許雅婷

(福建省廈門市海滄區(qū)東埔小學(xué) 福建 廈門 361026)

引言

數(shù)形結(jié)合是一種淵源流傳的解題方法，勾三股四玄五、圓周率的無限切割計(jì)算等，正是應(yīng)用的數(shù)形結(jié)合方法。圖形的目的是為了將用文字和數(shù)字描述的物體通過圖形的方式展現(xiàn)出來，以此形成直觀的印象，從而加強(qiáng)分析能力。因此，可以說圖形就是一種工具，是一種模擬，包括前沿?cái)?shù)學(xué)的“數(shù)學(xué)模型”都是如此，北大韋東奕爆火之后，其單純代數(shù)方法解幾何問題的做法正驗(yàn)證了這一道理。核心素養(yǎng)下，需要提升學(xué)生的解決問題能力，即培養(yǎng)學(xué)生的社會實(shí)踐核心素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本功能。而數(shù)學(xué)中的解決問題，完全以實(shí)際生活中的事例為藍(lán)本，通過語文語言、數(shù)字的描述進(jìn)行了加工，因此提升解答問題的能力，就是提升解決實(shí)際問題的能力。本文僅結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，就在核心素養(yǎng)下，如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，提高學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的能力作一簡要探析。

1.核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)任務(wù)

核心素養(yǎng)的提出，使教育改革方向更加明確，即培養(yǎng)學(xué)生人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、自主發(fā)展，使學(xué)生樹立正確的價值觀，并立志報(bào)效祖國。核心素養(yǎng)要求各階段開始注重培養(yǎng)學(xué)生，而數(shù)學(xué)作為小學(xué)階段最重要、占時最長的一門基礎(chǔ)學(xué)科，其在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)中占有較大的比重。比如，我國幾千年的歷史中，數(shù)學(xué)曾一度高度發(fā)達(dá)，圓周率的計(jì)算早于西方一千余年，這對培養(yǎng)學(xué)生人文底蘊(yùn)有著良好的促進(jìn)作用；而近代以來閉關(guān)鎖國，造成我國在數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐漸落后，直至新中國成立后，國家全面注重教育，我國華羅庚等一大批數(shù)學(xué)家在某一領(lǐng)域獲得了巨大成就，又無形中承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神和自主發(fā)展的學(xué)科核心素養(yǎng)任務(wù)，同時對于培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神有著良好的積極作用。

就小學(xué)數(shù)學(xué)而言，由于全部內(nèi)容多是日常生活中應(yīng)用得到的內(nèi)容，比如計(jì)數(shù)、加減乘除四則運(yùn)算、東西南北方向認(rèn)識、簡單的幾何圖形的認(rèn)識計(jì)算等，無不是日常生活中需要用到的內(nèi)容，可以說不僅是日后生活中的基本工具，同時是當(dāng)前學(xué)生階段在購物、買菜、認(rèn)識新鮮事物等實(shí)踐勞動中都會用到的內(nèi)容。三方面核心素養(yǎng)下的六大核心素養(yǎng)中，社會實(shí)踐素養(yǎng)指出，要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力、動手能力，讓學(xué)生在實(shí)踐中驗(yàn)證理論，真正的將理論知識入腦入心。由此可以看出，核心素養(yǎng)大背景下，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)任務(wù)，首先是培養(yǎng)學(xué)生的社會實(shí)踐素養(yǎng)。同時，就六年級的小學(xué)數(shù)學(xué)來說，在實(shí)際問題的解答中，經(jīng)常遇到行程問題、雞兔同籠問題、簡單的統(tǒng)籌問題等，即是實(shí)際生活中可能遇到的實(shí)際問題，又是我國歷史上著名的一些數(shù)學(xué)類問題，比如勾股定理、比如雞兔同籠等，在培養(yǎng)學(xué)生社會實(shí)踐核心素養(yǎng)的同時，又能夠涵養(yǎng)學(xué)生的文化自信，使學(xué)生從小樹立良好的愛國、愛家等普世價值觀。而這些問題，又通常在問題解決中出現(xiàn)，因此可以說，在小學(xué)數(shù)學(xué)中提高學(xué)生的解決問題的能力，就是在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

