進行連接,由鉸接結(jié)構(gòu)的性質(zhì)可得
(14)
式(14)中:m15-14和φ15-14分別為單元14-15中節(jié)點15的彎矩和轉(zhuǎn)角。
將式(14)代入式(13)可得與鉸接點連接的單元兩端節(jié)點的內(nèi)力計算公式為
(15)
在使用ANSYS軟件設(shè)置鉸接節(jié)點時需要設(shè)置多個相同位置的節(jié)點后根據(jù)鉸接關(guān)系設(shè)置約束,過程較為復(fù)雜。使用向量式有限元分析只需判斷節(jié)點的連接方式,選擇對應(yīng)的內(nèi)力計算公式進行計算。
對于岸邊集裝箱起重機來說,起重機主體使用梁單元來構(gòu)建,但結(jié)構(gòu)中的拉桿不承受彎矩的作用,因此需要使用桿單元來描述。對于同時連接桿單元與梁單元的節(jié)點來說,如何正確描述不同單元間的耦合作用是需要解決的問題。
(16)
由梁單元的內(nèi)力計算公式可得,梁單元16-17和17-18傳遞給節(jié)點17的內(nèi)力為
(17)
至此得到了各個單元作用在節(jié)點17上的內(nèi)力,由于內(nèi)力都按照了坐標軸進行了分解,所以可得節(jié)點17受到的總內(nèi)力為
(18)
在程序求解過程中對單元類型進行判斷,將處于耦合單元位置的節(jié)點的內(nèi)力計算公式進行替換。
在岸橋的ANSYS有限元模型中將部分結(jié)構(gòu)用質(zhì)量單元表示,在進行力學(xué)分析前要分析自重對結(jié)構(gòu)的變形。在向量式有限元模型中可通過在每個節(jié)點上施加對應(yīng)的重力來模擬結(jié)構(gòu)自重的影響。假設(shè)節(jié)點i的質(zhì)量為m′i,在此節(jié)點上施加的質(zhì)量單元的質(zhì)量為massi,則加入質(zhì)量單元后此節(jié)點的質(zhì)量mi=m′i+massi,取g為重力加速度,自重導(dǎo)致的垂直方向上的外力為
Pi=-mig
(19)
(20)
(21)
圖4 起升作用下吊重的位置變化Fig.4 Variation of lifting position under lifting action
使用ANSYS軟件建立對應(yīng)的有限元模型,如圖5所示,使用單元為Beam188、Link180和Mass21,模型由159個節(jié)點表示。取小車質(zhì)量10 t,吊重質(zhì)量30 t,小車運行速度240 m/min,起升速度90 m/min,小車加速度為2 m/s2,連接吊重的鋼絲繩繩長變化范圍為30~4 m,吊重初始擺角為0.05 rad。
不考慮吊重的作用,將小車視為移動載荷進行分析,使用有限元軟件與向量式有限元分析得到的大梁上各節(jié)點垂直方向上的位移如圖6所示,節(jié)點編號所對應(yīng)的位置如圖3所示。可以看出,VFIFE與ANSYS軟件求解得到的結(jié)果相比誤差很小,并且在向量式有限元中整機結(jié)構(gòu)只用了19個節(jié)點描述,用較少的節(jié)點便可得到精確結(jié)果。
圖5 岸橋的有限元模型Fig.5 Finite element model of quayside container crane
圖6 移動載荷作用下的大梁位移Fig.6 Displacements of girder under moving load
前大梁與后大梁之間通過鉸接點連接,在小車運行通過鉸接點時,隨著結(jié)構(gòu)約束方式的變化,內(nèi)力會發(fā)生突變。內(nèi)力的突變也會導(dǎo)致位移的變化。由圖6可知,將小車模擬為移動載荷時鉸接點的作用不明顯,因此將小車模擬為移動質(zhì)量進行分析。
選取鉸接點與前大梁最遠端兩個位置進行分析,其他相關(guān)參數(shù)保持一致,得到移動載荷與移動質(zhì)量作用下的節(jié)點位移變化對比如圖7所示。可以看出,在阻尼相同的情況下小車開始運動時移動質(zhì)量作用下的結(jié)構(gòu)振動更劇烈。與移動載荷相比,移動質(zhì)量作用下的大梁在中間一段的曲線與其不同,曲線發(fā)生突變的時刻正是小車運行到鉸接點位置的時刻。在考慮了小車慣性力作用的情況下,結(jié)構(gòu)的位移變化在鉸接點處發(fā)生了突變。
考慮小車的變速運動和吊重起升與偏擺,在小車運行時為了提高工作效率,吊重會經(jīng)過起升-固定高度-下降的過程。得到大梁上各節(jié)點的撓度變化如圖8所示,可知在小車的啟動與制動階段,結(jié)構(gòu)會發(fā)生明顯的振動。
圖7 移動載荷與移動質(zhì)量作用下的大梁位移對比Fig.7 Displacement comparison of girder under moving load and moving mass
圖8 移動吊重與小車作用下的大梁位移Fig.8 Displacement of girder under the action of moving lifting load and trolley
小車運行過程中吊重的相圖如圖9所示,可得隨著高度升高,吊重的擺角減小。小車的啟動與制動時的加速度會導(dǎo)致擺角發(fā)生較大幅度的變化,因此當(dāng)重物的質(zhì)量較大時,應(yīng)適當(dāng)減小小車的運行速度以起到防止擺角過大的作用。
圖9 吊重的相圖Fig.9 Phase diagram of lifting load
基于向量式有限元桿單元與梁單元理論,進行了岸橋的動力學(xué)分析,得出如下結(jié)論。
(1)對岸邊集裝箱起重機的結(jié)構(gòu)進行點值描述,并對結(jié)構(gòu)中存在的鉸接點、質(zhì)量點、耦合單元和高度變化的偏擺吊重的處理方法進行說明。
(2)根據(jù)向量式有限元理論進行編程,使用ANSYS軟件建立有限元模型,進行移動載荷作用下起重機動力學(xué)分析,說明向量式有限元只需選取結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵位置設(shè)置節(jié)點便可有較高的準確性。
(3)將小車模擬為移動質(zhì)量進行分析,并與移動載荷作用下的結(jié)果進行對比,根據(jù)結(jié)果可得移動質(zhì)量可以表現(xiàn)出小車運行至鉸接點位置時的結(jié)構(gòu)運動的突變。
(4)考慮小車運行中吊重的起升與偏擺,得到大梁上各點的撓度變化與吊重的相圖,以此反映出小車運行對結(jié)構(gòu)的影響。
將吊重簡化為了約束點移動的變擺長單擺進行分析,從得到的結(jié)果可知在這種模擬方式下吊重會發(fā)生較大的偏擺。以后可以嘗試模擬出更符合實際的小車與吊具結(jié)構(gòu),也可以添加防搖擺的措施以模擬更真實的情況。