王立東

【摘要】在高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)中，拋物線部分是重點，也是難點.在此部分的教學(xué)中，教師應(yīng)合理地向?qū)W生滲透學(xué)習(xí)方法、解題思路、數(shù)學(xué)思維等，進(jìn)而解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的疑難問題.基于此，筆者從STEAM理念出發(fā)，設(shè)計了拋物線切線微專題的創(chuàng)意教學(xué)模式，意在更有效地激發(fā)學(xué)生探究拋物線切線問題的積極性，促進(jìn)教學(xué)中學(xué)生主體性的充分發(fā)揮，促使學(xué)生提升思維能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】STEAM教育;拋物線;切線;微專題教學(xué)

在拋物線教學(xué)過程中，與切線相關(guān)的內(nèi)容是重要組成部分，在高考中時有出現(xiàn)，較難把握.所以，如何優(yōu)化課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，并借助知識點去串聯(lián)、去拓展，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就成了教師思考的方向.對此，教師積極學(xué)習(xí)STEAM教育理念，立足于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、思維創(chuàng)新能力的角度，探索更優(yōu)化的拋物線切線微專題教學(xué)方案，就是解決問題的有效途徑之一.

一、關(guān)于STEAM教育

（一）STEAM教育的概念

STEAM一詞由五個英語單詞Science，Technology，Engineering，Arts，Mathematics的首字母組成，含義是科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)及數(shù)學(xué)，該教育理念源于美國，注重培養(yǎng)具有跨學(xué)科能力、實踐能力、解決問題能力的創(chuàng)新人才.對于STEAM教育理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者的理解就是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，綜合運用科學(xué)、技術(shù)、工程和藝術(shù)等學(xué)科知識，構(gòu)建高層次的數(shù)學(xué)教學(xué).

（二）STEAM理念下教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵

將STEAM教育理念應(yīng)用到教學(xué)中，探索更優(yōu)化的拋物線切線微專題教學(xué)方案，并不代表著教師設(shè)計的授課情境、選取的教學(xué)實例等內(nèi)容都要與技術(shù)、科學(xué)、工程以及藝術(shù)等多個學(xué)科知識結(jié)合，只是要求教師更加重視數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的交叉融合，也著重強調(diào)教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動.

在STEAM理念下的教學(xué)設(shè)計要使學(xué)生在課堂上主動思考、主動動手實踐、主動解決問題.與常規(guī)數(shù)學(xué)課堂不同，教師要更新觀念，摒棄傳統(tǒng)形式的灌輸式教學(xué)，重視學(xué)生實踐，強調(diào)主動學(xué)習(xí)，而且是多元主體參加的合作學(xué)習(xí).基于STEAM教育理念的課堂優(yōu)化，可以分成四個層面：第一個層面，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力為重要目標(biāo);第二個層面，強調(diào)真實化的問題情境;第三個層面，真正做到以學(xué)生為本，讓學(xué)生在做中學(xué);第四個層面，提倡合作學(xué)習(xí)，實現(xiàn)教師和學(xué)生的共同發(fā)展.教師要秉承這樣的思想開展數(shù)學(xué)教學(xué)工作，對數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行優(yōu)化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而讓學(xué)生形成相應(yīng)的思維品質(zhì)及關(guān)鍵能力.

（三）STEAM教育理念對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的積極意義

STEAM教育踐行的是跨學(xué)科的融合性教育，主要存在形式為項目式的學(xué)習(xí)，以某一具體目標(biāo)的任務(wù)情境為基礎(chǔ)，把學(xué)科知識綜合到一起進(jìn)行探究，完成具體學(xué)習(xí)任務(wù)，傾向于動手實踐任務(wù)以及課外反饋評價.以STEAM教育為基礎(chǔ)，學(xué)生通過項目式的學(xué)習(xí)活動，學(xué)習(xí)多樣化的學(xué)科知識，并進(jìn)行積極探究，從而提升動手實踐能力以及創(chuàng)新能力.這樣的目標(biāo)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)具有一致性，因此教師在拋物線切線微專題的教學(xué)中，利用STEAM教育理念設(shè)計教學(xué)方案、組織教學(xué)活動，有利于學(xué)生創(chuàng)造力的形成.

二、學(xué)生解決拋物線切線相關(guān)問題時的困境

（一）具體問題情境下，較難聯(lián)系導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義對于求切線方程有著重要作用，會使得應(yīng)用切線的計算過程變得簡便.學(xué)生要用此工具求解切線方程，就應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f（x）在x=x0時的導(dǎo)數(shù)就是它的圖像在對應(yīng)點處的切線斜率.對于具體題目而言，就是將所給拋物線方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，變成函數(shù)形式，設(shè)一個切點坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可.而部分學(xué)生不能理解此點，也就不能準(zhǔn)確和快速地寫出切線方程.