2.數(shù)形結(jié)合在解決問題中的重要含義和作用

數(shù)形結(jié)合思想由來已久，兩者互為補(bǔ)充、互相作用。在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣大小學(xué)數(shù)學(xué)老師及學(xué)生都有這樣的共同認(rèn)識，基礎(chǔ)知識相對簡單，得分較易，由此可以看出學(xué)生的基本知識、計(jì)算能力是相差無幾的。但問題解決就如同語文中的作文一樣，可以很大程度的拉開學(xué)生分?jǐn)?shù)差距，在基本知識、計(jì)算能力基本相同的情況下，之所以出現(xiàn)如此差距，究其原因還是因?yàn)閷W(xué)生對于實(shí)際問題的理解、分析不夠到位，對于已知條件的邏輯關(guān)系理順不夠清晰，在頭腦中沒有形成明顯的解答思路，最明顯的狀況就是“走一步、看一步”，當(dāng)然這是提高學(xué)生得分率的最佳方法，但對于提升學(xué)生的能力、涵養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)無法起到有效作用?；谇拔奶岬降臄?shù)形兩者關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想可以有效幫助學(xué)生具體問題具體分析，使學(xué)生能夠最快的明白各個已知條件的邏輯連接點(diǎn)，明了已知條件與所要解答的問題的具體關(guān)系，并最終列出算式、完成計(jì)算。比如小學(xué)六年級數(shù)學(xué)經(jīng)常遇到的一道題，“有一片草地，每天都會均勻生長，如果有十頭牛同時吃，可以吃二十天，如果有十五頭牛同時吃，可以吃十天，問如果是二十五頭牛，可以吃多少天?！边@是比較難的一道數(shù)學(xué)問題解決，從筆者班級的實(shí)際效果看，僅從文字上認(rèn)識，全班幾乎沒有學(xué)生能夠厘清自己的思路，在明確告訴他們?nèi)ネㄟ^數(shù)形結(jié)合的思想思考后，有些學(xué)生能夠找到突破口，進(jìn)行深入的思考，但實(shí)際上最終本班沒有學(xué)生真正的完成。在后來的講解中，筆者發(fā)現(xiàn)主要還是學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合的思想還是不夠深入，實(shí)則這一問題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，“一是每天均勻生長，一是最初有一片草地?！鼻罢邔W(xué)生都能畫出，后者卻沒能總結(jié)到位。點(diǎn)到即悟透，對于后續(xù)的同類問題，學(xué)生基本都能夠通過這一數(shù)形結(jié)合方法付，完成解答。

3.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法提高小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題能力，涵養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)科核心素養(yǎng)

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，解答小學(xué)六年級數(shù)學(xué)實(shí)際問題，并不能一蹴而成，前文提到的這一問題，學(xué)生就難以直接畫出，實(shí)則是需要三條線段去表述的。因此，在小學(xué)六年級的數(shù)學(xué)實(shí)際問題解答教學(xué)中，老師要注重循序漸進(jìn)，讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合方法解答實(shí)際問題的妙用所在，讓學(xué)生做到遇到“一時難以理解的問題，自然而然想到用圖形的方法去表述”。這就需要小學(xué)數(shù)學(xué)老師有意識的引導(dǎo)、培養(yǎng)。從筆者經(jīng)驗(yàn)來看，主要可以從“標(biāo)注已知條件、分析邏輯關(guān)系、等量替換列算式”等幾方面入手。

3.1 講課時注重?cái)?shù)形結(jié)合分析題意，滲透思想。使用數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生的解決問題的能力，首先小學(xué)數(shù)學(xué)老師要注重教學(xué)日常中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生遇到不夠明了的問題時，能夠第一時間想到通過數(shù)形結(jié)合的方法去分析、標(biāo)注題意。在上述“牛吃草”問題中，雖然實(shí)際小學(xué)六年級數(shù)學(xué)教材中沒有這樣難度的問題，但也是經(jīng)常遇到類似問題，比如水池放水問題。上述“牛吃草”問題中，講課時首先可以一句一句的畫出圖形進(jìn)行分析，比如第一句話是“有一片草地”，這是學(xué)生都容易忽視的問題，因此在標(biāo)畫的時候，要先畫出一條線段，表示這一片固定的草地。然后“十頭?？梢猿远臁?，將這個線段繼續(xù)延長，并將延長的線段均分二十等份，每一份就是草地一天生長的草的量，這樣學(xué)生就非常明白“十頭牛二十天一共吃了多少草了”，這是第一步；第二步是“十五頭?？梢猿允臁?，需要另起一個線段，前面的“一篇草地”長度不變，后面只吃了“十天”，需要延長第一條每天量的十倍，學(xué)生自然也就能夠明了。第三條線段，同樣“一片草地”的長度不變，但“二十五頭牛吃”，自然要比“十天”更短，只需要延伸畫出一段距離即可，并將需要求的內(nèi)容在線段中標(biāo)注，問題是吃幾天，在圖形中就是吃第三條線段的延長線有幾個均等份即可。通過這樣的分析，學(xué)生將題目中的幾句話、幾個數(shù)字完全通過三條線段進(jìn)行了標(biāo)注，看起來更加直觀，其中的已知條件也非常明了，三條線段的“最初一片草地”是等量，每天生長的“一份”是等量，只是因?yàn)榕５臄?shù)量不同、造成最終三條線段的總長度不同。在這一過程中，學(xué)生自然而然開始認(rèn)識到用圖形表示的優(yōu)勢所在。

