羅曉祎 張鳳閣

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽 110870)

1 引言

隨著永磁電機(jī)的研究不斷深入，永磁電機(jī)的性能也在逐步提高，特別是電機(jī)的轉(zhuǎn)矩特性，它將直接影響電機(jī)的轉(zhuǎn)矩輸出能力與平穩(wěn)運(yùn)行能力。

傳統(tǒng)計(jì)算分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩的方法是利用d-q參考系中的磁鏈計(jì)算分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩。這種計(jì)算方法未考慮磁鏈諧波和d-q軸之間的交叉互感，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確[1]。

文獻(xiàn)[2-4]中提出了一種內(nèi)置式永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，該方法用線性磁鏈模型解釋電機(jī)在不飽和狀態(tài)下的交叉磁化，用非線性磁鏈模型解釋電機(jī)在飽和狀態(tài)下的交叉磁化，并用試驗(yàn)測量了電機(jī)的磁鏈和電感。文獻(xiàn)[5]分析了在不同的負(fù)載下，永磁電機(jī)的氣隙磁密、反電勢、電感和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的變化規(guī)律，然后對(duì)6 種極槽配合電機(jī)的轉(zhuǎn)矩諧波次數(shù)進(jìn)行分析、總結(jié)，得到分?jǐn)?shù)槽表貼式永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[6]中利用電機(jī)的磁鏈來計(jì)算永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，發(fā)現(xiàn)當(dāng)鐵心飽和度增加時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)也會(huì)增加。然后對(duì)比了不同極槽配合下永磁電機(jī)的平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，在d-q軸下施加恒定的電流，對(duì)比24 槽4 極和24 槽20極永磁同步電機(jī)平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。文獻(xiàn)[7]采用繞組函數(shù)研究定子磁動(dòng)勢的諧波分布，通過主波磁動(dòng)勢的時(shí)空分布揭示了磁動(dòng)勢和轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系，并分析了五相容錯(cuò)永磁同步電機(jī)存在開路故障時(shí)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)變化的原因。文獻(xiàn)[8]利用有限元分析軟件對(duì)電機(jī)進(jìn)行三維電磁場分析，運(yùn)用場的方法計(jì)算出齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩，分析外永磁轉(zhuǎn)子爪極電機(jī)極數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)矩密度和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。文獻(xiàn)[9]提出一種基于參數(shù)化dq0 坐標(biāo)變換的永磁同步電機(jī)建模方法計(jì)算出電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，結(jié)果可用于矢量控制等。文獻(xiàn)[10]在電機(jī)磁路未飽和的狀態(tài)下簡化了電機(jī)在d-q軸下的數(shù)學(xué)模型，忽略電機(jī)的磁動(dòng)勢諧波，計(jì)算出電機(jī)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行下的轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[11-12]考慮電機(jī)的飽和程度和在d-q軸下的交叉磁化，開發(fā)出有限元分析的程序，減少了有限元仿真時(shí)間。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于三角函數(shù)的新型開關(guān)磁阻電機(jī)磁鏈解析模型，由此磁鏈模型推導(dǎo)出的轉(zhuǎn)矩公式是三角函數(shù)與多項(xiàng)式積分的乘積，多項(xiàng)式是可積分的，且計(jì)算過程簡潔。文獻(xiàn)[14]利用繞組函數(shù)對(duì)四種槽極配合表貼式分?jǐn)?shù)槽集中繞組的永磁電機(jī)進(jìn)行研究。分析了電機(jī)勵(lì)磁電感、諧波電感、槽漏感和端部電感的大小及相互關(guān)系。但文章沒有對(duì)傳統(tǒng)的電感計(jì)算方法進(jìn)行分析，也沒有對(duì)不同槽極配合的槽漏感計(jì)算公式進(jìn)行研究分析。

