袁 祥， 高 飛， 廉自生

(1.太原理工大學 機械與運載工程學院， 山西 太原 030024；2.煤礦綜采裝備山西省重點實驗室， 山西 太原 030024)

引言

液壓支架是綜采工作面的核心裝備，主要將頂板的載荷通過支架頂梁傳送到支架底座，底座與底板耦合實現(xiàn)載荷的傳遞過程，為井下環(huán)境提供了安全的操作空間[1-2]。隨著開采高度的逐漸增加，工作面周圍礦壓分布的不確定性增強，使得液壓支架的支護姿態(tài)也呈現(xiàn)出多種非理想工作狀態(tài)[3]，因此， 對液壓支架姿態(tài)的全面監(jiān)控對井下安全生產(chǎn)尤為重要。

液壓支架作為二自由度的工業(yè)機器人，可將頂梁末端活動范圍的集合定義為可達工作空間。現(xiàn)有的工作空間分析法分為3種：解析法、圖解法和數(shù)值法。其中，解析法和圖解法對較少自由度或連桿的機械臂較為適用，數(shù)值法則針對較為復雜的機械臂?？紤]到液壓支架的自由度較少，因此，本研究選取解析法建立液壓支架的運動學模型。

曹毅等[4]通過隨機概率法應用到空間關系的映射，得到了三維曲面；陳子明等[5]完成三自由度的腳踝的空間位姿信息求解；周毅鈞等[6]基于矢量法和空間坐標變換，利用MATLAB完成了并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)特性；張清松等[7]基于MATLAB對機械臂空間姿態(tài)進行分析，并得到機械臂的工作云圖；楊凱等[8]基于MATLAB Robotics工具分析了八自由度機械臂的動態(tài)變化規(guī)律；潘炳成等[9]采用SolidWorks和MATLAB結(jié)合，對四自由度的機械手進行動態(tài)仿真；趙志亮等[10]對七自由度的機械臂進行正逆運動學分析，得到機械臂的運動集合的空間云圖；劉懷周等[11]建立深水作業(yè)機械臂的運動學模型，得到機械臂有效空間界面。諸多學者對不同類型機構(gòu)的運動特征進行了探討[12-15]。

本研究基于Denavit-Hartenberg(D-H)理論，利用MATLAB軟件串聯(lián)了液壓支架的工作空間，并利用Alpha Shape理論分析了液壓支架的有效支護姿態(tài)以及工作空間的運動軌跡和邊界點，并通過自主開發(fā)的無線傳感網(wǎng)對模型進行了驗證。

1 運動學模型

選取ZY1000/08/15D型液壓支架為研究對象，如圖1所示，建立液壓支架的運動學模型，如圖2所示。首先定義支架的絕對坐標系{O}，選取支架底座O點作為絕對坐標原點，定義水平向右為X軸正方向，垂直向上為Y軸正方向；底座所在的坐標系為{O1}，OA為Y軸正方向，垂直O(jiān)A向右為X軸正方向；后連桿所在坐標系為{O2}，AC為Y軸正方向，垂直AC向右為X軸正方向；掩護梁所在坐標系為{O3}，CF為Y軸正方向，垂直CF向右為X軸正方向；頂梁所在坐標系為{O4}，平行于FK′為Y軸正方向，垂直于FK′向上為X軸正方向。絕對坐標系{O}到相對坐標系{O1}的旋轉(zhuǎn)角度為θ1，絕對坐標系{O1}到相對坐標系{O2}的旋轉(zhuǎn)角度為θ2，絕對坐標系{O2}到相對坐標系{O3}的旋轉(zhuǎn)角度為θ3，絕對坐標系{O3}到相對坐標系{O4}的旋轉(zhuǎn)角度為θ4，其中選取逆時針為正。

圖1 液壓支架

圖2 液壓支架連桿坐標系

從坐標系{Oi-1}到相對坐標系{Oi}的傳遞矩陣可表示為：

(1)

式中， {Oi}為第i個相對坐標系，i={1,2,3,4}；R為旋轉(zhuǎn)矩陣；D為平移矩陣；T為最終旋轉(zhuǎn)矩陣；

支架具體的D-H結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。從絕對坐標系{O}依次到相對坐標系{O4}的齊次變化矩陣為：

表1 支架D-H具體參數(shù)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，iTi+1中的i={0,1,2,3}，表示從第i個相對坐標系{Oi}到第(i+1)個相對坐標系{Oi+1}的旋轉(zhuǎn)矩陣；θ1，θ2，θ3，θ4表示依次從絕對坐標到相對坐標的旋轉(zhuǎn)角度；d1表示OA的長度；d2表示AC的長度；d3表示CF的長度；d4表示FK′的長度。

頂梁所在相對坐標系到絕對坐標系的傳遞矩陣為：

(6)

式中，(dx，dy，dz)T表示支架端點的中心位置矢量；(ax，ay，az)T表示支架端點的逼近矢量；(nx，ny，nz)T表示支架端點的法向矢量；(ox，oy，oz)T表示支架端點的端面矢量。

當每個旋轉(zhuǎn)矩陣得到后，可以確定液壓支架的每個關鍵點的絕對坐標：

選取支架頂梁前端的K點作為參考點，則支架的支護高度定義為：

(8)

掩護梁和頂梁的旋轉(zhuǎn)角為：

(9)

