宋 昊，尹麗菊，咸日常，徐明博，潘金鳳

(山東理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，山東淄博 255000)

鋰離子電池具有循環(huán)壽命長、比能量比功率高、安全性好等優(yōu)點，在電動汽車和混合動力汽車上得到了廣泛應(yīng)用[1]。但與傳統(tǒng)的汽油車比，電動汽車的續(xù)航能力仍不能滿足需求，所以需要電池管理系統(tǒng)進行能量優(yōu)化，其中電池荷電狀態(tài)(SOC)估計是電池管理系統(tǒng)的核心功能，精確的SOC估計決定了電動汽車的續(xù)駛里程[2]。

進行SOC估計的前提是對鋰電池建模并獲取鋰電池的相關(guān)參數(shù)，常見的電池模型有等效電路模型、電化學(xué)反應(yīng)機理模型及多物理場模型等[3]。電化學(xué)反應(yīng)機理模型雖然精確但涉及的數(shù)學(xué)方程過多，計算太復(fù)雜，制約了其在電池管理系統(tǒng)中的應(yīng)用。等效電路模型簡單且實用價值高，常用在電池管理系統(tǒng)中。文獻[4]建立了鋰電池整數(shù)階二階RC 等效電路模型，并且用擴展卡爾曼濾波算法估計電池SOC，但實際上電容是分數(shù)階的，采用分數(shù)階更能模擬電池的極化效應(yīng)。文獻[5]建立了基于二階RC 電路的分數(shù)階鋰電池模型，采用混合動力脈沖實驗進行參數(shù)辨識，最后用分數(shù)階卡爾曼濾波法進行電池SOC估計。文獻[6]建立了分數(shù)階鋰電池模型，用擴展分數(shù)階卡爾曼濾波(EFKF)方法進行電池SOC估計。但這兩種方法估計出的模型精度不高，進而導(dǎo)致估計的荷電狀態(tài)精確度不高。

本文建立了基于分數(shù)階的二階RC 等效電路模型，兼顧了電化學(xué)模型的精確度和等效電路模型的計算量，并采用自適應(yīng)遺傳算法(AGA)對模型進行參數(shù)辨識。另一方面，考慮到卡爾曼濾波估計會隨時間推移造成誤差積累，所以采用分數(shù)階多新息卡爾曼濾波(FOMIEKF)進行SOC估計。通過與整數(shù)階的擴展卡爾曼濾波估計和分數(shù)階的擴展卡爾曼濾波對比，表明FOMIEKF 具有更高的精度，有很高的實用價值。

1 基于分數(shù)階的二階RC 等效電路模型建立

1.1 電池模型建立

由于動力電池從時域到頻域均具有分數(shù)階的本質(zhì)，分數(shù)階微積分在頻域中建立的系統(tǒng)模型更加精確，所以可利用分數(shù)階理論建立精確的電池模型[7]。本文考慮到模型既要模擬出電池電化學(xué)極化效應(yīng)和濃差極化效應(yīng)，還要計算簡便易于應(yīng)用在嵌入式系統(tǒng)中，在二階RC 等效電路(圖1)的基礎(chǔ)上建立了分數(shù)階鋰電池模型。其中，UOC表示理想電壓源，與SOC存在非線性關(guān)系，R0表示歐姆內(nèi)阻，UT表示電池的端電壓，R1和C1分別是電化學(xué)極化電阻和電容，R2和C2分別是濃差極化電阻和電容，U1、U2是兩個RC 模塊的電壓，I表示電流，放電電流方向為正，充電電流為負。

圖1 二階RC 等效電路模型

式中：ρ 和t是積分的上下限；TS表示運算步長，本文中TS取0.1 s；R表示階次，當(dāng)R為小數(shù)時表示分數(shù)階運算；i表示運算次數(shù)，i=0,1,2,…。

圖1 中兩個電容可表示為：

式中：m、n表示電容分數(shù)階階次，為小數(shù)。

根據(jù)戴維寧定理，可得出電流公式：

則分數(shù)階模型狀態(tài)空間方程為：

為了接下來對模型參數(shù)進行辨識和對荷電狀態(tài)進行估算，必須將式(4)所示的狀態(tài)空間方程離散化。根據(jù)Grünwald-Letnikov 定義，鋰電池分數(shù)階微分方程可描述為：

根據(jù)Grünwald-Letnikov 定義的基于二階RC 等效電路的分數(shù)階模型的狀態(tài)空間離散系統(tǒng)方程和測量方程為：式中：下標(biāo)k表示k時刻，用來描述當(dāng)前時刻的變量，下標(biāo)k+1表示k+1 時刻，用來描述下一時刻的變量；ωk表示系統(tǒng)噪聲，υk表示觀測噪聲，兩種噪聲通常都是高斯白噪聲；OCV[x(3),k]表示電池開路電壓。

3.1.2 以文化變革帶動內(nèi)部控制創(chuàng)新。真正優(yōu)秀的單位不是一成不變的，其內(nèi)部的文化與制度都是為適應(yīng)單位的發(fā)展不斷變革的，同時，文化的改變可以促進內(nèi)部控制的創(chuàng)新。以文化為基調(diào)進行內(nèi)部控制的創(chuàng)新，這樣得到的內(nèi)部控制是合理的，是符合單位人員心理需求的，是不與單位控制活動相矛盾的。