然而這些轉(zhuǎn)矩計(jì)算精度均不高，計(jì)算方法不具有通用性。且一個(gè)精確的數(shù)學(xué)模型可以將各個(gè)諧波轉(zhuǎn)矩及產(chǎn)生諧波轉(zhuǎn)矩分離出來，并揭示出轉(zhuǎn)矩諧波的來源，從而在控制電機(jī)時(shí)，可以特定消除某次轉(zhuǎn)矩諧波，這樣能夠大大提高永磁電機(jī)的控制精度，如文獻(xiàn)[15]通過提取電機(jī)相電流主要存在的5 次負(fù)序、7 次正序諧波交流分量，將提取的諧波交流分量注入到輸出電壓中來抑制諧波，該方法就需要一個(gè)精確的數(shù)學(xué)模型。因此本文提出了一種新的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩計(jì)算方法，并對(duì)一臺(tái)1.5 kW 分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計(jì)算，分別計(jì)算出了電機(jī)的永磁轉(zhuǎn)矩、永磁轉(zhuǎn)矩諧波及磁阻轉(zhuǎn)矩、磁阻轉(zhuǎn)矩諧波，分析出轉(zhuǎn)矩諧波的主要來源。

利用有限元仿真計(jì)算空載反電動(dòng)勢和定子電流產(chǎn)生的磁鏈，確定永磁轉(zhuǎn)矩諧波是由轉(zhuǎn)子磁鏈諧波與定子電流作用產(chǎn)生，磁阻轉(zhuǎn)矩諧波是由定子在d-q軸下的自感磁鏈諧波和互感磁鏈諧波與轉(zhuǎn)子鐵心作用產(chǎn)生。通過上述分析建立模型計(jì)算出分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，最后驗(yàn)證模型的正確性。

2 永磁電機(jī)的基本參數(shù)和結(jié)構(gòu)

考慮電機(jī)的轉(zhuǎn)速及運(yùn)行工況，電機(jī)采用“一”字型內(nèi)置式結(jié)構(gòu)，通過計(jì)算確定1.5 kW 永磁電機(jī)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1 所示。

表1 1.5 kW 永磁電機(jī)的額定數(shù)據(jù)及結(jié)構(gòu)參數(shù)

3 分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

3.1 經(jīng)典的電機(jī)數(shù)學(xué)模型

分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)在d-q坐標(biāo)系下的方程為式(1)～(6)。

式中，K是Park 變換矩陣，Vabc是相電壓，iabc是相電流，eabc是三相反電動(dòng)勢，Labc是三相電感，R是電阻，Ld和Lq分別是d軸和q軸電感。同樣，id、iq、Vd、Vq分別是d-q軸的電流和電壓，Kq是電機(jī)的反電動(dòng)勢常數(shù)，ωm是電機(jī)機(jī)械角速度，ωe是電角速度，p是功率。

3.2 改進(jìn)的電機(jī)數(shù)學(xué)模型

通過對(duì)經(jīng)典的電機(jī)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的模型將轉(zhuǎn)矩分解為永磁轉(zhuǎn)矩、永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)以及磁阻轉(zhuǎn)矩、磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。永磁轉(zhuǎn)矩及永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)是由轉(zhuǎn)子上的永磁體與分布在定子繞組的電流的相互作用產(chǎn)生，并利用反電動(dòng)勢常數(shù)計(jì)算出永磁轉(zhuǎn)矩及永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。磁阻轉(zhuǎn)矩及磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)是由定子磁鏈與轉(zhuǎn)子鐵心作用產(chǎn)生，并利用電機(jī)自感和互感計(jì)算出磁阻轉(zhuǎn)矩及磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。對(duì)所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)分兩步建模，建模過程如下所示。

3.2.1 永磁轉(zhuǎn)矩及永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

考慮到永磁體產(chǎn)生的磁鏈諧波，此時(shí)的轉(zhuǎn)矩方程為

式中，n=6k，k=0、1、2、3、4 等。Kxm0是基波反電勢常數(shù)，Kxm6、Kxm12、Kxm18、Kxm24分別是6、12、18、24 次諧波反電動(dòng)勢常數(shù)的幅值，αxm6、αxm12、αxm18、αxm24分別是6、12、18、24 次諧波的相位，x表示d軸和q軸，m表示永磁體。

3.2.2 轉(zhuǎn)子凸極產(chǎn)生的磁阻轉(zhuǎn)矩和磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

由于轉(zhuǎn)子的凸極結(jié)構(gòu)，使得轉(zhuǎn)子在d-q軸上的磁阻不同，導(dǎo)致定子磁鏈與轉(zhuǎn)子鐵心作用產(chǎn)生磁阻轉(zhuǎn)矩。同時(shí)考慮到d-q軸之間的交叉互感，所以改進(jìn)后在d-q軸中產(chǎn)生的磁鏈?zhǔn)怯勺愿写沛満突ジ写沛溄M成，此時(shí)磁鏈模型方程為式(12)～(13)。

