摘 要：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點，采取問題導(dǎo)學(xué)法“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應(yīng)用探究”以及“總結(jié)歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學(xué)，對于最終的教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)有著積極的意義。下文主要依托課程內(nèi)容進(jìn)行課例分析。

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì);第一課時;課例

在核心素養(yǎng)的教學(xué)背景下，積極培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成為教學(xué)的一大關(guān)鍵任務(wù)。但傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)模式顯然無助于學(xué)生的綜合素養(yǎng)養(yǎng)成。本文以指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的第一課時內(nèi)容為例，黃河清“問題導(dǎo)學(xué)法”探究“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應(yīng)用探究”以及“總結(jié)歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學(xué)的策略分析。希望本文的分析能夠給高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動帶來一定的實踐參考價值。

一、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的基本概況

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要知識點，甚至從宏觀角度來看，這一課程的教學(xué)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)知識體系之中有著承前啟后的地位。但是對于廣大高中生而言，這一課程也是學(xué)習(xí)的一大難點所在。主要是因為這一課時之中所涉及的概念較多，往往難以為學(xué)生所把握，甚至還會造成學(xué)生知識概念混淆的情況。另外，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時這一課程的時候，學(xué)生雖然具備了一定的知識積累情況和理解能力，但在面對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時課例的知識內(nèi)容的時候，還會感到有所陌生，吸收起來也存在客觀的困難。

另外，在核心素養(yǎng)的教學(xué)背景下，教師在展開指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的課程教學(xué)過程中，不僅需要充分地把握相關(guān)知識點的內(nèi)涵，同時還需要盡可能地提升自己的教學(xué)效率，以及培養(yǎng)學(xué)生積極健康的態(tài)度，由此充分地提升學(xué)生的綜合素質(zhì)以及多元能力。

二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的教學(xué)設(shè)計

針對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的基本情況，要想實現(xiàn)更為理想化的教學(xué)目標(biāo)，就需要采取“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應(yīng)用探究”以及“總結(jié)歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學(xué)。下文主要從上述五個環(huán)節(jié)出發(fā)，進(jìn)行課程教學(xué)設(shè)計分析：

（一）新課引入環(huán)節(jié)的設(shè)計

對于高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，要想充分地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，離不開合理的課程引入環(huán)節(jié)的充分設(shè)計。通過對新課引入環(huán)節(jié)的設(shè)計，能夠在很大程度上架設(shè)學(xué)生從已知到未知的橋梁。針對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的知識內(nèi)容情況，在新課引入環(huán)節(jié)教師可以借助于故事引入法。

比如：在古印度有一個古老的故事，講述的印度宰相和國王下象棋并且打賭，如果宰相贏了，那么皇帝需要在象棋的第一個格子上放上1粒米，在第二個格子上放上2粒米，第三個格子上需要放上4粒米，以此類推，后面的一個格子的米粒數(shù)量總是前面一個格子米粒的兩倍。在最初，印度皇帝以為僅僅不過是一個小數(shù)目，但是經(jīng)過仔細(xì)核算才發(fā)現(xiàn)，最后這些大米粒支付下來居然是一個天文數(shù)字。在指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的教學(xué)過程中引入這一故事，能夠在很大程度上豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)趣味性，由此也能夠幫助學(xué)生實現(xiàn)學(xué)習(xí)的積極主動性。

除此之外，教師在新課引入環(huán)節(jié)，也可以引入《莊子》中的一個經(jīng)典寓言，寓言中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！狈g過來就是，一尺長的木棰，每天截取一半，從數(shù)學(xué)上來看，這個木棰是永遠(yuǎn)都不會消失的。莊子的這一寓言論斷也和指數(shù)的相關(guān)知識有著密切的關(guān)系。之所以在指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的新課引入環(huán)節(jié)引入這一知識內(nèi)容，不僅可以實現(xiàn)對新課程知識內(nèi)容的有效過渡，同時也能夠在一定程度上強(qiáng)化學(xué)生對于傳統(tǒng)文化的認(rèn)識，由此可以實現(xiàn)對學(xué)生的愛國情懷的熏陶。

（二）概念形成環(huán)節(jié)的設(shè)計

在完成了新課引入環(huán)節(jié)之后，教師應(yīng)該做到趁熱打鐵，借助于合理的情境設(shè)計，幫助學(xué)生形成指數(shù)函數(shù)的相關(guān)概念。在這一環(huán)節(jié)的設(shè)計過程中，教師應(yīng)該靈活設(shè)計具體的情境，讓學(xué)生在具體的情境之中實現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)概念的把握：

