孫永紅

摘 要：微元法具有“化曲為直”“化變?yōu)椴蛔儭钡纳衿孀饔?，高中統(tǒng)編教材引入瞬時(shí)速度的概念，洛倫茲力公式的導(dǎo)出，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式的推導(dǎo)，向心加速度公式的導(dǎo)出等都用到了微元法的思想，巧用微元法，提升了學(xué)生物理思維的層次，順應(yīng)了新課程理念的要求和高校選拔人才的需要。

關(guān)鍵詞：思維障礙;微元法;質(zhì)量微元法;位移微元法;時(shí)間微元法;電流微元法;電量微元法

“微元法”是高中物理教學(xué)大綱要求學(xué)生掌握的內(nèi)容，也是學(xué)生升入大學(xué)普遍應(yīng)用的基本思維方法。“微元法”解題思路分為三大步：①恰當(dāng)選取微元量用以量化微元過程;②把微元過程看成恒定過程，求物理量的微元量表達(dá)式;③在微元量表達(dá)式的定義域內(nèi)求和，得到待求量。本文通過質(zhì)量微元法、位移微元法、時(shí)間微元法、電流微元法、電量微元法等多角度示范微元法解題的思路，期待智慧的你，巧用微元思想，突破思維障礙。

情境一：質(zhì)量微元法：流體具有連續(xù)性、流動(dòng)性等特點(diǎn)，選取質(zhì)量微元法是突破流體思維障礙的有效途徑，相關(guān)水流、氣流、離子流等會(huì)用到質(zhì)量微元法。

[例1]如圖所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的軟鏈條通過一小段細(xì)線懸掛在天花板上，鏈條自由下垂，下端與一數(shù)字壓力計(jì)的盤面恰好接觸，某時(shí)刻燒斷細(xì)線，鏈條自由下落，不計(jì)空氣阻力，認(rèn)為鏈條落到盤面不反彈，已知重力加速度大小為g，求鏈條下落了長(zhǎng)度x時(shí)，求數(shù)字壓力計(jì)的讀數(shù)為多大？

解析：設(shè)鏈條的線密度為ρ（M=ρL），則落到盤面的鏈條質(zhì)量為：m=ρx①

因?yàn)榭罩羞\(yùn)動(dòng)的部分鏈條只受重力，下落了x距離，鏈速為v，則v2=2gx②

在Δt（Δt→0）時(shí)間內(nèi)，有質(zhì)量微元Δm落到盤面上，Δm=ρΔx③

對(duì)Δm，取向上為正方向，根據(jù)動(dòng)量定理，有FΔt=0-（-Δmv）④

聯(lián)立②③④得：⑤

盤面受到的壓力為：N=F+mg=3ρgx⑥

所以，壓力計(jì)的讀數(shù)為落在其上鏈條重力的3倍。

情境二：時(shí)間微元法，對(duì)變速運(yùn)動(dòng)，可以運(yùn)用微元法把過程分割為無限多個(gè)微小過程，認(rèn)為極短時(shí)間Δt內(nèi)物體做勻速運(yùn)動(dòng)，表示出相應(yīng)微小量，然后求和，得出整個(gè)過程的物理量表達(dá)式。

[例2]如圖甲所示，“水上飛人表演”是近幾年來觀賞性較高的水上表演項(xiàng)目之一，其原理是表演者利用腳上噴水裝置產(chǎn)生的反沖動(dòng)力，從水面之上騰空而起，同時(shí)能在空中完成各種特技動(dòng)作;為研究問題方便，將表演者及裝備與兩個(gè)噴嘴連接的豎直軟水管看成分離的兩部分，表演者操控飛行器將豎直送上來的水反轉(zhuǎn)180°后向下噴出，使表演者懸停在空中，如圖乙所示，已知表演者及身上裝備的總質(zhì)量為M=90kg，兩個(gè)噴嘴的直徑均為d=10cm，水的密度為ρ=1.0×103kg/m3，重力加速度g=10m/s2，求表演者懸停狀態(tài)時(shí)噴嘴處噴水的速度大約為多少？

解析：設(shè)噴嘴出水速度為v，則極短的時(shí)間Δt內(nèi)，一個(gè)噴嘴出水的質(zhì)量為Δm=pSv△t①

取Δm的水為研究對(duì)象，規(guī)定向下為正方向，一只腳對(duì)水的作用力為F。

根據(jù)動(dòng)量定理得：FΔt=△mv-（-△mv）②

一個(gè)噴嘴出水對(duì)較F′，由牛頓第三定律可知：F′=F③

對(duì)人及裝備，根據(jù)平衡條件得：2F′=Mg④

兩個(gè)噴嘴的橫截面積均為S=14πd2⑤

聯(lián)立①②③④⑤解得m/s⑥

情境三：位移微元法：變力做功問題中，將物體的運(yùn)動(dòng)位移分割成許多小段，因每小段很小，每一小段作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做的功轉(zhuǎn)化為在多個(gè)無窮小的位移上的恒力所做的功的代數(shù)和。

[例3]如甲圖所示，質(zhì)量為m的小玩具車（視為質(zhì)點(diǎn)）沿半徑為R的固定粗糙豎直圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小為v，已知小玩具車與豎直圓軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，試求小玩具車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，摩擦力做的功。

