文／朱建良 范建剛

同學(xué)們，在本章中，我們將一起領(lǐng)略幾何學(xué)中的一顆光彩奪目的明珠——勾股定理。它被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，有著悠久的歷史，是人類的智慧結(jié)晶。

一、數(shù)形結(jié)合，奇妙完美

相傳2500年前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家的地板很有趣，4個(gè)全等的等腰直角三角形可以拼成1個(gè)正方形（如圖1），而且等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（如圖2）。畢達(dá)哥拉斯陷入深思：兩條直角邊不相等的直角三角形有這個(gè)性質(zhì)嗎？于是他著手從特殊到一般，去探究直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。

圖1

圖2

在我國(guó)古代，《周髀算經(jīng)》最早記錄了“勾股定理”。同學(xué)們，請(qǐng)觀察圖3，3個(gè)正方形的面積分別為a2、b2、c2，你能通過(guò)推理計(jì)算，體會(huì)數(shù)與形的完美結(jié)合，感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系嗎（a2+b2=c2）？

圖3

二、出入相補(bǔ)，各從其類

勾股定理有上百種證法，數(shù)學(xué)家們想方設(shè)法去證明它，可見(jiàn)它的魅力所在。

如圖4，三國(guó)時(shí)期東吳數(shù)學(xué)家趙爽將正方形中的4個(gè)直角三角形涂上紅色，把中間的正方形涂上白色，經(jīng)拼補(bǔ)搭配，證明了勾股定理。圖5是圖4的拼圖模型，得到2ab+（b-a）2=c2。魏晉數(shù)學(xué)家劉徽通過(guò)“出入相補(bǔ)，各從其類”，也巧妙地證明了勾股定理（如圖6）。“出”表示面積減少，“入”表示面積增加，“出入相補(bǔ)，各從其類”即面積不變，與我們的割補(bǔ)原理類似。這些證明方法都說(shuō)明了幾何方法的多樣、靈活和美麗。

圖4

圖5

圖6

三、以數(shù)示形，以形思數(shù)

一個(gè)三角形滿足什么條件才是直角三角形？

古埃及人用13個(gè)等距的結(jié)，把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一人同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，另外兩人分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角在第4個(gè)結(jié)處。相傳我國(guó)古代大禹在治水時(shí)也用過(guò)類似的方法確定直角。

如圖7，在△ABC中，已知a2+b2=c2，△ABC是直角三角形嗎？我們先畫(huà)RtΔA′B′C′，使∠C′=90°，取B′C′=a，A′C′=b，如圖8，再根據(jù)勾股定理證 明A′B′2=a2+b2，再 用“SSS”證 明△ABC≌△A′B′C′，說(shuō)明∠C=90°。同學(xué)們，要證明一個(gè)圖形的某種性質(zhì)，我們可先構(gòu)造具有這種性質(zhì)的圖形，再證明它與已知圖形是“同樣的”。這種證明方法稱為“同一法”。我們通過(guò)“同一法”，可以感受勾股定理蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想。

圖7

圖8

四、學(xué)以致用，轉(zhuǎn)化方程

有首歌這樣唱道：“波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮；鮮艷多姿湖中立，猛遭狂風(fēng)吹一邊；紅蓮斜臥水淹面，距根生處兩尺遠(yuǎn)；漁翁發(fā)現(xiàn)忙思考，湖水深淺有多少?！比鐖D9，你能替漁翁計(jì)算出湖的水深嗎？

圖9

我們?cè)O(shè)水深為x尺，則AC=x，BC=2，DE=在Rt△ABC中，可列方程，得x=3.75（尺）。我們將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型后，運(yùn)用勾股定理列出方程，便可解決。

同學(xué)們，你們感受到數(shù)學(xué)證明的優(yōu)美與精巧了嗎？感受到應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題后的喜悅與快樂(lè)了嗎？數(shù)學(xué)是人類的一種文化，也是人類文明的積淀和傳承。讓我們一起走進(jìn)勾股定理，感受它豐富的內(nèi)涵吧。