式中，n=6k，k=0、1、2、3、4。w表示由定子繞組，dd和qq分別表示d軸和q軸產(chǎn)生的自感磁鏈。qd表示由q軸電流在d軸產(chǎn)生的磁鏈，dq表示由d軸電流在q軸產(chǎn)生的磁鏈。

由于存在自感磁鏈和互感磁鏈，所以在d-q軸中存在基波自感Lqq,n、Ldd,n和互感Lqd,n、Ldq,n，此時(shí)磁鏈方程為

在式(21)中，公式第一項(xiàng)表示改進(jìn)模型中電流流過電阻產(chǎn)生的壓降；第二項(xiàng)是空載反電動(dòng)勢，由式(22)表示；第三項(xiàng)是由定子磁鏈產(chǎn)生的電動(dòng)勢，由式(23)表示。此時(shí)電壓的等效電路如圖1 所示。

圖1 電壓的數(shù)學(xué)模型等效電路圖

4 永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)矩計(jì)算

本節(jié)對(duì)圖2 所示的12 槽10 極的永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計(jì)算。電機(jī)采用分?jǐn)?shù)槽集中繞組。 在永磁電機(jī)以額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min 運(yùn)轉(zhuǎn)的情況下，利用二維有限元模型分析并計(jì)算空載反電動(dòng)勢和定子磁鏈，同時(shí)計(jì)算電機(jī)在不同電流下的轉(zhuǎn)矩。

圖2 1.5 kW 分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)模型

4.1 永磁轉(zhuǎn)矩及永磁轉(zhuǎn)矩諧波計(jì)算

電機(jī)的空載反電動(dòng)勢如圖3 所示。

圖3 電機(jī)空載反電動(dòng)勢

利用Park 變換將三相反電動(dòng)勢轉(zhuǎn)換為d-q軸上的電壓，由式(10)、(11)計(jì)算得到電機(jī)的諧波反電動(dòng)勢常數(shù)Kdm和Kqm的幅值如圖4 所示。

圖4 d-q 坐標(biāo)系下空載反電動(dòng)勢常數(shù)

其中計(jì)算得到的Kdm,0=0.002 9 V/(rad/s)，Kqm,0=0.831 1 V/(rad/s)，然后根據(jù)式(7)計(jì)算得到不同相電流下的永磁轉(zhuǎn)矩，如圖5 所示。

圖5 不同電流下的永磁轉(zhuǎn)矩

根據(jù)計(jì)算得到的諧波反電動(dòng)勢常數(shù)幅值，利用式(7)計(jì)算出不同相電流下諧波轉(zhuǎn)矩的幅值，然后根據(jù)得到的相位角和式(7)～(9)計(jì)算出電機(jī)的諧波轉(zhuǎn)矩，其中給出的d軸和q軸電流與永磁體作用產(chǎn)生的12 次諧波的轉(zhuǎn)矩如圖6、7 所示。

圖6 d 軸電流與永磁體作用產(chǎn)生的12 次諧波轉(zhuǎn)矩

圖7 q 軸電流與永磁體作用產(chǎn)生的12 次諧波轉(zhuǎn)矩

其中計(jì)算得到各電流下的總永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)如圖8 所示。

圖8 總永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)速不變時(shí)，反電勢常數(shù)不變，此時(shí)總永磁脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩隨著電流的增加而增大。從圖4、7、8 可以看到，12 次諧波反電動(dòng)勢常數(shù)最大，所以永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)中占比最大的是由q軸電流與永磁體作用而產(chǎn)生的12 次諧波轉(zhuǎn)矩。

4.2 磁阻轉(zhuǎn)矩及磁阻轉(zhuǎn)矩諧波計(jì)算

磁阻轉(zhuǎn)矩計(jì)算是將永磁體設(shè)置成空氣來凍結(jié)磁導(dǎo)率后，對(duì)電機(jī)施加不同的相電流，電流的有效值分別為18 A、27 A、36 A、45 A、54 A，電流的相位角均為12°。定子只通d軸電流，得到由d軸電流產(chǎn)生的三相磁鏈，利用Park 變換計(jì)算得到電機(jī)在d軸的自感磁鏈和互感磁鏈，然后進(jìn)行傅里葉分解得到各個(gè)波次的自感磁鏈和互感磁鏈及其相位角，根據(jù)式(14)、(15)計(jì)算出d軸的自感Ldd和互感Ldq，同樣計(jì)算出q軸的自感Lqq和互感Lqd。圖9 給出了當(dāng)I=54 A 時(shí)，凍結(jié)磁導(dǎo)率后只加載d軸和q軸電流的磁密云圖。

