王子豪，馬俊濤，魯 軍，孫廣宇

(1.石家莊鐵道大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

1 引言

由于現(xiàn)有幾種算法存在計(jì)算缺陷，所以使得世界上相關(guān)領(lǐng)域的人們開(kāi)始關(guān)注于以自然或生物現(xiàn)象為基礎(chǔ)的元啟發(fā)式算法。同時(shí)最近幾年，計(jì)算成本的顯著降低，研究者們逐漸將模仿生物進(jìn)化的算法用來(lái)解決計(jì)算方面問(wèn)題和設(shè)計(jì)智能系統(tǒng)[1]。雜草入侵優(yōu)化算法就是近年來(lái)最新最有發(fā)展?jié)摿Φ膶?yōu)算法之一，用雜草代表問(wèn)題的可行解，雜草按適應(yīng)度值生成種子數(shù)目，種子按照正態(tài)分布在父代雜草附近的空間內(nèi)擴(kuò)散。當(dāng)雜草和種子數(shù)目達(dá)到種群最大值時(shí)，通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)淘汰迭代進(jìn)化找到最優(yōu)解[2-4]。

利用這些智能優(yōu)化算法解決陣列天線的綜合問(wèn)題也較為常見(jiàn)[5-9]，但在實(shí)際工程中，已用算法設(shè)計(jì)好的陣列天線會(huì)出現(xiàn)天線損傷損壞等問(wèn)題，造成此處陣元的缺失，從而天線所輻射的方向圖出現(xiàn)旁瓣電平升高、主瓣寬度展寬等性能惡化現(xiàn)象。對(duì)于短期內(nèi)無(wú)法維修損壞天線，移動(dòng)或更換大型陣列天線位置工作量大、耗時(shí)較長(zhǎng)、操作艱難等問(wèn)題，有必要利用優(yōu)化算法快速對(duì)剩余陣元參數(shù)進(jìn)行重新調(diào)整，使方向圖形狀盡可能恢復(fù)原指標(biāo)要求。

雖然應(yīng)用過(guò)陣元方向圖校正的修復(fù)算法并不多，但這些算法能夠并行優(yōu)化多個(gè)參數(shù)，有效地解決陣列天線的方向圖綜合等問(wèn)題。比如Kuldeep Yadav和Amit Kumar Rajak等人采用迭代傅里葉算法針對(duì)34個(gè)陣元缺失4個(gè)陣元，對(duì)缺失率為11 %左右的線陣進(jìn)行方向圖校正，修復(fù)后的方向圖第一副瓣電平得到較理想結(jié)果[10]，國(guó)內(nèi)有運(yùn)用粒子群算法對(duì)失效后的相控陣天線進(jìn)行優(yōu)化，以16*16面陣損傷20 %陣元為例進(jìn)行校正，缺損修復(fù)后的陣面的旁瓣電平比損傷之前有明顯提升[11]。也有用遺傳算法和改進(jìn)螢火蟲(chóng)算法對(duì)32元線陣在4個(gè)陣元失效的情況下進(jìn)行優(yōu)化，重新降低了副瓣電平并恢復(fù)了干擾方向上的零陷[12]等等。這些算法被用于解決陣元失效校正問(wèn)題，并取得很好結(jié)果，而實(shí)際工程中對(duì)算法的方便性和運(yùn)算效率等也有一定要求，基于這種考慮，對(duì)入侵雜草算法目標(biāo)參數(shù)選取和運(yùn)算效率等進(jìn)行改進(jìn)并用于優(yōu)化實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

本文采用改進(jìn)雜草入侵優(yōu)化算法對(duì)線陣的陣元激勵(lì)幅度優(yōu)化，對(duì)陣因子計(jì)算進(jìn)行改進(jìn)，大大加快了傳統(tǒng)雜草算法的運(yùn)算速度，并且不需要進(jìn)行天線的位置的改變和更換，只需改變剩余陣元的電流激勵(lì)幅度，工作量較小操作速度快，適用于短時(shí)間內(nèi)不能更換維修缺失陣元。

