劉 昱，彭 鋒，趙國新，張立業(yè)

(北京石油化工學(xué)院信息工程學(xué)院，北京 102617)

1 引言

并聯(lián)機器人具有精度高、動態(tài)響應(yīng)好、剛度高和承載能力大等優(yōu)點，在無需很大工作空間的領(lǐng)域內(nèi)得到廣泛應(yīng)用。1978年，Hunt[1]首次提出把六自由度并聯(lián)機構(gòu)作為機器人操作器，并聯(lián)機器人才逐漸引起了人們廣泛注意。在國內(nèi)，1991年燕山大學(xué)黃真教授[2]研制出第一臺六自由度并聯(lián)機器人樣機。鄭相周等[3]根據(jù)純轉(zhuǎn)動型3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的幾何特點，使用單位四元數(shù)變換求出其雙正交條件下的8個封閉的位置正解。梁偉文[4]提出了純轉(zhuǎn)動型3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的工作空間搜尋算法，并驗證了該算法的有效性。由于氣動比例位置系統(tǒng)具有價格低、維護方便、安全無污染等特點，使其迅速在并聯(lián)機器人領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用[5]。Richardson等[6]圍繞關(guān)節(jié)空間極點位置控制器介紹了一種用于氣動機器人的阻抗控制器，并成功實施在機器人上。王飛等[7]采用狀態(tài)控制器對氣動位置伺服系統(tǒng)進行控制，相比PID控制器，其控制精度更高、更穩(wěn)定。陳平等[8]采用魯棒自適應(yīng)PD控制算法對氣動并聯(lián)機器人進行了優(yōu)化控制。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力，侯波等[9]將改進的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器應(yīng)用到液壓舵機伺服系統(tǒng)中，具有良好的控制效果和較強的魯棒性。孟慶愛等[10]針對火箭炮位置伺服系統(tǒng)構(gòu)建了基于傳統(tǒng)PID控制的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器，仿真結(jié)果表明該控制策略可以有效提高系統(tǒng)的控制品質(zhì)。Cheng J等[11]設(shè)計了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無刷直流電機控制系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明該方法提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)能力和抗干擾能力。

本文采用solidedge軟件設(shè)計3-UPU并聯(lián)機器人物理模型，根據(jù)該機構(gòu)幾何關(guān)系推導(dǎo)其運動學(xué)方程并基于數(shù)值解法得到了該機構(gòu)的工作空間，同時針對該機器人的氣動比例位置系統(tǒng)設(shè)計了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器。仿真結(jié)果表明，該機構(gòu)有較大的工作空間，同時對于該機器人的氣動比例位置系統(tǒng)，相比于傳統(tǒng)PID，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器具有更優(yōu)的控制效果。

2 機器人建模與分析

2.1 3-UPU機器人物理建模

采用三維建模軟件設(shè)計3-UPU并聯(lián)機構(gòu)物理模型，如圖1所示，該機構(gòu)三條相同支鏈采用無摩擦氣缸[12]，其動平臺和靜平臺均為正三角形，三條相同支鏈的兩端分別連接到虎克鉸的一側(cè)，虎克鉸的另一側(cè)通過幾何約束對稱連接到兩個平臺的三角形頂點。其中U代表虎克鉸，通過它使兩關(guān)節(jié)之間具有兩個獨立的相對轉(zhuǎn)動，具有兩個轉(zhuǎn)動的自由度。P代表3-UPU 并聯(lián)機器人移動副，它允許兩構(gòu)件沿公共軸線作相對直線運動。

圖1 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)模型

2.2 系統(tǒng)運動學(xué)正逆解

3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的運動簡圖如圖2所示，靜平臺為正三角形A1A2A3，其所在的外接圓圓心為O0，半徑為R，支鏈依次為Pi(i=1，2，3)，其中Ai(i=1，2，3)依次為三條支鏈的上頂點。建立絕對坐標(biāo)系O0x0y0，x0軸正方向由O0指向A2，z0軸正方向垂直于平面A1A2A3向下，在絕對坐標(biāo)系下Ai(i=1，2，3)的坐標(biāo)分別為

