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        也談二次無理數(shù)展成多重特定無窮連分?jǐn)?shù)

        2021-11-20 02:11:18孔慶海

        孔慶海

        【摘要】文章給出了把二次無理數(shù)展成其整數(shù)部分與一個(gè)特定二重?zé)o窮循環(huán)連分?jǐn)?shù)的和,以及展成其整數(shù)部分與一個(gè)特定三重?zé)o窮循環(huán)連分?jǐn)?shù)的和,給出部分常用展式,并給出了兩個(gè)有趣的事實(shí), 希望能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

        【關(guān)鍵詞】無理數(shù);二重?zé)o窮連分?jǐn)?shù);三重?zé)o窮連分?jǐn)?shù)

        定理1設(shè)a,b是正整數(shù),且b≤a,則二重?zé)o窮連分?jǐn)?shù)

        ba+ba+ba+… =a2+4b2-a2.

        證設(shè)這個(gè)二重?zé)o窮連分?jǐn)?shù)的值為k,

        顯然 0

        于是k=a2+4b2-a2,

        即ba+ba+ba+…=a2+4b2-a2,

        或a2+4b2=a2+ba+ba+ba+….

        于是只要取合適的正整數(shù)a,b(b≤a)的值,就可以把二次無理數(shù)展成一個(gè)正整數(shù)與特定二重?zé)o窮循環(huán)連分?jǐn)?shù)的和的形式.只要取a=2n,n∈N+,顯然可得到下面的推論.

        推論

        n2+b=n+b2n+b2n+b2n+…,(b≤2n).

        為方便,將上式記作

        n2+b=(n|b,2n),b≤2n.

        于是有如下展式:

        2=1+12+12+12+…,(n=1,b=1),

        記作2=(1|1,2);

        3=1+22+22+22+…,(n=1,b=2),

        記作 3=(1|2,2),

        類似地,

        5=(2|1,4), 6=(2|2,4),

        7=(2|3,4), 8=(2|4,4),

        10=(3|1,6), 11=(3|2,6),

        12=(3|3,6), 13=(3|4,6),

        14=(3|5,6), 17=(4|1,8),

        18=(4|2,8),19=(4|3,8),

        20=(4|4,8),21=(4|5,8),

        22=(4|6,8),23=(4|7,8),

        ……

        10001=(100|1,200),

        1234400=(1111|79,2222).

        定理2設(shè)a,b,c是正整數(shù),且b≤a,b≤c,a≠c,

        則三重?zé)o窮連分?jǐn)?shù)

        ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2.

        證設(shè)這個(gè)三重?zé)o窮連分?jǐn)?shù)的值為k,

        顯然 0

        于是k=a2c2+4abc2a-c2,

        即ba+bc+ba+bc+b…=a2c2+4abc2a-c2,

        或c24+bca=c2+ba+bc+ba+bc+b….

        特別地,取c=2n,n∈N+, 顯然可得到下面的推論.

        推論

        n2+2bna=n+ba+b2n+ba+b2n+b…,(b≤a,b≤2n,a≠2n).

        為方便,將上式記作

        n2+2bna=(nb,a,b,2n),a≠2n,b≤a,b≤2n.

        這樣,只要取合適的正整數(shù)a,b,n的值,就可以把某些二次無理數(shù)展成一個(gè)正整數(shù)與特定三重?zé)o窮循環(huán)連分?jǐn)?shù)的形式.有趣的是:(1)符合這種特定要求的展法不唯一;(2)有的無理數(shù)不能展成這種特定要求三重?zé)o窮循環(huán)連分?jǐn)?shù)的形式,例如7,14,21,23等.

        下面是一些無理數(shù)展成上述三重?zé)o窮連分?jǐn)?shù)的形式.

        2=1+24+22+24+22+…,(n=1,a=4,b=2),

        記作 2=(1|2,4,2,2);

        3=1+11+12+11+12+…,(n=1,a=b=1),

        記作 3=(1|1,1,1,2).

        類似地,

        5=(2|b,4b,b,4),(b=2,3,4),

        6=(2|b,2b,b,4),(b=1,3,4),

        8=(2|b,b,b,4),(b=1,2,3),

        10=(3|b,6b,b,6),(b=2,3,4,5,6),

        11=(3|b,3b,b,6),(b=1,3,4,5,6),

        12=(3|b,2b,b,6),(b=1,2,4,5,6),

        13=(3|2b,3b,2b,6),(b=1,3),

        15=(3|b,b,b,6),(b=1,2,3,4,5),

        17=(4|b,8b,b,8),(b=2,3,4,5,6,7,8),

        18=(4|b,4b,b,8),(b=1,3,4,5,6,7,8),

        19=(4|6,16,6,8),

        22=(4|3,4,3,8),

        24=(4|b,b,b,8),(b=1,2,3,4,5,6,7),

        ……

        10001=(100|b,200b,b,200),(b=2,3,...,200),

        1234400=(1111|79b,2222b,79b,2222),(b=2,3,…,28).

        【參考文獻(xiàn)】

        [1] 趙義超.也談連分?jǐn)?shù)[J].文教資料,2005(25):164-165.

        [2] 何雅.連分?jǐn)?shù)及其基本性質(zhì)[J].長(zhǎng)江工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2004, 21(1):50-52.

        [3] 李復(fù)中.初等數(shù)論選講[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,1984.

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