2 缺失陣元天線陣模型

在不考慮天線的耦合效應(yīng)情況下，假設(shè)有N個(gè)各向同性的理想點(diǎn)元，形成均勻直線陣陣列，各陣元間距d相同且表示為d=λ/2，遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖表達(dá)式如下

(1)

表達(dá)式里的An為天線陣列中第n個(gè)陣元的激勵(lì)幅度，波數(shù)k為2π/λ，θ為波束與線陣法線的夾角。以分貝為單位的歸一化陣列的陣因子可

表示為

(2)

由方向圖的表達(dá)式可以看出，陣元的激勵(lì)幅度相位和陣元間距都會(huì)對(duì)方向圖產(chǎn)生影響，本文主要針對(duì)陣元激勵(lì)幅度為優(yōu)化對(duì)象，所以各陣元相位為0，并且以側(cè)射陣為例，所以u(píng)=sinθ。

假設(shè)陣元缺失位置為前q(q

An=[0，0，…，0，aq+1，…，aN]

(3)

對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖表達(dá)式變成

(4)

其中F(u)是陣元缺失前q個(gè)陣元后的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖表達(dá)式。

3 改進(jìn)雜草入侵優(yōu)化算法

3.1 雜草入侵優(yōu)化算法

雜草入侵優(yōu)化算法(Invasive Weed Optimization Algorithm，IWO)是在2006年，Mehrabian和Lucas提出了模擬生物行為中雜草入侵競(jìng)爭(zhēng)的一種進(jìn)化算法，目前，雜草入侵優(yōu)化算法已被應(yīng)用于陣列天線設(shè)計(jì)問(wèn)題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等多個(gè)領(lǐng)域[2]。和遺傳算法(GA)，粒子群優(yōu)化算法(PSO)和模擬退火算法(SA)等元啟發(fā)式算法相比[5-9]，IWO更容易理解，步驟簡(jiǎn)單易編程，參數(shù)較少魯棒性好，并且需要相關(guān)參數(shù)的調(diào)整要求次數(shù)少，數(shù)學(xué)運(yùn)算處理過(guò)程少，能夠兼顧選擇力度和種群多樣性。

而且人們往往忽視，適應(yīng)度差的個(gè)體仍可能存在有用的信息，差的個(gè)體中有可能包含最優(yōu)解的部分基因。所以，在IWO算法迭代前期，適應(yīng)度差的個(gè)體在競(jìng)爭(zhēng)淘汰前也有產(chǎn)生后代的權(quán)利并可能保留下來(lái)，后代和父代一起選擇競(jìng)爭(zhēng)，再排除適應(yīng)度差的個(gè)體。而GA中，較差的個(gè)體會(huì)直接淘汰，沒(méi)有在下一次進(jìn)化迭代中通過(guò)選擇交叉變異產(chǎn)生新個(gè)體的權(quán)利。但同時(shí)，入侵雜草優(yōu)化算法仍存在一些缺點(diǎn)和不足。

1)算法在迭代后期收斂速度較慢，可能造成早熟收斂現(xiàn)象。

2)由于正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸減小，使得算法容易陷入局部最優(yōu)，這同時(shí)降低了算法的精準(zhǔn)度，也給應(yīng)用范圍造成一定影響。

針對(duì)上述問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]提出自適應(yīng)入侵雜草算法，使標(biāo)準(zhǔn)差隨個(gè)體適應(yīng)度變化，從而提高收斂速度，適應(yīng)于更復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)。文獻(xiàn)[13]改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)差，加快了搜尋更優(yōu)個(gè)體，同時(shí)阻止了進(jìn)化初期因標(biāo)準(zhǔn)差過(guò)大造成的新個(gè)體跳出搜索空間問(wèn)題，提高了最終精度和收斂速度。但改進(jìn)后的算法還會(huì)出現(xiàn)收斂速度慢和計(jì)算適應(yīng)度時(shí)間較長(zhǎng)等問(wèn)題，本文改進(jìn)的入侵雜草算法在防止早熟收斂保證較少迭代次數(shù)的同時(shí)，加快了計(jì)算適應(yīng)度時(shí)間，進(jìn)一步降低運(yùn)算成本和提高了算法效率。