圖2 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的運動簡圖

A2(R，0，0)

動平臺為正三角形M1M2M3，其所在的外接圓圓心為O，半徑為r，其中Mi(i=1，2，3)依次為三條支鏈的下頂點。建立局部坐標(biāo)系Oxyz，x軸正方向由O指向M2，z軸正方向垂直于平面M1M2M3向下，在絕對坐標(biāo)系Oxyz下Mi(i=1，2，3)的坐標(biāo)分別為

M2(r，0，0)

根據(jù)該機構(gòu)的幾何特點，運用矢量法，有下面的矢量方程

AiMi=-O0Ai+O0O+OMi，(i=1，2，3)

(1)

|AiMi|=li，(i=1，2，3)

(2)

式中，li(i=1，2，3)表示第i個支鏈的長度。如果設(shè)O點的絕對坐標(biāo)為(x，y，z)，則O0O可以表示為

O0O=[xyz]T

(3)

O0Ai表示為

O0A2=[R0 0]T

(4)

OMi表示為

OM2=[r0 0]T

(5)

令Δ=R-r

所以得到機構(gòu)的運動學(xué)逆解

(6)

進一步得到機構(gòu)的運動學(xué)正解

(7)

2.3 系統(tǒng)工作空間分析

根據(jù)實際支鏈長度采用遍歷法得到滿足機構(gòu)約束條件的所有坐標(biāo)點集并可視化顯示，從而得到該機構(gòu)的工作空間。

已知支鏈采用的氣浮無摩擦缸最小長度lmin=420mm，最大長度lmax=720mm，則各支鏈長度li(i=1，2，3)滿足關(guān)系式

lmin≤li≤lmax

根據(jù)該機構(gòu)裝配關(guān)系可知，當(dāng)其處于初始位置時，支鏈初始長度l0=570mm，支鏈與靜平臺初始夾角θ0=45°，可以求解出Δ=403.05 mm，通過MATLAB軟件仿真計算得到3-UPU并聯(lián)機構(gòu)工作空間，如圖3(a)所示，其在xy平面的投影如圖3(b)所示，工作空間為帽子形，空間邊界曲線連續(xù)且光滑。

圖3 3-UPU工作空間

工作空間分布見表1，其動平臺在x，y，z方向最大位移均接近0.5 m。

表1 工作空間分布

2.4 氣動比例位置系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

基于氣浮無摩擦缸驅(qū)動的3-UPU并聯(lián)機器人通過聯(lián)合控制三個單軸氣動比例位置系統(tǒng)來實現(xiàn)動平臺在空間中的運動，所以該氣動比例位置系統(tǒng)成為實現(xiàn)機器人各性能指標(biāo)的關(guān)鍵部分和控制策略的主要研究對象。

該系統(tǒng)的基本原理是通過計算機控制軟件、比例閥、氣缸的調(diào)節(jié)作用，使比例閥輸入信號電壓ue與位移傳感器采集的氣缸位移反饋信號uf之差Δu趨于零，從而實現(xiàn)氣缸位移對輸入信號的跟蹤。為了簡化其數(shù)學(xué)模型，作如下假設(shè)[13]：①所有工作介質(zhì)為理想氣體，滿足氣體方程；②氣體流過閥口或其它節(jié)流孔時的流動狀態(tài)為等熵絕熱過程；③在動態(tài)過程中各參量的變化僅是一個微小量(小擾動假設(shè))。

2.4.1 比例閥模型

以德國FESTO公司MPYE-5型三位五通比例流量閥為研究對象。該閥屬于電壓型控制閥，比例閥中位電壓為5V，當(dāng)信號電流通過線圈時，線圈上產(chǎn)生的電磁力推動閥芯運動來調(diào)節(jié)閥的開度，而電流的大小又由輸入電壓信號與反饋信號比較得到。

控制線圈的電壓平衡方程為

(8)

其中，ku為放大器增益，ug為輸入放大器的信號電壓，Rc為控制線圈電阻，rp為放大器內(nèi)阻，Lc為控制線圈電感，ic為線圈電流，Kb為線圈的反電動勢常數(shù)，Kb=BgπDNc。設(shè)ufk=Kfkx為反饋電壓，其中Kfk為傳感器增益，則

ug=ue-ufk=ue-Kfkx

(9)

