李紅紅　郭金珂

摘要：碰撞是動(dòng)量守恒定律中非常重要的過(guò)程模型之一，彈性碰撞又是碰撞模型中的考查熱點(diǎn)，教學(xué)中經(jīng)常建議學(xué)生記住某些結(jié)論，從而提高學(xué)生解題的速度和效率，但結(jié)論的成立是有條件的，而被舍棄的解并不是沒(méi)有任何意義，就像彈性碰撞“一動(dòng)一靜”模型中碰

后二者的速度的取舍問(wèn)題，被理所當(dāng)然舍棄的解卻是其他不同物理情境中的正解。

關(guān)鍵詞：廣義碰撞;一動(dòng)一靜;解的取舍

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2021）28-0085-03

碰撞是動(dòng)量守恒定律中非常重要的過(guò)程模型之一，因其所反映出來(lái)的物理過(guò)程、狀態(tài)變化及能量關(guān)系，能夠全方位地考查學(xué)生的理解能力、信息加工能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力及分析綜合能力，從而培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)用守恒思想、模型方法分析、解決物理實(shí)際問(wèn)題的能力等”相關(guān)的物理學(xué)科核心素養(yǎng).因此碰撞問(wèn)題成為歷年高考試題命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，自然也就成為高考復(fù)習(xí)備考的重點(diǎn)和難點(diǎn).

一、狹義碰撞與廣義碰撞

1. 狹義碰撞

狹義碰撞就是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體相遇而接觸，在極短的時(shí)間內(nèi)，相互作用的這兩個(gè)物體動(dòng)量發(fā)生突變，但兩物體的位移卻可近似認(rèn)為是零的一個(gè)過(guò)程.因其相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，故碰撞時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.這種碰撞的主要特點(diǎn)是“作用時(shí)間極短”和“內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力”，屬于“短暫性過(guò)程”.

2. 廣義碰撞

廣義上的碰撞則是指兩個(gè)物體的相互作用時(shí)間不是很短，相互作用的內(nèi)力也不是很大，相互作用的內(nèi)力而使系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體的動(dòng)量發(fā)生變化的過(guò)程.

廣義碰撞可近似看作是狹義碰撞的“慢鏡頭”，把“短暫性過(guò)程”緩慢拉長(zhǎng)，成為“持續(xù)性過(guò)程”.如圖1所示的兩個(gè)小鋼球之間的“瞬間、短暫”的碰撞過(guò)程就可以看成圖2所示的兩個(gè)物塊A、B與彈簧組成的系統(tǒng)彈簧由原長(zhǎng)變到下一次原長(zhǎng)的過(guò)程.所以，許多類(lèi)似于圖2的相互作用過(guò)程都可以看作“廣義碰撞”問(wèn)題模型，如圖3中兩個(gè)帶正電小球在光滑的水平面上相互作用的過(guò)程，圖4中小球從小車(chē)左端滑上光滑弧形軌道，又滑回軌道底端的過(guò)程.

碰撞分為彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞.其中彈性碰撞動(dòng)能沒(méi)有損失，完全非彈性碰撞動(dòng)能損失最多，而非彈性碰撞的能量介于彈性碰撞與完全非彈性碰撞之間.故平時(shí)主要研究彈性碰撞和完全非彈性碰撞.而在彈性碰撞中，被稱(chēng)為“黃金二級(jí)結(jié)論”的“一動(dòng)一靜”模型更是師生關(guān)注的重點(diǎn)，如果能夠熟記“一動(dòng)一靜”彈性碰撞中兩物體的碰后速度，則可大大提高做題效率，但我們卻經(jīng)常忽略“一動(dòng)一靜”模型中的另外一組解的應(yīng)用情況.下面我們通過(guò)舉例來(lái)逐步分析，希望能對(duì)大家有所啟發(fā).

二、“一動(dòng)一靜”彈性碰撞模型兩組解的分析

方程組解得的（3）和（4）這組解是教材中給出符合兩物體真實(shí)運(yùn)動(dòng)情境的一組解，也是前面提到的彈性碰撞模型中的“黃金二級(jí)結(jié)論”之一，熟記這個(gè)二級(jí)結(jié)論，確實(shí)可大大提高解題的效率.

三、廣義彈性碰撞之“上下坡類(lèi)”模型

例1如圖6所示，小車(chē)的上面是由中突的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的光滑曲面組成，整個(gè)小車(chē)的質(zhì)量為m，原來(lái)靜止在光滑的水平面上，今有一個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的小球，質(zhì)量也為m，以水平速度v從左端滑上小車(chē)，恰好到達(dá)小車(chē)的最高點(diǎn)后，又從右側(cè)曲面滑下，當(dāng)小球滑到右側(cè)曲面底端時(shí)，求小車(chē)和小球的速度分別為多少？

分析與解：小球在小車(chē)曲面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與小車(chē)組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，由小車(chē)上中突的曲面光滑可知，小球由左端滑上曲面至小球滑到右側(cè)曲面底端的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且初末位置動(dòng)能相等.