3.2 基于FFT的改進(jìn)雜草入侵算法

1)初始化：先生成若干個(gè)小于最大種群數(shù)目(本文設(shè)定初始種群數(shù)為50，最大種群規(guī)模為150)的雜草為初始種群，每個(gè)雜草個(gè)體為常規(guī)的均勻直線陣列，陣元間隔為λ/2。

2)繁殖：種群中每個(gè)雜草被允許產(chǎn)生的種子數(shù)取決于個(gè)體本身，和群體中適應(yīng)度的最高值和最低值有關(guān)。所以，對(duì)應(yīng)種子數(shù)量會(huì)從適應(yīng)度最低的雜草產(chǎn)生的最少種子數(shù)，逐漸線性增加至適應(yīng)度最高的個(gè)體所產(chǎn)生的最大種子數(shù)。

其中，一個(gè)雜草個(gè)體的適應(yīng)度計(jì)算如果是在傳統(tǒng)的θ域中，天線信號(hào)輻射范圍[-90°，90°]中要通過(guò)陣因子公式計(jì)算公式幾百次，同時(shí)陣因子公式是求和公式在一次迭代中種群包含上百個(gè)體，計(jì)算量和次數(shù)將成幾何倍增長(zhǎng)，同時(shí)將消耗大量的運(yùn)算時(shí)間。本文采用迭代傅里葉法求陣因子，將方向圖從θ域轉(zhuǎn)移到p域求解，大大縮減了計(jì)算步驟和程序運(yùn)行時(shí)間。

從式(1)可以看出，陣元激勵(lì)和陣列因子組成了一對(duì)離散傅里葉變換對(duì)，是一種空間映射，陣元激勵(lì)和陣列因子兩者之間可通過(guò)FFT和IFFT進(jìn)行變換。相鄰兩次迭代中，陣列方向圖和陣元激勵(lì)滿足以下迭代關(guān)系

F(u)m+1=IFFT{PJ{FFT[PZF(u)m]}}

=IFFT{PJ({An})}

(5)

其中，PJ和PZ，分別表示基于方向圖約束條件集合Z和激勵(lì)幅度約束條件集合J的投影算子，因此可通過(guò)激勵(lì)幅度逆傅里葉變換來(lái)求得陣因子AF

(6)

3)空間分布：這一步是IWO的選擇搜索機(jī)制，它將確保產(chǎn)生的種子將在父代雜草周?chē)a(chǎn)生，從而使得每個(gè)個(gè)體能夠局部搜索。其中，適應(yīng)力強(qiáng)的優(yōu)秀雜草個(gè)體會(huì)繁殖更多的后代。每代繁殖的種子會(huì)按均值為零但方差相異的正態(tài)分布，隨機(jī)產(chǎn)生在對(duì)應(yīng)父代雜草的搜索空間中。

由于正態(tài)分布的隨機(jī)值疊加到父代后，可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)激勵(lì)幅度值，本文在編程這部分時(shí)增加判斷機(jī)制，遍歷每個(gè)后代，將后代中新生成的負(fù)幅度值取正。并且，產(chǎn)生疊加隨機(jī)值的標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)隨著迭代次數(shù)增加逐漸減少，保證后期及時(shí)收斂到最優(yōu)值。

σmax和σmin是標(biāo)準(zhǔn)差的最大值和最小值，r是非線性調(diào)和因子，則某一迭代時(shí)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差可用下式表達(dá)

(7)

這個(gè)表達(dá)式使得種子散落在雜草周?chē)母怕孰S進(jìn)化代數(shù)非線性遞減，最終淘汰適應(yīng)度差的個(gè)體和逐漸收斂收獲最優(yōu)解。

4)競(jìng)爭(zhēng)淘汰：如果一塊田地的雜草沒(méi)有后代它將被淘汰，否則它將占領(lǐng)整個(gè)田地。但田地的資源有限，因此，雜草之間會(huì)進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)來(lái)淘汰適應(yīng)力差的個(gè)體，限制種群的總數(shù)量。在進(jìn)化初期種群個(gè)體較少，種群會(huì)迅速繁殖，所有雜草和種子后代都會(huì)保留，當(dāng)種群數(shù)量到達(dá)最大臨界值時(shí)，所有父代雜草個(gè)體和長(zhǎng)成雜草的種子一起開(kāi)始競(jìng)爭(zhēng)淘汰。