其中，ue為比例閥的輸入電壓。

電流通過線圈時產(chǎn)生的電磁力為

F=BgπDNcic=Ktic

(10)

其中，Bg為磁感應(yīng)強度，Nc為控制線圈的匝數(shù)，Kt為電磁力系數(shù)，Kt=BgπDNc。

若忽略線圈組件上的負載力，則

(11)

m為線圈組件的質(zhì)量，B為線圈組件的阻尼系數(shù)，聯(lián)立式(8)(9)(10)(11)并進行拉氏變換得電-氣比例閥的傳遞函數(shù)為

(12)

式中，w0為比例閥的固有頻率，ζ0為比例閥的阻尼比。

2.4.2 閥控缸模型

氣缸Ⅰ腔和Ⅱ腔的壓力、容積、溫度和氣體密度分別為p1、V1、T1、ρ1和p2、V2、T2、ρ2。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流入Ⅰ腔的氣體質(zhì)量流量應(yīng)等于容腔的質(zhì)量變化率。

(13)

應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程

(14)

式中，R為氣體常數(shù)，R=287J/(kg·K)。

按照假設(shè)，過程中的溫度T1與起始時的溫度T10之間應(yīng)滿足絕熱條件

(15)

式中，k為空氣絕熱指數(shù)，k=1.4，p10為Ⅰ腔的起始壓力，將上式代入(13)式整理得Ⅰ腔氣體動態(tài)過程的表達式

(16)

在小擾動假設(shè)下，將初始位置取在中間平衡位置，由于dV1=AdΔy，則得到

(17)

同理，Ⅱ腔的方程為

(18)

將通過閥口的氣體流動過程近似為理想氣體通過收縮管的一維等熵流動，采用Sanville流量公式[13]

(19)

式中，A為節(jié)流孔最小截面積，單位mm2；T為絕對溫度，單位K；ps、p1均為絕對壓力，單位MPa；Ct為臨界壓力比，Ct=0.528，Ct>0.528時為亞聲速流動，Ct<0.528時為超聲速流動。

由于通過滑閥的氣體質(zhì)量流量僅是閥芯位移X和氣缸中氣體壓力p1和p2的函數(shù)，即

(20)

若忽略摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律，有：

(21)

其中，M為活塞及慣性負載質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，F(xiàn)L為外負載力。

活塞位移對閥芯位移的傳遞函數(shù)為

(22)

2.4.3 氣動比例位置系統(tǒng)的總模型

由比例閥和閥控缸的數(shù)學(xué)模型，可得到氣動比例位置系統(tǒng)的總模型，其傳遞函數(shù)為

(23)

由于比例閥的響應(yīng)速度較快，而動力結(jié)構(gòu)的固有頻率是控制回路最低的，它對系統(tǒng)的動態(tài)特性有決定性的影響，因而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可近似為

(24)

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由比例、積分和二階振蕩環(huán)節(jié)組成。

3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制算法

基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制算法構(gòu)建控制器，其思想為：初始階段采用PD反饋控制，然后過渡到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制。在控制過程中，如出現(xiàn)較大的誤差，則PD控制起主導(dǎo)作用，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制起調(diào)節(jié)作用，該控制系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督控制系統(tǒng)

設(shè)徑向基向量為h=[h1，…，hm]T，hj為高斯函數(shù)，則

(25)

其中，j為網(wǎng)絡(luò)輸入個數(shù)，j=1，…，m；hj為隱含層第j個神經(jīng)元的輸出；x(k)為RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入；cj為隱含層第j個神經(jīng)元的中心點矢量值，cj=[cj1，…，cjm]；b為高斯基函數(shù)的寬度，b=[b1，…，bm]T。

設(shè)權(quán)值向量為

ω=[ω1，…，ωm]T

(26)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

un(k)=h1ω1+…+hjωj+…+hmωm

(27)

其中，m為隱含層節(jié)點的個數(shù)。

總控制輸入為u(k)=un(k)+up(k)，誤差指標(biāo)為

(28)