1.2 自適應(yīng)遺傳算法參數(shù)辨識

模型框架已搭建好，但是電池的分數(shù)階階次等參數(shù)尚未確定，因此還需要對電池進行參數(shù)辨識。本文采用的電池放電數(shù)據(jù)是由10 節(jié)INR18650-30Q 電池并聯(lián)后通過混合動力脈沖特性測試得到的。傳統(tǒng)最小二乘法(LS 算法)參數(shù)辨識為了獲取令人滿意的結(jié)果，需要進行復(fù)雜的矩陣乘法，具有巨大的計算量，占用微處理器大量內(nèi)存[8]；而且用于電池分數(shù)階模型參數(shù)辨識時不能直接擬合出階次，需要先擬合出開路電壓和SOC的關(guān)系表達式，然后通過經(jīng)驗試湊的方法得到階次[9]。因此，采用自適應(yīng)遺傳算法辨識參數(shù)，具體步驟有六步，如圖2 所示。

圖2 自適應(yīng)遺傳算法參數(shù)辨識

步驟一：確定初始種群個數(shù)、交叉率、變異率，將所求參數(shù)(R1、R2、C1、C2、m、n)定義到個體基因中，隨機生成初始種群基因并將其編譯為二進制碼。

步驟二：根據(jù)雜交概率隨機挑選出父代個體和母代個體，用基因片段(部分二進制編碼)交換的方法模擬種群雜交，交換后產(chǎn)生的新個體為子代。

步驟三：根據(jù)變異概率把部分新個體的部分基因編碼取反，來模擬種群繁衍過程中后代的變異，該步驟的目的是防止結(jié)果落入局部最優(yōu)解的范圍。

步驟四：將雜交變異后子代的二進制基因片段解碼，得到子代的數(shù)值，即模型參數(shù)辨識的結(jié)果。

步驟五：將新一代產(chǎn)生的參數(shù)結(jié)果代入模型中，根據(jù)實驗所得電流數(shù)據(jù)求出端電壓值，找出端電壓誤差的最大值，求出端電壓誤差平方和作為選擇后代的基準，找到群體里中電壓誤差最小值及其對應(yīng)位置，即最優(yōu)個體。

步驟六：判斷最優(yōu)個體是否符合設(shè)定值或者判斷繁衍次數(shù)是否超出設(shè)定代數(shù)。若符合設(shè)定條件，則結(jié)束繁衍，最優(yōu)個體的參數(shù)值即為參數(shù)辨識的最終結(jié)果；若不符合，將步驟四產(chǎn)生的新一代進行末位淘汰，即越遠離所設(shè)定條件的個體被淘汰掉的概率越高，剩下的優(yōu)質(zhì)個體生成新的種群，循環(huán)進行步驟二～步驟六的操作，直到出現(xiàn)滿足條件的個體或超出設(shè)定的繁衍代數(shù)。

在自適應(yīng)遺傳算法中，考慮到優(yōu)勝劣汰的生存法則，每一代種群中優(yōu)質(zhì)個體與末位個體的交叉概率和變異概率是不同的，優(yōu)質(zhì)個體應(yīng)該有更低的交叉、變異概率以確保盡可能地被保留下來，而末位個體應(yīng)該有更高的交叉、變異概率來產(chǎn)生新一代個體以確保能讓自己的基因保留下來。根據(jù)以上分析，交叉概率CrossOverRat(i)和變異概率MutationRat(i)可以表示為：

式中：J(i)反映了個體適應(yīng)度；Jmax表示在種群內(nèi)測量得到的輸出與模型預(yù)測的輸出之間差值平方和的最大值；Jave表示在種群內(nèi)測量得到的輸出與模型預(yù)測的輸出之間差值平方和的平均值；K1、K2分別表示初始交叉概率和初始變異概率。對于適應(yīng)度大的個體，其交叉概率和變異概率更接近于0。

2 分數(shù)階多新息卡爾曼濾波SOC 估計

多新息方法是對迭代算法過程中產(chǎn)生的誤差信息加以預(yù)測，使后驗校正更加準確的一種方法。只有一個新息用來預(yù)測誤差時，會導(dǎo)致后驗測量校正信息的丟失，所以采用多個新息與卡爾曼濾波法相結(jié)合的方法，有利于提高算法的精確度。雖然采用多新息方法會使計算量增加，但考慮到估計精確度的提高更為重要，所以略微提高計算成本是可以接受的。多新息矩陣Ep,k如式(8)所示：

