孟凡姿，侯云海

(1.吉林建筑科技學(xué)院，吉林 長春 130011；2.長春工業(yè)大學(xué)，吉林 長春 130011)

1 引言

很多領(lǐng)域在解決問題的過程中，都可以通過構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)模型的方式采取分析。如研究計(jì)算機(jī)、電力、傳感器等復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常采取網(wǎng)絡(luò)分析法。但是由于節(jié)點(diǎn)眾多，參數(shù)負(fù)載，耦合度高，無法根據(jù)單點(diǎn)獨(dú)立分析完成整個(gè)系統(tǒng)的控制[1]。尤其隨著模塊化思想在各領(lǐng)域中的推廣，使虛擬化網(wǎng)絡(luò)分析控制技術(shù)的應(yīng)用更為廣泛和重要，其理論研究受到眾多學(xué)者關(guān)注。對(duì)于包含大量節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，可以根據(jù)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)和參數(shù)將其抽象為虛擬化網(wǎng)絡(luò)[2]，從而分析其中任意節(jié)點(diǎn)與整體網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系，有利于提高復(fù)雜系統(tǒng)分析控制的綜合性能。但是此過程中，如果將所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行單獨(dú)控制，將會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和系統(tǒng)耦合度影響，難以獲得合理的控制效果了，因此，虛擬化網(wǎng)絡(luò)控制成為復(fù)雜系統(tǒng)同步控制領(lǐng)域的研究難點(diǎn)[3]。

近年來關(guān)于虛擬化網(wǎng)絡(luò)的控制取得了長足進(jìn)步，針對(duì)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)同步控制困難問題，衍生出了牽制控制算法。該算法的思想就是根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)和狀態(tài)，通過控制某些節(jié)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)對(duì)全部節(jié)點(diǎn)的整體改變，從而降低系統(tǒng)控制的難度和復(fù)雜度。文獻(xiàn)[4]在此算法思想基礎(chǔ)上，根據(jù)Lyapunov函數(shù)和矩陣特性確定了牽制控制器需要滿足的約束，并設(shè)計(jì)了兩種算例對(duì)方法進(jìn)行仿真分析。結(jié)果表明該方法對(duì)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有良好的時(shí)滯特性。文獻(xiàn)[5]在牽制控制思想基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種指數(shù)同步算法，并對(duì)控制器的增益系數(shù)的可行性進(jìn)行了具體分析。結(jié)果表明該方法對(duì)于雙復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有良好的牽制比。文獻(xiàn)[6]分析了網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)模型，并根據(jù)度中心設(shè)計(jì)了牽制策略。該方法在無人機(jī)群控制方面具有較好的收斂性，但是牽制點(diǎn)不能過多。文獻(xiàn)[7]分析了網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)與耦合節(jié)點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了牽制控制。該方法在變電站故障檢測(cè)方面取得了較好的實(shí)際效果，但是應(yīng)用局限性較大?，F(xiàn)有方法在虛擬化網(wǎng)絡(luò)控制時(shí)，普遍是針對(duì)非奇異系統(tǒng)，沒有考慮非奇異節(jié)點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響。此外，一些算法在牽制控制時(shí)要么缺乏對(duì)牽制節(jié)點(diǎn)選取的分析，要么缺乏對(duì)增益系數(shù)的合理性分析，導(dǎo)致控制效果出現(xiàn)明顯的波動(dòng)和偏差。

本文針對(duì)包含奇異節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)模型和偏差模型，并基于奇異模型設(shè)計(jì)反饋牽制控制。其間對(duì)牽制節(jié)點(diǎn)和增益系數(shù)的確定進(jìn)行了具體優(yōu)化。采用連通樹策略確定牽制節(jié)點(diǎn)，對(duì)于奇異節(jié)點(diǎn)采取Laplacian矩陣變換進(jìn)行強(qiáng)連通。通過偏差矢量矩陣以及Lyapunov函數(shù)計(jì)算得到增益系數(shù)，保證控制的魯棒性。

2 奇異網(wǎng)絡(luò)模型

對(duì)于一個(gè)包含N個(gè)節(jié)點(diǎn)的混沌網(wǎng)絡(luò)而言，在建立其虛擬化網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)，需要充分考慮該系統(tǒng)的非線性與關(guān)聯(lián)性[8]。假定系統(tǒng)中不存在奇異節(jié)點(diǎn)，則網(wǎng)絡(luò)模型可以描述為

(1)

(2)

在應(yīng)用場(chǎng)景內(nèi)，虛擬化網(wǎng)絡(luò)往往不可能只包含非奇異點(diǎn)。于是考慮奇異點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)模型描述為

(3)

當(dāng)ri=j時(shí)，代表節(jié)點(diǎn)i是屬于節(jié)點(diǎn)j類型的。若節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j不是同一類型，則ri≠rj，A1，ri≠A1，rj，A2，ri≠A2，rj，f1，ri≠f1，rj。

(4)