圖9 I=54 A 時(shí)電機(jī)的磁密云圖

4.2.1 磁阻轉(zhuǎn)矩計(jì)算

圖10 是根據(jù)數(shù)據(jù)和公式計(jì)算得到的Lqq,0、Lqd,0、Ldd,0和Ldq,0。圖11 是將Lqq,0、Lqd,0、Ldd,0和Ldq,0代入式(17)計(jì)算得到電機(jī)在不同電流下的磁阻轉(zhuǎn)矩。從圖10 中可以看出，隨著電流的增加，電機(jī)的q軸自感減小。這是由于電流增大的同時(shí)，鐵心飽和程度增加，電機(jī)的q軸自感隨之減小。電機(jī)的d軸電感隨著電流的增大呈現(xiàn)波動(dòng)，在36 A達(dá)到最大，但整體趨勢是降低的。電機(jī)dq軸的互感是相等的，且隨著電流的增大，互感增大，增大趨勢變小。

圖10 磁阻轉(zhuǎn)矩的自感和互感

圖11 永磁電機(jī)的磁阻轉(zhuǎn)矩

4.2.2 磁阻轉(zhuǎn)矩諧波計(jì)算

根據(jù)得到的數(shù)據(jù)并利用式(14)、(15)計(jì)算出各次諧波的自感和互感，如圖12～15 所示。圖12～15給出了不同電流下各個(gè)波次的自感和互感?？梢钥闯?，電機(jī)在d軸的6 次諧波自感隨著電流增加而增大，12、18 次d軸諧波自感呈現(xiàn)波動(dòng)，但總體趨勢是增大的，24 次d軸諧波自感電感呈波動(dòng)總體降低，由此可以得出低次d軸諧波自感隨著電流增加而增大，同時(shí)鐵心趨于飽和，使得低次諧波電感增加趨于平緩。6 次、12 次、24 次q軸諧波自感隨著電流增加而降低，18 次q軸諧波自感呈現(xiàn)波動(dòng)但總體是降低的，所以q軸諧波自感是隨著電流增加而降低。

圖12 6 次諧波的自感和互感

圖13 12 次諧波的自感和互感

圖14 18 次諧波的自感和互感

圖15 24 次諧波的自感和互感

當(dāng)電流I=36 A 時(shí)，Ldq不等于Lqd，但是相差很小，近似相等。其他電流下，d-q軸互感Ldq等于Lqd，所以不同電流下，d-q軸互感Ldq等于Lqd，隨著電流的增加，電機(jī)的諧波互感呈現(xiàn)不規(guī)律的變化。而高次諧波在電流增大時(shí)，磁鏈增加趨于平緩，所以高次諧波自感降低。當(dāng)電流大于27 A 后，6 次和12次諧波互感均大于6 次和12 次q軸自感。

通過計(jì)算得到電感和d-q軸電流，并將其代入式(17)計(jì)算得到諧波轉(zhuǎn)矩。其中產(chǎn)生的6 次諧波轉(zhuǎn)矩Tdd,6、Tdq,6(不計(jì)相位角)以及Tqq,6、Tqd,6(不計(jì)相位角)如圖16～19 所示。

圖16 d 軸電流產(chǎn)生的6 次諧波自感轉(zhuǎn)矩Tdd,6

圖17 d 軸電流產(chǎn)生的6 次諧波互感轉(zhuǎn)矩Tdq,6

圖18 q 軸電流產(chǎn)生的6 次諧波自感轉(zhuǎn)矩Tqq,6

圖19 q 軸電流產(chǎn)生的6 次諧波互感轉(zhuǎn)矩Tqd,6

從圖16～19 中可以看出，只有相電流等于45 A時(shí)的Tqq,6大于相電流等于54 A 時(shí)的Tqq,6，其余各個(gè)6 次諧波轉(zhuǎn)矩隨著電流的增加而增大。由于Lqd,6=Ldq,6，q軸電流大于d軸電流，所以Tqd,6大于Tdq,6，且6 次諧波互感轉(zhuǎn)矩Tqd,6幅值最大，6 次諧波互感轉(zhuǎn)矩Tdq,6幅值最小。