式中：Vk是端電壓測量值；p為新息長度。增益矩陣也應(yīng)該進行相應(yīng)的擴展。

根據(jù)以上分析并結(jié)合式(4)～(6)，分數(shù)階多新息擴展卡爾曼濾波法估計SOC公式如下：

在當(dāng)前狀態(tài)矩陣后驗估計中引入之前舊的新息作為校正項時，由于輸出電壓和電流中存在測量誤差，舊數(shù)據(jù)造成的干擾可能會累加。除此之外，新測量值的影響應(yīng)大于舊測量值的影響。若舊測量值和新測量值的不利影響均相等，也會導(dǎo)致干擾累加。這種情況下，將不同的權(quán)重因子λi引入不同的新息中，可以降低舊數(shù)據(jù)的校正效果。所以，k時刻狀態(tài)矩陣的后驗更新應(yīng)改為：

通過在不同時間的增益中加入不同的權(quán)重因子，可以權(quán)衡不同時刻的增益，實現(xiàn)對累積干擾的校正和抑制。不同權(quán)重如下所示：

式中：λ1取值為1 是為了保證當(dāng)前增益的權(quán)重最大；a為可調(diào)系數(shù)。

3 實驗與仿真驗證

在25 ℃室溫環(huán)境中對18650-30Q 鋰電池組進行混合動力脈沖測試，該電池單節(jié)的標(biāo)稱容量為3.0 Ah，標(biāo)稱電壓為3.6 V，采取的放電方法是每次放電180 s，然后靜置3 h，放電電流為30 A。根據(jù)最小二乘法辨識出的模型參數(shù)為：R0=0.003 7 Ω，R1=0.001 9 Ω，R2=0.003 5 Ω，C1=23 342 F，C2=501 348 F。根據(jù)自適應(yīng)遺傳算法辨識出的模型參數(shù)為：R0=0.003 7 Ω，R1=0.002 6 Ω，R2=0.003 2 Ω，C1=12 632 F，C2=610 476 F，m=0.989 5，n=0.983 2。將實驗獲得的電流數(shù)據(jù)作為模型輸入，得到模型輸出的端電壓，將最小二乘法整數(shù)階模型輸出的端電壓、AGA 分數(shù)階模型輸出的端電壓與實驗值進行對比，如圖3 所示。與最小二乘法整數(shù)階模型端電壓相比，AGA 分數(shù)階模型端電壓與實驗值更為接近。

圖3 模型端電壓對比

為了觀察更明顯，將兩種模型的輸出電壓誤差進行了對比，如圖4 所示。最小二乘法整數(shù)階模型平均誤差為0.005 1 V，最大誤差為0.055 1 V，最大誤差百分比超過1%；而AGA分數(shù)階模型平均誤差為0.004 6 V，最大誤差為0.033 5 V，最大誤差百分比低于1%。AGA 分數(shù)階模型的平均誤差比最小二乘法整數(shù)階減少了0.000 5 V，最大誤差減少了0.021 6 V。由此得出，AGA 分數(shù)階模型比最小二乘法整數(shù)階模型更能反映電池的真實情況。

圖4 模型端電壓誤差對比

本文的最終目的是估計電池SOC，在驗證模型參數(shù)的準確性后，還需驗證AGA 模型參數(shù)下SOC估計方法的精確度。首先對電池組以0.5C恒流充電至上限電壓4.2 V，然后進行恒壓充電至充電倍率減小到0.05C，視為電池電量充滿，電池SOC=1。仍以18650-30Q 鋰電池組為實驗對象進行混合動力脈沖測試獲得放電數(shù)據(jù)，在相同的初始條件下通過Matlab 分別使用卡爾曼濾波(EKF)、分數(shù)階擴展卡爾曼濾波(FOEKF)和FOMIEKF 對該放電工況下的鋰電池組進行SOC估計，然后與SOC參考值進行對比，結(jié)果如圖5 所示。該模型參數(shù)下,三種濾波算法均可以做到有效跟蹤SOC參考值，但FOMIEKF算法跟蹤效果最佳。

圖5 三種算法估計值與SOC參考值的對比

圖6 為該模型參數(shù)下三種算法SOC估計的誤差，EKF 算法估計SOC的平均誤差和最大誤差分別為1.58%、2.86%，F(xiàn)OEKF 算法估計SOC的平均誤差和最大誤差分別為0.95%、2.01%，F(xiàn)OMIEKF 算法估計SOC的平均誤差和最大誤差分別為0.79%、1.91%。因此，本文建立的FOMIEKF 算法更能準確地估計鋰電池SOC。

圖6 三種算法SOC估計的誤差

4 結(jié)語

本文根據(jù)鋰電池的工作特性，在二階RC 等效模型電路的基礎(chǔ)上建立了AGA 分數(shù)階鋰電池模型，并根據(jù)此模型提出FOMIEKF 估計電池SOC的方法，通過混合動力脈沖測試和Matlab 仿真等，得出以下結(jié)論：(1)AGA 分數(shù)階模型比最小二乘法整數(shù)階模型更能反映電池的工作特性，其平均誤差減小了0.000 5 V，最大誤差減小了0.021 6 V；(2)在AGA 分數(shù)階模型的基礎(chǔ)上，通過FOMIEKF 算法對電池SOC進行估計，并與EKF、FOEKF 算法進行比較，得出FOMIEKF 算法估計SOC精確度更高，其平均誤差不超過1%，最大誤差不超過2%。因此，本文提出的鋰電池模型和SOC估計方法是可行的。