在此過程中，應(yīng)該保證領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)可以向其它節(jié)點(diǎn)傳遞狀態(tài)，并且不會(huì)被其它節(jié)點(diǎn)所干擾。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)整體趨于協(xié)同，但是仍然可能存在個(gè)別奇異節(jié)點(diǎn)孤立。此時(shí)孤立點(diǎn)與領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)的偏差可以描述為

δi(t)=si(t)-s(t)

(5)

整理可得偏差模型如下：

(6)

3 反饋牽制控制

為了能夠?qū)崿F(xiàn)全部節(jié)點(diǎn)跟隨領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)的變化，本文提出反饋牽制控制算法。將虛擬化網(wǎng)絡(luò)里第j個(gè)節(jié)點(diǎn)類型集合標(biāo)記為Cj，將該類型內(nèi)和其余類型存在關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)集合標(biāo)記為j，根據(jù)關(guān)聯(lián)度pij的耗散可得在i∈Cri/ri時(shí)，等式成立，當(dāng)i∈ri，此時(shí)反饋控制器表示如下

(7)

其中ri∈Ci，rj∈Cj；zi(t)表示增益系數(shù)。當(dāng)i∈Cri/ri，反饋控制器ui(t)=0。

反饋牽制控制的主要任務(wù)是令系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)全部節(jié)點(diǎn)趨于穩(wěn)定，即動(dòng)態(tài)偏差趨于最小。在反饋牽制控制過程中，首先需要確定牽制節(jié)點(diǎn)。它們作為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該能夠?qū)κＳ喙?jié)點(diǎn)產(chǎn)生作用，哪怕是通過多重傳遞產(chǎn)生的間接作用關(guān)系。根據(jù)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成及耦合關(guān)系，可以描述出一棵有向樹。樹的根對(duì)應(yīng)為牽制節(jié)點(diǎn)，對(duì)于和該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)程度大的節(jié)點(diǎn)，通過對(duì)牽制節(jié)點(diǎn)的處理就可以完成關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)的跟隨。在包含奇異節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，可能會(huì)由無法生成樹的情況，于是，本文采取連通策略，將無法構(gòu)建樹的節(jié)點(diǎn)與其它樹連通。假定任意有向樹標(biāo)記為Ri(i=1，2，…，m，…m+k)，根據(jù)Laplacian矩陣變換可得

(8)

B是置換矩陣；L是由偏差模型向量矩陣形式得到的Laplacian矩陣。根據(jù)(8)可以得到，R和L的特征值是一致的，在i

此外反饋控制器的增益系數(shù)zi(t)也會(huì)對(duì)控制效果產(chǎn)生顯著影響。提高zi(t)有利于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的同步速度；但是過高的zi(t)也會(huì)讓特征值形成局部收斂，從而影響同步性能[9]?？紤]到網(wǎng)絡(luò)中包含奇異節(jié)點(diǎn)，為了更合理的處理偏差，將偏差系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。其間必須保證有且只有一個(gè)對(duì)稱矩陣H，使得偏差和增益符合如下關(guān)系

OH+HTOT+AZH+(ZH)TAT<0

(9)

O表示偏差矩陣；H為非奇異矩陣；A表示常數(shù)矩陣；Z表示增益矩陣。還應(yīng)保證O′=O+AZ為非奇異，對(duì)偏差的矢量矩陣采取克羅內(nèi)克積計(jì)算可得

(IN?(O+AZ)-1+IN?(O+AZ)-1K)

+P?(O+AZ)-1O(t)=MO(T)

(10)

式中K表示求解增益。引入Lyapunov函數(shù)，結(jié)合線性微分轉(zhuǎn)化可以得到

(11)

式中w(θ)表示頻率θ的加權(quán)；θ對(duì)應(yīng)的單邊Lyapunov函數(shù)可以描述為l(θ，t)，且l(θ，t)=ZT(θ，t)HZ(θ，t)，于是可得

(12)

將L(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，最終得到如下關(guān)系

(13)

如果式(13)的后項(xiàng)OT(t)MHO(t)小于零，可知L(t)的導(dǎo)數(shù)小于零，那么能夠表明此時(shí)的偏差模型魯棒平穩(wěn)。根據(jù)偏差穩(wěn)定進(jìn)而可以判斷網(wǎng)絡(luò)的同步性。

4 算例仿真分析

利用算例仿真驗(yàn)證所提方法在虛擬化網(wǎng)絡(luò)控制方面的實(shí)際性能，設(shè)定奇異系統(tǒng)模型如下

λ1Dηx(t)=λ2x(t)+h(x(t))

(14)