雜草入侵優(yōu)化算法的流程圖如圖1所示。

圖1 雜草入侵優(yōu)化算法的步驟流程圖

4 仿真研究

對(duì)于陣元間距d=0.5λ的未缺失20陣元均勻直線陣列，文獻(xiàn)[7]中，在計(jì)算次數(shù)為100000，種群規(guī)模為50時(shí)，差分進(jìn)化算法(DE)優(yōu)化的最大副瓣電平為-29.93dB，粒子群算法(PSO)優(yōu)化后的副瓣電平為-30.69dB。文獻(xiàn)[5]改進(jìn)的GA在種群規(guī)模50，最大進(jìn)化代數(shù)1500，得到的最大副瓣電平為-32.86dB，耗時(shí)14分鐘左右，提出的GA-IWO算法最大種群150，副瓣電平-33.23dB，耗時(shí)382秒。本文改進(jìn)的雜草入侵優(yōu)化方法在迭代45次時(shí)優(yōu)化的20陣元副瓣電平為-34.7dB，在2.5GHz主頻的計(jì)算機(jī)上，運(yùn)行時(shí)間3.8260秒。對(duì)于26陣元的線陣列能夠在120次時(shí)得到-41.27dB的副瓣電平。而文獻(xiàn)[13]未改進(jìn)的IWO算法在相同種群規(guī)模和時(shí)間等條件下優(yōu)化26陣元得到的最大副瓣電平在-30dB左右。文中給出20陣元優(yōu)化后的陣元激勵(lì)幅度如表1，圖2是不同算法對(duì)比低旁瓣方向圖，圖3是本文算法運(yùn)行120次后優(yōu)化26陣元的超低旁瓣方向圖。

表1 20陣元激勵(lì)幅度分布

圖2 不同算法對(duì)比低旁瓣方向圖

圖3 優(yōu)化26陣元對(duì)比低旁瓣方向圖

通過(guò)圖2顯示，在所有算法經(jīng)過(guò)50輪優(yōu)化后來(lái)評(píng)估各算法性能，可以看出本文改進(jìn)的雜草入侵優(yōu)化算法相比其它算法，在20陣元方向圖中優(yōu)化后的副瓣電平降低明顯。從圖3可以看出在優(yōu)化26陣元時(shí)能夠得到超低副瓣電平-41.27dB，改進(jìn)后的算法，在保證主瓣不會(huì)展寬的同時(shí)，使副瓣電平降低明顯，同時(shí)由于采用FFT計(jì)算副瓣電平，節(jié)約大量時(shí)間，在2.5GHz主頻的計(jì)算機(jī)上，用時(shí)僅為9.4520秒。

同時(shí)為了觀察本文改進(jìn)的算法收斂程度，給出了優(yōu)化26陣元進(jìn)化過(guò)程中的對(duì)比收斂趨勢(shì)圖，如圖4。

圖4 采用入侵雜草優(yōu)化算法的進(jìn)化曲線

可以從圖4中看出，本文改進(jìn)雜草入侵算法在得到最優(yōu)解前收斂趨勢(shì)理想，沒(méi)有像遺傳算法出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，即沒(méi)有提前出現(xiàn)收斂曲線平直，長(zhǎng)時(shí)間陷入局部最優(yōu)的情況。隨著迭代進(jìn)化，本文改進(jìn)算法適應(yīng)度在一直增加，在相同情況下比傳統(tǒng)IWO算法獲得的副瓣電平要低，若在相同時(shí)間下，本文改進(jìn)算法能夠比傳統(tǒng)IWO得到更多的迭代次數(shù)和更低的旁瓣電平。

如果陣元天線損壞對(duì)應(yīng)陣元激勵(lì)幅度相位均變?yōu)?，使得旁瓣電平抬高惡化，本文下面采用改進(jìn)的雜草入侵優(yōu)化算法，對(duì)陣元失效后的方向圖進(jìn)行矯正恢復(fù)，優(yōu)化剩余的激勵(lì)幅度來(lái)重新降低副瓣電平。下面圖5即32天線單元線陣列隨機(jī)缺失第2、5、25、30總共四個(gè)陣元后的方向圖優(yōu)化前后對(duì)比，以此顯示本文改進(jìn)雜草優(yōu)化算法的方向圖校正能力。

