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        對一道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的探討

        2021-11-20 02:20:01王艷

        王艷

        【摘要】本文從一道2020年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題出發(fā),給出關(guān)于該試題的推廣,并舉例說明其應(yīng)用.

        【關(guān)鍵詞】 冪指函數(shù);極限;導(dǎo)數(shù);積分

        【基金項目】2020年安徽省質(zhì)量工程項目:高職數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)團隊(項目編號:2020kcszjxtd51);安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職數(shù)學(xué)課程建設(shè)項目.

        一、引言

        在2020年11月全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽中有一道如下試題:

        設(shè)f(x),g(x)在x=0的某一鄰域U內(nèi)有定義,對任意x∈U,f(x)=g(x),且limx→0f(x)=limx→0g(x)=a>0,則limx→0f(x)g(x)-g(x)g(x)f(x)-g(x)=.

        解由于limx→0f(x)=limx→0g(x)=a>0,所以由極限的保號性,存在x=0的一個去心鄰域U0,使得對x∈U0,有f(x)>0,g(x)>0.下面開始計算:先分子、分母同除以[g(x)]g(x),得

        limx→0[f(x)]g(x)-[g(x)]g(x)f(x)-g(x)=limx→0f(x)g(x)g(x)-1f(x)-g(x)·[g(x)]g(x)=aalimx→0f(x)g(x)g(x)-1f(x)-g(x)……(Ⅰ).

        這里f(x)g(x)g(x)是冪指函數(shù),由反函數(shù)的性質(zhì)f-1f(x)=x,有

        f(x)g(x)g(x)=elnf(x)g(x)g(x)=eg(x)lnf(x)g(x).

        由等價無窮小替換,當(dāng)x→0時,g(x)·lnf(x)g(x)→0,有eg(x)lnf(x)g(x)-1~g(x)lnf(x)g(x),

        (Ⅰ)式=aalimx→0g(x)lnf(x)g(x)f(x)-g(x)

        =aalimx→0g(x)ln1+f(x)g(x)-1f(x)-g(x)……(Ⅱ).

        再由等價無窮小替換,當(dāng)x→0時,f(x)g(x)-1→0,

        有l(wèi)n1+f(x)g(x)-1~f(x)g(x)-1,

        則(Ⅱ)式=aalimx→0g(x)f(x)g(x)-1f(x)-g(x)=aalimx→0f(x)-g(x)f(x)-g(x)=aa.

        這道題主要用到冪指函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì).冪指函數(shù)形如f(x)g(x),這個函數(shù)既像冪函數(shù)又像指數(shù)函數(shù),它的特點是底數(shù)和指數(shù)都是變量.我們初識冪指函數(shù)是在學(xué)習(xí)初等函數(shù)的時候,很多同學(xué)認為它不是初等函數(shù)或者錯誤地進行初等分解,其實冪指函數(shù)是初等函數(shù),它滿足初等函數(shù)的所有性質(zhì).在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,很多內(nèi)容都涉及冪指函數(shù),例如求極限和求導(dǎo),特別是求導(dǎo)的時候,很多同學(xué)會錯誤地把它當(dāng)成冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)來求導(dǎo).本文基于幾道競賽題和習(xí)題推廣冪指函數(shù)在導(dǎo)數(shù)和不定積分中的應(yīng)用,并給出一些對應(yīng)的解題方法.

        二、相關(guān)問題的進一步探討

        (一)冪指函數(shù)的極限

        這類題型一般有兩種解題方法:(1)取對數(shù)化成隱函數(shù);(2)利用冪指函數(shù)指數(shù)化.

        冪指函數(shù)指數(shù)化又分為兩種:f(x)和g(x)都是關(guān)于x的函數(shù),為了方便,簡記為g和f.

        ① 設(shè)lim f=a>0,lim g=b,則lim fg=lim eln fg=elim gln f=ab=(lim f)lim g.

        ② 1∞型未定式.設(shè)lim f=1,lim g=∞,利用等價無窮小替換,ln f~f-1,則lim fg=elim gln f=elim(f-1)g.

        例1 limx→0sin x2+cos 2x1x.(第八屆北京大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大專組第4題)

        解方法一:取對數(shù)化成隱函數(shù).

        設(shè)y=sin x2+cos 2x1x,

        則ln y=lnsin x2+cos 2x1x=1xlnsin x2+cos 2x.

        由洛必達法則,得

        limx→0lnsin x2+cos 2xx=limx→012cos x2-2sin 2xsin x2+cos 2x1=12,

        即limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

        方法二:冪指函數(shù)指數(shù)化.這里又可以分兩種解法:

        limx→0sin x2+cos 2x1x=elimx→0sin x2+cos 2x-1·1x

        =elimx→0sin x2-2sin2xx=e12.

        或limx→0sin x2+cos 2x1x=limx→01+sin x2-2sin 2x1x

        =limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x·sin x2-2sin 2xx,

        由于limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x=e,

        limx→0sin x2-2sin 2xx=limx→0sin x2x2·2-0=12,

        所以limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

        (二)冪指函數(shù)的求導(dǎo)或微分

        1.冪指函數(shù)的求導(dǎo)

        這類題型一般用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法或取對數(shù)求導(dǎo)法.下面對指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法和取對數(shù)求導(dǎo)法做簡要說明.