其中，η=0.98；λ1、λ2和h(x(t))分別為

為了描述網(wǎng)絡(luò)牽制控制性能，采用不同類型間的偏差進(jìn)行衡量，這里將偏差計(jì)算定義如下

(15)

e12(t)、e13(t)和e23(t)依次描述了各節(jié)點(diǎn)類型對(duì)應(yīng)的同步偏差。

仿真得到偏差曲線如圖1所示。其中e(t)表示虛擬化網(wǎng)絡(luò)的整體偏差。根據(jù)同步偏差結(jié)果可以看出，在初始階段，由于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的奇異性和非均衡性，整體偏差e(t)相對(duì)較大。隨著時(shí)間的增加，整體偏差e(t)快速逼近零偏差，并趨于穩(wěn)定，說明反饋牽制控制方法具有良好的響應(yīng)速度。而初始階段的e12(t)、e13(t)和e23(t)并沒有出現(xiàn)較大的偏差值，且在時(shí)間增加的過程中，也沒有最終穩(wěn)定于零值，表明各類型節(jié)點(diǎn)是向著各自的平衡點(diǎn)逼近，從而保持網(wǎng)絡(luò)整體偏差趨于零。在初始階段，由于控制算法還沒有對(duì)網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)實(shí)施有效處理，隨著奇異網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建完善，反饋控制器的準(zhǔn)確介入，偏差系統(tǒng)開始快速收斂。

圖1 偏差曲線

仿真得到三個(gè)節(jié)點(diǎn)類型的各自偏差情況如圖2所示。從偏差曲線可以看出，不同類型內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)關(guān)系會(huì)產(chǎn)生不同的偏差結(jié)果，即便第一個(gè)節(jié)點(diǎn)類型的偏差出現(xiàn)了較大的幅值振蕩，但是各節(jié)點(diǎn)間的偏差依然能夠在反饋牽制控制作用下快速達(dá)到穩(wěn)定，最快同步時(shí)間為0.4s，最長同步時(shí)間不超過0.8s。

圖2 各類型的偏差曲線

在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浔３植蛔兊那闆r下，每次只改變?chǔ)?～α3中的一個(gè)關(guān)聯(lián)系數(shù)，仿真得到對(duì)牽制控制的影響。圖3描述了牽制比在三種關(guān)聯(lián)系數(shù)變化時(shí)的走勢(shì)。根據(jù)結(jié)果曲線對(duì)比，在節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)程度變大的過程中，牽制比將隨之降低，這種變化趨勢(shì)是三種關(guān)聯(lián)系數(shù)的共同點(diǎn)。但是每個(gè)關(guān)聯(lián)系數(shù)的影響程度也存在差異，當(dāng)α1=0.87時(shí)，牽制比達(dá)到最低并趨于穩(wěn)定；當(dāng)α2=0.53時(shí)，牽制比達(dá)到最低；當(dāng)α3=0.08時(shí)，牽制比達(dá)到最低。另外，從牽制曲線可以看出，當(dāng)關(guān)聯(lián)系數(shù)較小時(shí)，對(duì)牽制控制的影響比較敏感，說明網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)系數(shù)較小時(shí)牽制控制作用效果將更為明顯。

圖3 關(guān)聯(lián)性對(duì)牽制比的影響曲線

在α1=0.87，α2=0.53，α3=0.08的情況下，改變網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使節(jié)點(diǎn)的密度發(fā)生變化，仿真得到此過程對(duì)牽制控制的影響，結(jié)果表1所示。根據(jù)牽制比的變化情況可以看出，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的密度增加時(shí)，牽制比會(huì)隨之降低，這是由于密度增加使得節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性增強(qiáng)，牽制控制作用變?nèi)鯇?dǎo)致。

表1 節(jié)點(diǎn)密度對(duì)牽制比的影響結(jié)果

通過數(shù)值仿真，將所提方法與文獻(xiàn)[5]方法進(jìn)行比較，得到兩種方法作用下，具有奇異節(jié)點(diǎn)的虛擬化網(wǎng)絡(luò)同步控制性能，結(jié)果如圖4所示。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的整體偏差曲線對(duì)比可以看出，所提方法在響應(yīng)速度與偏差大小方面均優(yōu)于文獻(xiàn)[5]方法，表明方法對(duì)虛擬化網(wǎng)絡(luò)的偏差模型建立更加準(zhǔn)確，反饋牽制控制的增益優(yōu)化更加合理，有效提高了同步控制性能。

圖4 虛擬化網(wǎng)絡(luò)同步控制性能對(duì)比

5 結(jié)束語

本文針對(duì)虛擬化網(wǎng)絡(luò)控制進(jìn)行研究，在非奇異網(wǎng)絡(luò)模型的分析基礎(chǔ)上構(gòu)建了奇異網(wǎng)絡(luò)模型，并提出了一種反饋牽制控制算法。設(shè)計(jì)了反饋控制器，同時(shí)對(duì)其重要參數(shù)的確定進(jìn)行了優(yōu)化分析，根據(jù)奇異網(wǎng)絡(luò)偏差系統(tǒng)，控制網(wǎng)絡(luò)全部節(jié)點(diǎn)趨于穩(wěn)定。通過算例仿真，得到控制方法的牽制比受網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)性和密度影響，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)系數(shù)較小時(shí)，節(jié)點(diǎn)的跟隨性將變差，此時(shí)牽制控制作用將會(huì)提升，從而確保網(wǎng)絡(luò)的同步控制。另外，通過偏差曲線的對(duì)比結(jié)果，表明了本文方法能夠?qū)W(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)實(shí)施有效處理，構(gòu)造奇異網(wǎng)絡(luò)模型，隨著反饋控制器的介入，偏差系統(tǒng)準(zhǔn)確快速收斂，有效提高了同步控制性能。