情境1：某種細(xì)胞在分裂時，每次能夠從一個細(xì)胞分裂為兩個，第一次會由一個細(xì)胞分裂為兩個，第二次會由兩個細(xì)胞分裂為四個，以此類推。設(shè)細(xì)胞分裂x次得到y(tǒng)個細(xì)胞，試求y和x之間的關(guān)系式。

分裂次數(shù)x 1 2 3 4 …

細(xì)胞個數(shù)y

在這一情景教學(xué)中，學(xué)生可以得出關(guān)系式：y=2x，（X∈N※）

情境2：某一物質(zhì)的質(zhì)量為1，且該物質(zhì)在發(fā)展過程還存在著不斷地衰減情況，經(jīng)過一年之后，該物質(zhì)會衰減到原有質(zhì)量的一半，如果該物質(zhì)的剩余量為y，時間單位年為x，那么，試求y和x之間的關(guān)系式。

時間x 1 2 3 4 …

剩余量y

學(xué)生根據(jù)這一客觀背景，可以得出關(guān)系式，表述為：y=（1/2）x，（X∈N※）

教師在引導(dǎo)學(xué)生完成了對相關(guān)關(guān)系式的表述之后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考，上述這幾個關(guān)系式能夠構(gòu)成函數(shù)嗎？它們?nèi)绻皇呛瘮?shù)，那么應(yīng)該如何給它們命名呢？你們可以對這類關(guān)系式作出一般性的定義嗎？

定義：一般地，函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.

教師借助于這類引導(dǎo)，能夠在很大程度上幫助學(xué)生實現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)的深入了解，從而加速學(xué)生的知識吸收。

繼續(xù)探究底數(shù)a的范圍為什么規(guī)定為“a>0，且a≠1”？

①當(dāng)a=1時，y=1x=1，沒必要研究。

②當(dāng)a<0時，對于x的一些數(shù)值，可使ax無意義，如（-2）x，對于…，這樣的函數(shù)值不存在。

③當(dāng)a=0時，x>0，ax=0;x≤0，ax無意義，如00。

因此規(guī)定a>0，且a≠1。

（三）概念深化環(huán)節(jié)的設(shè)計

在通過合理的情境設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)概念掌握之后，教師還應(yīng)該繼續(xù)幫助學(xué)生進(jìn)一步深入思考指數(shù)函數(shù)的概念以及其性質(zhì)，教師需要在課堂上列出如下幾個函數(shù)關(guān)系式，并且對提問學(xué)生哪些是指數(shù)函數(shù)，哪些不是指數(shù)函數(shù)，并且引導(dǎo)學(xué)生思考為什么有些函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)。教師在課堂上列出的具體函數(shù)式包括以下幾個方面：

例1： （1）y=3x （2）y=-6x

（3）y=（-6）x （4）y=6x2

教師通過引導(dǎo)學(xué)生思考上述的函數(shù)式，并且反思這些函數(shù)式的特點，由此能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步地認(rèn)識到指數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵以及性質(zhì)特點。這對于學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力發(fā)展有著較為積極的價值。

接下來研究指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，通過取一些特殊的函數(shù)來歸納特征。首先分學(xué)習(xí)小組讓同學(xué)們動手，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)（1）y=2x，（2）y=3x，的圖像特征。做出后進(jìn)行小組討論，指數(shù)函數(shù)圖像特征。教師利用幾何畫板來看a的范圍不同圖像是如何變化的，通過觀察，師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

a>1 0

圖像

性

質(zhì) 定義域：R

值域：（0，+∞）

圖像都過點（0，1）

在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù)

總結(jié)如下規(guī)律：在y軸右側(cè)第一象限，圖像從下至上底數(shù)由小變大;在y軸左側(cè)第二象限，圖像從上至下底數(shù)由小變大。

（四）應(yīng)用探究環(huán)節(jié)的設(shè)計

對于高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師不僅需要幫助學(xué)生掌握一系列的客觀知識點，同時也需要提升學(xué)生具備學(xué)以致用的能力，也就是能夠?qū)⒖陀^知識和現(xiàn)實生活有機(jī)地結(jié)合在一起，由此幫助學(xué)生實現(xiàn)更為迅速地知識進(jìn)步效果。而要想實現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，教師在教學(xué)活動中應(yīng)該采取如下幾個方面的舉措：