        設(shè)f(f>0)和g都可微,

        ① 指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法:利用恒等式fg=egln f,得

        (fg)′=(egln f)′=eg ln f(gln f)′=fgg′ln f+gf′f.

        ② 取對數(shù)求導(dǎo)法:等式y(tǒng)=fg(f>0)兩邊取對數(shù),ln y=ln fg=gln f,再求導(dǎo),1yy′=g′ln f+gf′f,得(fg)′=fgg′ln f+gf′f.

        例2若u=xyyx,求uy.(第六屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大專組第8題)

        解用取對數(shù)求導(dǎo)法,u=xyyx兩邊同時取對數(shù),得

        ln u=lnxy-lnyx=1xln y-1yln x.

        等式兩邊對y求導(dǎo),得1uuy=1x·1y+1y2·ln x,

        即uy=xy1-xyx1x+ln xy.

        本題直接用乘積的求導(dǎo)公式和冪函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式也可以得到結(jié)果.

        u=xyyx=x-1y·y1x,把x,y 當(dāng)作獨立的變量,則

        uy=x-1y·ln x·-1y′·y1x+x-1y·1x·y1x-1·y′

        =x-1y·1y2·y1x·ln x+x-1y·y1x-1·1x·1

        =x-1y·y1x-1·ln xy+x-1y·y1x-1·1x

        =xy1-xyx1x+ln xy.

        2.冪指函數(shù)的微分

        有時候遇到求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅僅用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法或取對數(shù)求導(dǎo)法并不容易得出正確的答案,這時候需要用到全微分的計算公式和隱函數(shù)的微分法.

        ① 若函數(shù)z=f(x,y)可微,則dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.由一階全微分形式的不變性,不管x,y是自變量還是中間變量,該等式都成立.

        ② 隱函數(shù)的微分法:若二元方程確定的一元隱函數(shù)F(x,y)=0,y=y(x),則dydx=-FxFy;

        若三元方程確定的二元隱函數(shù)F(x,y,z)=0,z=z(x,y),則zx=-FxFz,zy=-FyFz.

        例3設(shè)z=f(x,y)是由方程zx=yz確定的,求z對x的偏導(dǎo)數(shù).

        解方法一:兩邊同時取對數(shù),有xln z=zln y,

        兩邊同時求微分,d(xln z)=d(zln y),

        ln zdx+x1zdz=ln ydz+z1ydy,

        化簡,得xz-ln ydz=-ln zdx+zydy,

        x-zln yzdz=-ln zdx+zydy,

        即dz=-zln zx-zln ydx+z2yx-zln ydy,

        得到zx=-zln zx-zln y=zln zzln y-x.

        方法二:設(shè)Fx,y,z=zx-yz,

        則Fx=zxln z,F(xiàn)y=xzx-1-yzln y,

        zx=-FxFy=-zxln zxzx-1-yzln y=zxln zyzln y-xzx-1=zxln zzxln y-xzx-1,

        等式右端分子、分母同時除以zx,得zx=zln zzln y-x.

        (三)冪指函數(shù)的不定積分

        這類題型實質(zhì)上是冪指函數(shù)求導(dǎo)的逆過程,主要用到湊微分法,掌握了冪指函數(shù)求導(dǎo)方法,處理相關(guān)積分就容易多了.下面給出被積函數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的不定積分公式.

        設(shè)f(f>0)和g都可微,則∫f gg′ln f+gf′fdx=∫f g(gln f)′dx=∫(f g)′dx=f g+C,其中C為任意常數(shù).由于(f g)′=f g(gln f),有(f g)″=f ggln f″+gln f′2,所以

        f g{(gln f)″+[(gln f)′]2}=(f g)″dx2=f g+C1x+C2.

        有時候也會遇到被積函數(shù)是高階導(dǎo)數(shù)的不定積分,求解方法同上.下面給出例題加深理解.

        例4求不定積分:

        ∫xx(1+x+xln x)dx.

        解原式=∫xx+11+xx+ln xdx

        =∫xx+1(x+1)(ln x)′+ln x(x+1)′dx

        =∫xx+1[ln x(x+1)]′dx

        =∫(xx+1)′dx

        =xx+1+C.

        三、結(jié)論

        冪指函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù),它是冪底數(shù)和冪指數(shù)都是變量的函數(shù),正因為這個特點,在求其極限、導(dǎo)數(shù)和不定積分的時候才稍顯復(fù)雜.本文受2020年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽一道冪指函數(shù)試題的啟發(fā),對相關(guān)內(nèi)容進行了拓展和應(yīng)用.冪指函數(shù)主要貫穿在解題中的某一環(huán)節(jié),搞清楚它在各題型中需要的解題方法至關(guān)重要.本文結(jié)合幾道競賽題目給出了更直觀的結(jié)論,以方便大家理解和應(yīng)用,也可融入今后的高數(shù)教學(xué)中.

        【參考文獻】

        [1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上冊[M].第6版.北京:高等教育出版社,2007.

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:下冊[M].第3版.北京:高等教育出版社,2001.

        [3]雷冬霞,黃永忠,吳潔.一道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2018,34(1):118-122.

        [4]唐碩,時軍,陳曉彥.一道數(shù)學(xué)競賽題的探討與引申[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2017,33(4):60-65.

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