解析：如圖乙所示，玩具車沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，摩擦力大小和方向均在變化，無法直接用功的定義式求解;若將小車運(yùn)動(dòng)的半個(gè)圓周均勻分成n個(gè)小等分微位移Δs，在每個(gè)的圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為軌道對(duì)小車的支持力Ni不變、因而小車所受的摩擦力f不變，求出n個(gè)微元微位移Δs上摩擦力做功的代數(shù)和，即為整個(gè)過程中摩擦力做的功。

當(dāng)玩具車運(yùn)動(dòng)到圓弧A處時(shí)，有NiA-mgsinθ=mv2R①

fiA=μN(yùn)iA=（mv2R+mgsinθ）②

WiA=-μΔs③

聯(lián)立①②③得：WiA=-μ（m+mgsinθ）④

當(dāng)玩具車運(yùn)動(dòng)到A的對(duì)稱B時(shí)，同理得：WiB=-μ（m-mgsinθ）⑤

聯(lián)立④⑤得：Wi=WiA+WiB=-2μm·⑥

則摩擦力做的總功為W=W1+W2+…+W=Wi=-（2μm·）=πμmv2⑦

答：小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，摩擦力做的功為-πμmv2

情境四：電流微元法：導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，導(dǎo)體做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，電流受到的安培力是變化的，不能運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決。如果將導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)中的電流分解成許多微小的“電流元i”，在非常短的時(shí)間Δt內(nèi)認(rèn)為電流恒定，求出此元過程安培力的沖量，每個(gè)“元過程”安培力沖量的累加效果，導(dǎo)致了導(dǎo)體棒動(dòng)量的變化。

[例4]（2020海南）如圖，足夠長(zhǎng)的間距d=1m的平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間存在一個(gè)寬度L=1m的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T，方向如圖所示.一根質(zhì)量ma=0.1kg，阻值R=0.5Ω的金屬棒a以初速度v0=4m/s從左端開始沿導(dǎo)軌滑動(dòng)，穿過磁場(chǎng)區(qū)域后，與另一根質(zhì)量mb=0.2kg，阻值R=0.5Ω的原來靜置在導(dǎo)軌上的金屬棒b發(fā)生彈性碰撞，兩金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，求：

（1）金屬棒a第一次穿過磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，金屬棒b上產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

（2）金屬棒a最終停在距磁場(chǎng)左邊界多遠(yuǎn)處？

解：

（1）設(shè)某一時(shí)刻t金屬棒a中的電流為i，在Δt時(shí)間內(nèi)電流恒定，規(guī)定向右為正方向，對(duì)金屬棒a，根據(jù)動(dòng)量定理得：

-ΣBiLΔt=mava-mv0①ΣiΔt=q②③

聯(lián)立①②③得-=mava-mv0④

代入數(shù)據(jù)得a金屬棒第一次離開磁場(chǎng)時(shí)速度va=1.5m/s⑤

金屬棒a第一次穿過磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，電路中產(chǎn)生的總熱量等于金屬棒a機(jī)械能的減少量，即

Qb=0.34375J⑥

（2）規(guī)定向右為正方向，兩金屬棒碰撞過程根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得

mava=mav'a+mbvb⑦⑧

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得金屬棒a反彈的速度為va=0.5m/s⑨

設(shè)金屬棒a最終停在距磁場(chǎng)左邊界x處，同理⑩Σv′Δt=L-x

代入數(shù)據(jù)得x=0.8m

情境五：電量微元法：由于電容器串聯(lián)在電路中，只有電容器充、放電過程才會(huì)有電流，感應(yīng)電流的大小不滿足歐姆定律，歐姆定律不適用。從電流的定義出發(fā)，選取Δt時(shí)間內(nèi)電容器上電量的增加量Δq（電量微元）為研究對(duì)象，則感應(yīng)電流，此法告訴學(xué)生求電流的另一種思路。

[例5]如圖所示，固定在水平地面上的長(zhǎng)直平行光滑裸露金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面內(nèi)分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左端接一耐高壓的平行板電容器，電容為C;現(xiàn)把一質(zhì)量m的金屬棒MN放在導(dǎo)軌上，在水平力F作用下以加速度a從靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滑動(dòng)過程中金屬棒保持與導(dǎo)軌垂直并接觸良好，不計(jì)所有摩擦阻力和電阻，求：

（1）所加水平外力F與時(shí)間t的關(guān)系;

（2）在時(shí)間t內(nèi)有多少能量轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能。

解析：

（1）設(shè)在時(shí)間間隔Δt內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為Δq，則①

對(duì)于電容器，Δq=CΔU②ΔU=ΔE=BLΔv③

對(duì)于cd，由于做勻加速運(yùn)動(dòng)，則有：a ④

聯(lián)立①②③④得：I=CBLa⑤

對(duì)于cd，由F安=BIL⑥由牛頓第二定律可知：F-F安=ma⑦

聯(lián)立⑤⑥⑦得F=（m+B2L2C）a⑧可知外力F是一個(gè)恒定的外力，不隨時(shí)間變化。

（2）cd克服安培力做多少功，就有多少能量轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能，則有：W安=F安x⑨，x=at2⑩

解得：W安=所以在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能的能量為：E電=。

結(jié)束語

“微元法”可以將變量轉(zhuǎn)化為恒量，把非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，充分體現(xiàn)了“化曲為直”“化變?yōu)楹恪钡乃枷?，也符合從微觀到整體的辯證思想，巧用微元思想，可以突破解題中物理量“變化”的思維障礙，使一些較為復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的基本物理規(guī)律方便地加以解決，明顯提升學(xué)生物理思維水平的層次。

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