本文僅以一個問題為例，在實(shí)際教學(xué)中，滲透數(shù)形結(jié)合思想，還要放在每一個課堂，每一個日常，才能最大限度的滲透小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合法解決問題的思想。

3.2 作業(yè)中注重要求數(shù)形結(jié)合思想的練習(xí)，強(qiáng)化應(yīng)用。不可否認(rèn)，雖然小學(xué)、初中都是義務(wù)教育，但是小學(xué)六年級的學(xué)生已經(jīng)開始面對影響人生的第一次“大考”，正因此各小學(xué)階段的學(xué)校都開始注重對學(xué)生的訓(xùn)練，尤其是六年級的學(xué)生，作業(yè)量會明顯提升。此時，小學(xué)數(shù)學(xué)老師要注重在作業(yè)中強(qiáng)化學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，使學(xué)生在反復(fù)的應(yīng)用中達(dá)到熟悉、熟練的目的，在面對較難理解的問題時能夠正確分析、正確使用。比如，六年級已經(jīng)開始有了很多的實(shí)際問題需要解決，在每一個問題中都會有題意分析，而后面的計(jì)算對于學(xué)生來說，需要的僅僅是認(rèn)真，算力都能達(dá)到要求，此時老師可以要求學(xué)生更多的去利用數(shù)形結(jié)合的思想分析題意，逐步加深難度，甚至僅要求學(xué)生分析題意，而不用完全計(jì)算出最終答案的方式，激勵學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用樂趣。比如小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的難度等級劃分，通常用“需要幾步”來區(qū)分難度，有些是一步直接計(jì)算的，如“工廠有一噸大米，三天吃了四分之一，還有多少？”，此時要求學(xué)生畫出圖形，似乎顯得多余，但就是在此時就強(qiáng)調(diào)必須畫出，直接一條線段截取四分之一即可；逐步增加難度，需要兩步計(jì)算的，如“班級男女比例一比二，平均成績82，男生平均80，女士平均多少？”，類似問題六年級學(xué)生頭腦中也基本有明確的思路，此時還是要求學(xué)生畫出圖形分析，即線段均分三份，先求總、再求女；三步計(jì)算就屬于六年級中相對較難的問題了，如大部分的行程問題、水池問題等，學(xué)生大多開始意識到需要通過圖形去仔細(xì)認(rèn)真分析；而上述“牛吃草”問題則屬于四步計(jì)算問題，歸類于“奧數(shù)”性質(zhì)的問題，不通過以上的分析難以完全厘清各項(xiàng)關(guān)系。在實(shí)際要求中，可以僅就“三步題型”“四步題型”要求學(xué)生計(jì)算，其他則寬松式要求即可。

3.3 作業(yè)評價中注重?cái)?shù)形結(jié)合內(nèi)容評價，強(qiáng)化學(xué)生獲得感。評價必不可免，不僅可以有效指出學(xué)生存在的問題，同時可以有效激發(fā)激勵學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。通過數(shù)形結(jié)合思想解答實(shí)際問題，老師要注重在課后作業(yè)的評價中，強(qiáng)化對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的評價。比如，某些同學(xué)標(biāo)畫的更加準(zhǔn)確、美觀，讓人們一看就明了全部已知條件，準(zhǔn)確把握各數(shù)據(jù)的邏輯關(guān)系等；比如，某些同學(xué)標(biāo)畫的存在一些什么問題，這個問題無傷大雅，不影響我們的題意分析、解題思路，但是讓人不舒服，需要練習(xí)“美術(shù)”功底，通過幽默的語言，讓學(xué)生認(rèn)識到自己的問題所在，又讓她們樂于接受；比如，對于某些真正存在錯誤標(biāo)畫的學(xué)生，讓他們講解自己標(biāo)畫的內(nèi)容，大家共同評判，此時的學(xué)生不知道自己是好是壞、觀看的學(xué)生也不清楚是表揚(yáng)還是指問題，因此都能認(rèn)真分析，在互相探討和幫助中，讓存在錯誤的學(xué)生自己感悟到自己的錯誤，并及時加以改正。這樣的評價方式，因?yàn)榧又亓藬?shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容，在無形中自然會強(qiáng)化學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合解決問題的獲得感，激勵他們繼續(xù)應(yīng)用。

結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合是一個宏大的方法和理論，小到一二年級線段標(biāo)注，中到初高中的幾何解析，大到前沿?cái)?shù)學(xué)模型制作。本文僅以自己的工作經(jīng)驗(yàn)，作一粗淺的簡要的介紹，難免存在不清、不透之處，批評指正。