這表明：當(dāng)小球滑到右側(cè)曲面底端時(shí)，小球速度為0，而小車(chē)速度為向右的v，小車(chē)運(yùn)動(dòng)速度比小球大，而由實(shí)際運(yùn)動(dòng)情境可知，小球滑到曲面最高點(diǎn)時(shí)，小球與小車(chē)速度相等，小球由右側(cè)曲面滑下的過(guò)程中，小球速度在增加，小車(chē)速度在減小，故不可能出現(xiàn)上述結(jié)果.所以此種情境下，合理的速度應(yīng)該是方程的另一組解，即小球速度變回原來(lái)的v，而小車(chē)速度減為0.

變式1若將例1中的小車(chē)變?yōu)槿鐖D7所示，光滑弧形軌道足夠長(zhǎng)，小球不會(huì)從軌道上端滑出，求小球再次滑回弧形軌道底端時(shí)，小車(chē)與小球的速度分別為多少？

分析與解由分析可知，小球與小車(chē)之間的相互作用過(guò)程仍然屬于廣義彈性碰撞中“一動(dòng)一靜”模型，套用“黃金二級(jí)結(jié)論”可直接解得二者的速度分別為

即因小球與小車(chē)質(zhì)量相等，小球與小車(chē)交換速度.這種運(yùn)動(dòng)情境完全可套用“一動(dòng)一靜”模型的結(jié)論.

思考倘若上述例1和變式1中小車(chē)質(zhì)量為M，小球質(zhì)量為m，二者質(zhì)量不相等，那上述兩種情況下，小球與小車(chē)的速度又如何呢？

四、廣義彈性碰撞之“彈簧——滑塊類(lèi)”模型

分析與解由于兩物體與彈簧組成的系統(tǒng)所受外力為0，所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒，又由于系統(tǒng)只存在勢(shì)能與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化，故機(jī)械能守恒.當(dāng)物體A獲得初速度之后，兩物體和彈簧一起在水平面上做“先壓縮、再恢復(fù)原長(zhǎng)、再拉伸、再恢復(fù)原長(zhǎng)”地重復(fù)性地向前運(yùn)動(dòng)，且在彈簧原長(zhǎng)時(shí)，彈性勢(shì)能為0，系統(tǒng)只有動(dòng)能.設(shè)第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B的速度分別為v和v.第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B的速度分別為v′和v′.

（1）從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到彈簧第一次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)

此過(guò)程彈簧一直處于壓縮狀態(tài)，B物體一直做加速運(yùn)動(dòng)，A物體一直做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)物體B速度達(dá)到最大，物體A速度減到最小.由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

（2）從彈簧第一次恢復(fù)到原長(zhǎng)到彈簧第二次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)

此過(guò)程彈簧一直處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，B物體一直做減速運(yùn)動(dòng)，A物體一直做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)物體B速度減到最小，物體A速度達(dá)到最大.由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

此方程與“一動(dòng)一靜”彈性碰撞方程也一致，但我們通過(guò)分析可知，此次彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體的速度與第一次彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體的速度不相同.所以，第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，解得的速度應(yīng)為方程組的另一組解，即v′=v; v′=0，其含義為：當(dāng)彈簧第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物體A恢復(fù)為原來(lái)的初速度v，物體B速度正好減小為0，所有物理量及狀態(tài)都恢復(fù)為開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的初狀態(tài).依此類(lèi)推，在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)彈簧第奇數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物體A、B的速度均與第一次速度相同;當(dāng)彈簧第偶數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物體A、B的速度均與第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度相同.

變式2如圖9所示，物體A、B間拴接一個(gè)壓縮后被鎖定的輕質(zhì)彈簧，整個(gè)系統(tǒng)靜止放在光滑水平地面上，其中A物體最初與左側(cè)的固定擋板相接觸，B物體質(zhì)量為2kg.現(xiàn)解除對(duì)彈簧的鎖定，在A離開(kāi)擋板后的某時(shí)刻開(kāi)始，B物體的v-t圖象如圖10所示，則可知（ ）.

分析與解通過(guò)對(duì)A、B的運(yùn)動(dòng)分析，配合題中所給B物體的v-t圖象，可知B物體速度最大為3m/s時(shí)，A物體速度為0;B物體速度最小為1m/s時(shí)，A物體速度最大為v，由“黃金二級(jí)結(jié)論”可得，彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度滿(mǎn)足

總結(jié)在碰撞類(lèi)動(dòng)量守恒定律中，記住模型及其對(duì)應(yīng)的結(jié)論固然重要，但結(jié)論的得出及取舍過(guò)程更能體現(xiàn)物理學(xué)科的嚴(yán)密思維及推理過(guò)程，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)獲取能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力、分析綜合能力、信息加工能力的最佳途徑.所以建議在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該讓學(xué)生親自去計(jì)算、去體會(huì)方程組不同的解進(jìn)行取舍的原因，而不是純粹記結(jié)論、套公式.

參考文獻(xiàn)：

[1]傅雪平.高考物理16講[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡(jiǎn)介：李紅紅，中學(xué)高級(jí)教師，河北省骨干教師，從事高中物理教學(xué)研究.

郭金珂（1975.1-），中學(xué)高級(jí)教師，河北省骨干教師，從事高中物理教學(xué)研究.