第一，教師需要讓學(xué)生基于自己對于指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的理解和把握，引導(dǎo)學(xué)生借助于計算機(jī)軟件建立完善的數(shù)據(jù)模型。在當(dāng)前的教學(xué)背景下，計算機(jī)技術(shù)在高中數(shù)學(xué)階段中的教學(xué)價值已經(jīng)得到了較為充分的重視，因此，在未來的教學(xué)過程中，教師可以讓學(xué)生利用相關(guān)的計算機(jī)軟件，建立指數(shù)函數(shù)的相關(guān)模型，由此可以幫助學(xué)生實現(xiàn)更為迅速的應(yīng)用能力的進(jìn)步。

第二，教師在教學(xué)過程中還應(yīng)該讓學(xué)生利用自己所學(xué)習(xí)到的知識解決現(xiàn)實生活中的某一個問題。在現(xiàn)實生活中處處存在著指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識，同時很多現(xiàn)實問題也適合運(yùn)用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行解決。教師引導(dǎo)學(xué)生利用指數(shù)函數(shù)解決相關(guān)問題，對于學(xué)生的知識運(yùn)用能力提升來說也具備較為積極的價值。借此可以幫助學(xué)生加深對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的理解。

例2：比較下列各組數(shù)的大小。

（1）1.72.5，1.73 （2） （3）1.70.3，0.93.1

通過以上例子，教師引導(dǎo)學(xué)生去歸納：

底數(shù)相同時：可以用函數(shù)的單調(diào)性比較;

指數(shù)相同時：可以轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同比較，也可以借助圖像進(jìn)行比較。

指數(shù)、底數(shù)都不同時：可以找中間量來進(jìn)行比較。中間量的找法可以是“1”，也可以是分?jǐn)?shù)，利用二分法選取。

（五）總結(jié)歸納環(huán)節(jié)的設(shè)計

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要想充分夯實學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，還應(yīng)該采取合理的總結(jié)歸納環(huán)節(jié)，由此幫助學(xué)生實現(xiàn)對知識的鞏固。在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師也應(yīng)該避免對知識的僵化灌輸，而是應(yīng)該采取具體的案例，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行對知識的鞏固。在具體的教學(xué)過程中，教師可以列出一系列的指數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生比較相關(guān)的數(shù)值大?。?/p>

第一，1.82.5和1.83.2哪個數(shù)值更大;

第二，0.6a>0.6b，那么，a和b哪一個數(shù)值更大;

第三，a0.75>1，那么，a和1哪個數(shù)值更大。

通過這一系列的習(xí)題練習(xí)，能夠在很大程度上強(qiáng)化學(xué)生對于指數(shù)函數(shù)的理解，這對于學(xué)生的指數(shù)函數(shù)知識的鞏固有著不可忽視的價值。在完成了上述的習(xí)題之后，教師還應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)一步地反思總結(jié)相關(guān)知識點，由此也可以實現(xiàn)學(xué)生的知識升華。

最后思考：計算1.01365與0.99365的大小，你能總結(jié)出什么生活哲理？

用一個公式來計算一下，1的365方等于1，0.99的365方等于多少？1.01的365方等于多少？1.02的365方等于多少？假設(shè)1代表你每天不進(jìn)不退，365天下來還是原樣1，0.99代表每天退步一點點，那365天等于多少？結(jié)果是約等于0.03，每天進(jìn)步一點點1.01了，365天結(jié)果是37.78，那如果比1.01的再努力一點點1.02的人呢？365天下來結(jié)果是1377。很多成功不是一兩天努力就可以的，都是每天不斷地進(jìn)步，哪怕每天一點小小的進(jìn)步，堅持不懈，最后會產(chǎn)生強(qiáng)大的變化。

三、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的教學(xué)反思

總體上來看，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第一課時的教學(xué)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課程，在教學(xué)過程中依托于“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應(yīng)用探究”以及“總結(jié)歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學(xué)活動，對于最終的教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)有著積極的價值。當(dāng)然，在具體的教學(xué)實踐中教師應(yīng)該充分打破思維限制，并且采取更為靈活的教學(xué)手段，如此才能夠?qū)崿F(xiàn)最終的教學(xué)目標(biāo)。

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作者簡介：孫威，男，廣西南寧市，第三中學(xué)高中，數(shù)學(xué)教師。