通過式(21)計(jì)算得到不同相電流下的磁阻轉(zhuǎn)矩總脈動(dòng)，計(jì)算時(shí)考慮到不同電感下的相位角，總磁阻脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩如圖20 所示。

圖20 總磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

圖20 是磁阻轉(zhuǎn)矩的總脈動(dòng)，通過計(jì)算各個(gè)波次的Tqq、Tdd、Tqd和Tdq，然后將各部分相加得到總磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。從圖16～20 可以看出磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)中占比最大的是6 次諧波互感轉(zhuǎn)矩Tqd,6，所以當(dāng)q軸電流增大時(shí)，6 次諧波轉(zhuǎn)矩增大，總磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)也隨之增大。

將上述計(jì)算結(jié)果相加得到電機(jī)在各個(gè)電流下的總轉(zhuǎn)矩如圖21 所示。

圖21 計(jì)算總轉(zhuǎn)矩

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩計(jì)算模型的正確性，利用J-mag 仿真得到不同電流下的轉(zhuǎn)矩，將其與計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖22、23 所示。其中圖22 是計(jì)算得到的平均轉(zhuǎn)矩和仿真得到的平均轉(zhuǎn)矩對(duì)比圖，從圖22 中可以看出，計(jì)算得到的平均轉(zhuǎn)矩與仿真得到的完全一致。圖23 對(duì)比了不同電流下計(jì)算得到的轉(zhuǎn)矩波形與仿真得到的轉(zhuǎn)矩波形，從圖23 中可以看出，計(jì)算得到的電機(jī)轉(zhuǎn)矩波形和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)波形與仿真得到的基本一致。

圖22 永磁電機(jī)的平均轉(zhuǎn)矩

圖23 永磁電機(jī)轉(zhuǎn)矩波形

通過上述結(jié)果得到各電流下的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)計(jì)算結(jié)果如表2 所示，計(jì)算轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)值與仿真轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)值相差最大為0.31%，說明模型計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果一致。通過上述的結(jié)果對(duì)比，證明了分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩計(jì)算模型是正確的。

表2 計(jì)算轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)與仿真轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)對(duì)比

6 結(jié)論

利用本文提出的分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)轉(zhuǎn)矩計(jì)算模型能夠準(zhǔn)確地計(jì)算分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，并分離出電機(jī)的各部分轉(zhuǎn)矩。

當(dāng)轉(zhuǎn)速不變時(shí)，反電動(dòng)勢常數(shù)不變，永磁轉(zhuǎn)矩及諧波永磁轉(zhuǎn)矩幅值隨相電流呈線性變化，其中對(duì)于轉(zhuǎn)子為“一”字型永磁體的永磁電機(jī)，永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的主要諧波為q軸電流與轉(zhuǎn)子磁鏈作用產(chǎn)生的12 次諧波轉(zhuǎn)矩。

磁阻轉(zhuǎn)矩與電機(jī)在d-q軸下的電感和相電流有關(guān)，其中d-q軸下的自感Ldd,0和Lqq,0隨電流的增大而減小，互感Ldq,0等于Lqd,0，隨著電流增加而增大，同時(shí)磁阻轉(zhuǎn)矩隨著電流的增加而增大。磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)電機(jī)在d-q軸下的諧波電感和定子電流有關(guān)，6次諧波d軸自感Ldd,6隨電流增加而增大，當(dāng)電流大于36 A 后，增加平緩，其他諧波電感隨電流呈不規(guī)律變化。其中6 次諧波轉(zhuǎn)矩Tqd,6為磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的主要諧波。不論是永磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)還是磁阻轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的主要諧波皆是由q軸電流產(chǎn)生的諧波轉(zhuǎn)矩。通過計(jì)算得到各個(gè)電流下電機(jī)轉(zhuǎn)矩的波形與仿真波形一致，驗(yàn)證了計(jì)算模型的正確性。同時(shí)，本文的數(shù)學(xué)模型對(duì)計(jì)算不同的內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩具有重要意義。