其中，up(k)為PD控制的輸出。

采用梯度下降法，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值學(xué)習(xí)算法為

(29)

ω(k)=ω(k-1)+Δω(k)+α[ω(k-1)-ω(k-2)]

(30)

其中，η∈[0，1]為學(xué)習(xí)速率，α∈[0，1]為動量因子。

4 氣動比例位置系統(tǒng)仿真分析

對氣動比例位置系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對象進行離散化。取RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為1-4-1，在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，學(xué)習(xí)速率η=0.3，動量因子α=0.05，網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值wj取[0，1]之間的隨機數(shù)。

1)階躍響應(yīng)

PID控制器參數(shù)為Kp=0.2，kd=0.01。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，中心參數(shù)取c=[-1.8 0.9 0.9 1.8]，高斯基函數(shù)寬度取b=0.15*ones(4，1)。理想跟蹤指令為yd(k)=0.2m。設(shè)定仿真時間為10s，采樣周期為0.01s，對氣缸活塞位移進行仿真，得到如圖5-圖7所示的響應(yīng)曲線。

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)

從圖5和圖6可以看出，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器，響應(yīng)速度更快，過渡時間約為6.5s，穩(wěn)態(tài)誤差約為0.1mm。圖7中un表示RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出，up表示PD控制輸出，u表示總輸出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對PD控制的學(xué)習(xí)，使得PD控制逐漸趨于0，并最終在總控制中占據(jù)主導(dǎo)地位。

圖6 階躍響應(yīng)誤差

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出、PD控制輸出和總輸出

2)正弦跟蹤

PID控制器參數(shù)為Kp=1.2，ki=0.012，kd=7；在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，中心參數(shù)取c=[-1.8 0.9 0.9 1.8]，高斯基函數(shù)寬度取b=0.15*ones(4，1)。理想跟蹤指令yd(k)的幅值為0.2m，頻率為0.5Hz。設(shè)定仿真時間為5s，采樣周期為0.01s，對氣缸活塞位移進行仿真，得到如圖圖8所示的正弦跟蹤響應(yīng)曲線，圖9位正弦跟蹤誤差曲線。

圖8 正弦跟蹤響應(yīng)

圖9 正弦跟蹤誤差

在1/4周期處，PID和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制幅值衰減分別為3.3%和0.9%，相位滯后分別約為1.73°和3.49°；在3/4周期處，PID和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制幅值衰減分別為2.6%和0.7%，相位滯后分別約為1.35°和2.91°。同時統(tǒng)計其平均誤差，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制比PID減少了32.6%。通過比較得知，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制在防幅值衰減和相位滯后等方面優(yōu)于傳統(tǒng)PID。

3)方波跟蹤

PID控制器參數(shù)為Kp=0.4，kd=1；在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，中心參數(shù)取c=[-2 1 1 2]，高斯基函數(shù)寬度取b=0.2*ones(4，1)。理想跟蹤指令yd(k)的幅值為0.2m，頻率為0.08Hz。設(shè)定仿真時間為30s，采樣周期為0.01s，對氣缸活塞位移進行仿真，得到如圖10所示的方波跟蹤響應(yīng)曲線，圖11為方波跟蹤誤差曲線。

圖10 方波跟蹤響應(yīng)

圖11 方波跟蹤誤差

兩種控制器下的方波跟蹤幅值基本無衰減，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制的方波跟蹤響應(yīng)更快，統(tǒng)計其平均誤差，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制比PID減少了15.7%。

5 結(jié)論

本文根據(jù)氣浮無摩擦缸驅(qū)動的3-UPU并聯(lián)機器人的幾何關(guān)系推導(dǎo)其運動學(xué)方程并基于數(shù)值解法得到了該機器人的工作空間，同時針對該機器人的氣動比例位置系統(tǒng)設(shè)計了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器。通過仿真分析可知，該機構(gòu)有較大的工作空間，同時對于氣動比例位置系統(tǒng)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器具有更快的響應(yīng)速度，其控制性能要優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器，為后續(xù)的實驗研究奠定了基礎(chǔ)。