摘要：立體幾何中與球有關(guān)的問題是模擬題、高考題中的重要題型，近幾年的考查側(cè)重實(shí)際應(yīng)用，常以生活實(shí)踐為背景，融入球與簡(jiǎn)單幾何體的切接問題，考查與球相關(guān)的最值問題. 本課題通過幾個(gè)典例分析此類問題的求解策略，與讀者分享.

關(guān)鍵詞：球;實(shí)際應(yīng)用;最值

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2021）28-0048-02

例1（2020·湖北襄陽模擬）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.從外觀圖1上看，是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱;六根等長(zhǎng)的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來.如圖所示，正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，將這個(gè)魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器半徑的最小值為（容器壁的厚度忽略不計(jì)）（ ）.

解析當(dāng)魯班鎖內(nèi)接于球形容器時(shí)，球形容器的半徑最小.根據(jù)魯班鎖的對(duì)稱性可知，球形容器的球心為三組長(zhǎng)方體的中心，且每個(gè)長(zhǎng)方體均由兩個(gè)正四棱柱組成，所以各長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2，寬為1，高為8.

評(píng)析本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查多面體與外接球球的計(jì)算，需要根據(jù)幾何體的對(duì)稱性確定一組長(zhǎng)方體的外接球也就是整體的外接球.

例2（2020 ·河南省模擬）在棱長(zhǎng)為8的正方體空盒內(nèi)，有4個(gè)半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，另有一個(gè)半徑為R的大球放在四個(gè)小球之上，與四個(gè)小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，五球相切不松動(dòng)，則小球半徑r的最大值為____________，大球半徑R的最小值為____________.

解析當(dāng)正方體盒內(nèi)四個(gè)小球中相鄰小球均相切時(shí)，小球半徑r最大，大球半徑R最小，由2r·2=8可得r的最大值為2，下面分析r=2時(shí)R的取值. 如圖所示，由對(duì)稱性知，大球球心O與四個(gè)小球球心O，O，O， O均為一個(gè)正四棱錐的頂點(diǎn)，且OO=R+r=R+2，O=2r=4.

評(píng)析本題通過數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題相結(jié)合，考查球與球，球與多面體的切接問題，一題兩空是新高考特色題型，分析球與球之間切接可得r的最大值，剖析球與多面體切接問題，結(jié)合對(duì)稱性計(jì)算出R的最小值.

例3（2020·福建莆田市質(zhì)檢）有一根高為30厘米，底面半徑為5厘米的圓柱體原木（圖3）.某工藝廠欲將該原木加工成一工藝品，該工藝品由兩部分組成，其上部分為一個(gè)球體，下部分為一個(gè)正四棱柱（圖4）.問該工藝品體積的最大值是立方___________厘米.

評(píng)析本小題以勞動(dòng)技術(shù)、生活實(shí)踐為背景，考查立體幾何中與球有關(guān)的最值問題，是一類既富思考性，又融眾多知識(shí)和技巧于一體，綜合性強(qiáng)、靈活性高的問題.解答時(shí)，需仔細(xì)分析題設(shè)中的所有條件，在充分審清題目意思的基礎(chǔ)上，從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決;找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法加以解決.圖5

例4（2015 ·湖南高考）某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為

評(píng)析本題融合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查立體幾何中球的切接問題，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查概率的計(jì)算，綜合性較強(qiáng).

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[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡(jiǎn)介：謝新華，男，福建省莆田人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2020年度教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題：學(xué)科素養(yǎng)視域下“讀思達(dá)”教學(xué)法的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用研究（項(xiàng)目編號(hào)：Fjjgzx20-077）.