（二）分析問題時，沒有充分利用數(shù)學(xué)思維

與拋物線切線相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，其典型的特點就是關(guān)系式多且復(fù)雜、變量參數(shù)比較多，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候往往迷失方向，不會合理利用已知條件進(jìn)行推算.出現(xiàn)這樣問題的重要原因就是，高中生的數(shù)學(xué)思維形成度不高，很少能用數(shù)學(xué)思維理解問題和分析問題，對于某個題目很少能從整體上進(jìn)行分析，解題思路規(guī)劃不合理，找不到正確的解題方向.學(xué)生如果運用方程思想、對稱思想以及整體思想去分析拋物線切線問題，就會找到很多有關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，找出切點與切線之間的聯(lián)系，然后逐步解答問題，完成整個題目的解答.

（三）最大的瓶頸，運算推理能力比較弱

高中生在面對拋物線切線問題時，最大的困難就是不知道如何處理各種參數(shù)，因為他們處理參數(shù)的能力相對較弱，也就是運算推理能力較弱.一些學(xué)生在具體解題的時候可以形成解題思路，能列出各種各樣的參量關(guān)系，但怎樣簡化處理卻成了非常困難的問題，大量的計算讓他們感到頭痛，很可能因此放棄解題.另外，不少學(xué)生在運算過程中會不時出現(xiàn)差錯，因為他們并沒有形成良好的檢查、核對運算過程的習(xí)慣，往往是不停地運算，用了很長時間，最終得到的結(jié)果卻是錯誤的.

三、基于STEAM教育理念的拋物線切線微專題教學(xué)設(shè)計

為了解決以上問題，并強化高中生的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)造力，筆者借助STEAM教育理念對拋物線切線微專題的教學(xué)進(jìn)行了優(yōu)化，構(gòu)建了“三個階段、五個環(huán)節(jié)”的教學(xué)模式.“三個階段”包括活動選擇階段、活動過程階段、活動評價階段;“五個環(huán)節(jié)”包括課題選取、搜集資料、小組合作、創(chuàng)新方案以及評價，每一環(huán)節(jié)都與拋物線切線問題的教學(xué)有關(guān).首先，對于教學(xué)內(nèi)容的選擇，STEAM理念重視真實問題情境，所以內(nèi)容的選擇，一定要強調(diào)情境的真實性，就是要考慮學(xué)生是否感興趣，是否具有客觀性，是否能加強學(xué)生的體驗感以及參與感.其次，強調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，必須從選取的內(nèi)容出發(fā)，合理設(shè)計教學(xué)方案，科學(xué)安排教學(xué)活動，給予學(xué)生更多時間以及機會.利用合作學(xué)習(xí)方式，實現(xiàn)教學(xué)相長，使得教師和學(xué)生共同發(fā)展.最后，對于評價方式，不能單純依靠分?jǐn)?shù)，而是要綜合分析學(xué)生的能力，需要教師在課堂上多觀察學(xué)生、多注意學(xué)生，從而對學(xué)生進(jìn)行全面的考核.教師可利用問卷、訪談、自評、他評等方式對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)成果的考評.下面就基于STEAM教育理念的拋物線切線微專題教學(xué)，進(jìn)行詳細(xì)探究.

（一）強調(diào)聯(lián)系實際的課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)知識具有抽象性，尤其是拋物線切線部分的知識，更具抽象性.將抽象知識與實際相聯(lián)系，學(xué)生就會知道數(shù)學(xué)同生活之間存在的聯(lián)系，意識到實際生活離不開數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識可以指導(dǎo)生活實際.這樣學(xué)生才能對拋物線知識產(chǎn)生興趣，進(jìn)而全身心地參與到相應(yīng)的教學(xué)活動中.課堂上，教師可以組織一些探討活動，讓學(xué)生相互交流想法，相互學(xué)習(xí)，向其他同學(xué)分享一些關(guān)于拋物線切線問題的解題方法和技巧，從而找出自身的不足，學(xué)習(xí)到其他同學(xué)的解題方法，豐富解題思路等.在激烈的討論過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力得到培養(yǎng)，促使學(xué)生形成主動思考、獨立解決問題、善于自主解決問題的良好習(xí)慣，讓學(xué)生在提升學(xué)習(xí)能力的同時，形成數(shù)學(xué)思維.

（二）充分利用小組合作學(xué)習(xí)模式

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，小組合作學(xué)習(xí)模式的應(yīng)用可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體意識，鍛煉他們的獨立思考能力以及團(tuán)隊協(xié)作意識.教師在授課環(huán)節(jié)可以融合小組合作學(xué)習(xí)模式，將學(xué)生設(shè)定成不同的小組，以小組為單位，讓學(xué)生相互合作，交流自己的想法以及從教師那里得到信息，從而構(gòu)建出生生互動的效果.教師要適時給予學(xué)生指導(dǎo)，給他們一些解題方面的建設(shè)性意見，這就強化了教師與學(xué)生之間的互動.除此之外，在合作的過程中，小組要確定組內(nèi)負(fù)責(zé)人，負(fù)責(zé)主導(dǎo)討論的方向，帶動小組交流，進(jìn)而保證小組合作學(xué)習(xí)的效果，避免出現(xiàn)“亂討論，離題討論”的情況.