圖5 本文改進(jìn)算法對(duì)方向圖校正前后對(duì)比

表2為利用本文改進(jìn)的雜草入侵優(yōu)化算法對(duì)陣元失效的激勵(lì)幅度優(yōu)化后的分布。在32陣元天線的第2、5、25和30天線單元缺失后，方向圖的旁瓣電平上升到-25dB，通過(guò)本文的改進(jìn)算法優(yōu)化后(雜草最大種群數(shù)150，最大迭代次數(shù)100次，運(yùn)行時(shí)間12.602秒)，可以將最大副瓣電平下降為-32.6943dB，矯正后降低了7.69dB。文獻(xiàn)[12]優(yōu)化32陣元副瓣電平為-30dB的泰勒加權(quán)線陣時(shí)，利用遺傳算法在種群個(gè)數(shù)為2000，算法的迭代次數(shù)為1000次的情況下，將副瓣電平降為-26.01dB，利用改進(jìn)的螢火蟲(chóng)算法在相同的種群個(gè)數(shù)和迭代次數(shù)情況下，將副瓣電平降為-26.33dB。為驗(yàn)證在實(shí)際工程中本文算法的優(yōu)化效果，在相控陣?yán)走_(dá)天線性能測(cè)試系統(tǒng)搭建的硬件平臺(tái)環(huán)境下，利用寬帶雙脊喇叭天線產(chǎn)生發(fā)射波束，用DAQSensor軟件對(duì)16個(gè)陣元通道進(jìn)行波形顯示及數(shù)據(jù)采集，圖6為利用本文改進(jìn)入侵雜草優(yōu)化算法，在迭代90次后，種群規(guī)模為150，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)16陣元缺失第6，15陣元進(jìn)行方向圖校正。

表2 缺失校正后32陣元分布

圖6 本文改進(jìn)算法對(duì)實(shí)測(cè)方向圖校正前后

根據(jù)圖6不同方向圖對(duì)比可以看出，缺失第6，15陣元副瓣電平降為-10.85dB，本文改進(jìn)入侵雜草算法優(yōu)化后旁瓣電平降為-18.81dB，仿真算法優(yōu)化后降為-18.04dB(雜草最大種群數(shù)150，最大迭代次數(shù)90次，運(yùn)行時(shí)間12.602秒)，優(yōu)化實(shí)測(cè)方向圖使得第一副瓣電平下降了7.96dB，而校正仿真方向圖副瓣電平下降了7.19dB，與實(shí)測(cè)的7.96dB近似，誤差較小。主瓣第一零點(diǎn)寬度相對(duì)于缺失前方向圖略展寬1°，副瓣形狀修正較均勻，副瓣電平較平均，校正實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的方向圖與仿真方向圖較吻合，可以看出，本文改進(jìn)入侵雜草優(yōu)化算法針對(duì)陣元失效的方向圖惡化問(wèn)題在實(shí)際的工程應(yīng)用中有一定校正能力。

4 結(jié)論

本文將雜草入侵優(yōu)化算法應(yīng)用在優(yōu)化線性陣列天線方向圖的副瓣電平抑制中，通過(guò)優(yōu)化陣元激勵(lì)幅度來(lái)使得副瓣區(qū)域電平降低到效果較好的水平。在每個(gè)仿真實(shí)例中，IWO都輕易實(shí)現(xiàn)優(yōu)化要求，在各個(gè)方向圖對(duì)比中魯棒性、運(yùn)算時(shí)間和最后最優(yōu)個(gè)體精度等都顯著優(yōu)于其它算法，體現(xiàn)了其優(yōu)越性。后期會(huì)考慮應(yīng)用雜草入侵優(yōu)化算法不僅控制激勵(lì)幅度，通過(guò)調(diào)整陣元位置和相位來(lái)控制天線方向圖形狀。