例如，關(guān)于求解切線方程的教學(xué)片段，教師可以給出典型例子，然后帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行小組合作，總結(jié)出一般規(guī)律，讓學(xué)生充分掌握切線方程的求解方法.

例1設(shè)拋物線的方程是x2=2py（p>0），如圖1，在拋物線外有任意一點M，經(jīng)M點作拋物線的一條切線，A為切點，若A點的坐標(biāo)為（x1，y1），怎樣用x1，y1來表示經(jīng)過A點的切線方程？

教師可將學(xué)生分成不同小組，讓每個小組根據(jù)以前學(xué)過的內(nèi)容，探討解題方法，探究怎樣才能簡便地得出切線方程.對此，各個小組均進(jìn)行了激烈的討論，然后說出了各自的解題過程，最后教師幫助學(xué)生進(jìn)行了總結(jié)，主要有以下兩種方法：

解法一顯然所求切線斜率存在，故設(shè)直線為y-y1=k（x-x1），代入拋物線方程，

化得x2-2pkx+2p（kx1-y1）=0，利用x21=2py1及判別式為零求得k=x1p ，

代回得切線方程：y-y1=x1p（x-x1），即x1x = p（y+y1）.

解法二設(shè)所求切線斜率為k.

由x2=2py得y=x22p=f（x），故f′（x）=xp ，

則k= f′（x1）=x1p，

∴過A（x1，y1）的切線方程是：y-y1=x1p（x-x1）.

即py-py1=x1x-x21=x1x-2py1，整理得x1x = p（y+y1）.

經(jīng)過討論，學(xué)生知曉了處理拋物線切線問題的兩種常用方法，得到了一個一般結(jié)論：當(dāng)拋物線為x2=2py（p>0）時，以其上一點p（x0，y0）為切點的切線方程是：x0x = p（y+y0）.在此基礎(chǔ)上，教師可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究當(dāng)拋物線為y2=2px（p>0）時是否有類似結(jié)論，分析推導(dǎo)過程有何不同之處，還可以順勢拓展切點弦所在直線方程，滲透方程思想，整個教學(xué)設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生積極參與，既鍛煉了學(xué)生的計算能力，又構(gòu)建了知識間的聯(lián)系框架，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（三）不斷加強數(shù)學(xué)課堂的實訓(xùn)

教學(xué)中，教師應(yīng)預(yù)留出較多時間，讓學(xué)生先行思考，嘗試構(gòu)建條件與問題之間的聯(lián)系，以逐漸形成解題思維.課堂訓(xùn)練環(huán)節(jié)與STEAM教育理念相符合，關(guān)注對學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，為學(xué)生構(gòu)建真實情境，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，能夠幫助學(xué)生深刻掌握數(shù)學(xué)解題技巧，提升解題能力.通過實訓(xùn)，教師能夠知道學(xué)生對哪些拋物線切線相關(guān)知識的理解存在不足，在接下來的教學(xué)中，教師就可以更有針對性地設(shè)計問題串，進(jìn)一步提升教學(xué)效果.同時，通過實訓(xùn)，學(xué)生可以更透徹地理解拋物線切線的相關(guān)概念、性質(zhì)、常用結(jié)論和思想方法，構(gòu)建起知識網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，使自身掌握的知識更加全面，解題速度更快，準(zhǔn)確率更高.

例2設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0），如圖2所示，M是直線y=-2p上任意一點，過M點作兩條拋物線切線，切點分別為A和B，求證：A，M，B三點的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列.

解析設(shè)A和B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），M（x0，-2p）.利用上述結(jié)論可得切線MA的方程：x1x = p（y+y1），切線MB的方程：x2x = p（y+y2），兩式聯(lián)立消去y，可得x1+x2=2x0，即A，B，M三點的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列.

變式改變M點的位置，是否影響結(jié)論？ 拋物線為y2=2px（p>0）時又怎樣？

拓展研究“阿基米德三角形”的相關(guān)概念和性質(zhì)，設(shè)計如下問題串.

（1）M點的縱坐標(biāo)與A，B兩點的縱坐標(biāo)有什么聯(lián)系？

（2）M在直線y=-2p上時，切點弦AB所在直線過定點嗎？反過來呢？

（3）切點弦AB所在直線過焦點F時，MA和MB垂直嗎？MF和AB呢？三角形MAB的面積有最小值嗎？

實踐課外收集高考真題資料，通過解題理解拋物線切線的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)“阿基米德三角形”的身影，撰寫解題反思，構(gòu)建解題模型.

四、結(jié)束語

綜上所述，教師應(yīng)用STEAM教育理念組織課堂教學(xué)，為學(xué)生提供探究內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動發(fā)現(xiàn)新問題，在教學(xué)中更注重知識形成過程的暴露、更注重解題思維過程的展示，強化課堂內(nèi)外的動手實踐，一定能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動性，增強學(xué)生的思維活躍性，在極大程度上優(yōu)化課堂教學(xué).同時，這樣的教學(xué)模式可以促使學(xué)生在課后復(fù)盤時，能夠由點及面，并進(jìn)行再加工，從而形成自主運用數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、結(jié)論等解決問題的意識，不斷提高創(chuàng)新能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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