式中，l1表示掩護梁與頂梁的鉸接點到平衡缸與頂梁的鉸接點的長度；l2表示掩護梁與頂梁的鉸接點到平衡缸與掩護梁的鉸接點的長度；λ2表示平衡缸的有效長度。

通過對四連桿機構(gòu)的結(jié)構(gòu)關系分析，可以得到立柱的長度與其余部件之間旋轉(zhuǎn)角的求解，最終得到頂梁、掩護梁、后連桿以及底座的空間姿態(tài)角：

(10)

(11)

式中，γ表示立柱在頂梁的鉸接點到平衡缸在掩護梁的鉸接點的連線(GD)與立柱在底座的鉸接點到平衡缸在掩護梁的鉸接點的連線(DJ)的夾角；l3表示前連桿與掩護梁的鉸接點到立柱與底座鉸接點的長度；l4表示前連桿與掩護梁的鉸接點到立柱與頂梁鉸接點的長度；λ1表示立柱的有效長度；l5表示掩護梁與前連桿和后連桿的鉸接點的長度；l6表示掩護梁與后連桿的鉸接點到底座與前連桿的鉸接點的長度；l7表示后連桿的長度；l8表示前連桿的長度；l9表示底座與前連桿和后連桿鉸接點的長度；ω表示前、后連桿在掩護梁鉸接點連線(DC)與掩護梁在后連桿鉸接點到前連桿在底座鉸接點的連線(BC)的夾角；ψ表示后連桿分別在掩護梁、后連桿鉸接點的連線(AC)與前連桿在底座鉸接點的連線(BC)的夾角。

根據(jù)式(1)～式(11)，支架的相關支護信息為：

(12)

式中，xH，xI，xE，xG分別表示H，I，E，G點在絕對坐標系下的橫坐標；yH，yI，yE，yG分別表示H，I，E，G點在絕對坐標系下的縱坐標。

K點的全局坐標為：

(13)

2 運動空間邊界點提取

通過上述公式對頂梁端點K求解，最終得到K點的工作空間。針對液壓支架頂梁端點工作空間的特性，采用Alpha Shape理論，基于MATLAB軟件的計算功能，對空間集合點的邊界提取，具體實現(xiàn)過程如下：

(1) 將前述支架端點進行集合化處理，在得到的點集中任選一點K0，給出一個參量滾動半徑α，與K0間距小于2α的點重新組成新的集合，進而從新得到的集合中再選擇任意一點K1，通過式(14)和式(15)計算圓心K1O；

(2) 依次求出新集合中所有點到K1O的距離；

(3) 若都大于α，可判定為邊緣點；若有部分小于α，則重新執(zhí)行上述(1)和(2)過程，直到計算滿足要求；

(4) 上述集合遍歷后，對總體集合的下一目標點進行游歷，直到完全結(jié)束。

(14)

(15)

式中，x，y分別為支架K點運動空間的點。

圖3為支架的工作空間圖，其中圓點表示頂梁端點的工作空間集合。從圖中可以看出，基于Alpha Shape算法，可以較好的實現(xiàn)對頂梁整個工作空間邊界點的提取，完成了頂梁運動空間邊界的定義，為智能化操作提供了邊界條件。

圖3 頂梁端點K的運動軌跡

3 仿真結(jié)果分析

3.1 立柱伸縮量對旋轉(zhuǎn)角度的影響

當平衡缸的長度L2分別為437， 500， 562 mm時，對比分析了各個坐標系的相對旋轉(zhuǎn)角度隨立柱長度L1的變化規(guī)律。

空間旋轉(zhuǎn)角度θ2隨立柱長度L1的變化規(guī)律如圖4所示。隨著立柱長度的增加，從底座{O1}到后連桿{O2}的相對旋轉(zhuǎn)角度逐漸降低；其角度的大小隨著平衡缸長度的增大呈現(xiàn)整體上升趨勢。

圖4 立柱與相對轉(zhuǎn)角θ2關系

空間旋轉(zhuǎn)角度θ3隨立柱長度L1的變化規(guī)律如圖5所示。立柱長度越長，從后連桿{O2}到掩護梁{O3}的相對旋轉(zhuǎn)角度呈現(xiàn)相反的變化趨勢；平衡缸長度越大，相對轉(zhuǎn)角也越大。

圖5 立柱與相對轉(zhuǎn)角θ3關系

空間旋轉(zhuǎn)角度θ4隨立柱長度L1的變化規(guī)律如圖6所示。支架立柱長度的變化對從掩護梁{O3}到頂梁{O4}的旋轉(zhuǎn)角度無影響，這主要是因為掩護梁和頂梁的相對轉(zhuǎn)角主要受平衡缸的影響；而隨著平衡缸長度的增加，相對轉(zhuǎn)角θ4呈現(xiàn)出相反變化趨勢。

圖6 立柱與相對轉(zhuǎn)角θ4關系

3.2 平衡缸伸縮量對旋轉(zhuǎn)角度的影響

當立柱長度L1分別為763, 996, 1322 mm時，對比各個坐標系的相對旋轉(zhuǎn)角度隨平衡缸長度L2的變化規(guī)律?？臻g旋轉(zhuǎn)角度θ2隨平衡缸長度L2的變化規(guī)律如圖7所示。隨著平衡缸長度的增加，從底座{O1}到掩護梁{O2}的旋轉(zhuǎn)角度也同步增加；隨著立柱長度的增加，此旋轉(zhuǎn)角度整體呈現(xiàn)降低的趨勢。

圖7 平衡缸與相對轉(zhuǎn)角θ2關系

空間旋轉(zhuǎn)角度θ3隨平衡缸長度L2的變化規(guī)律如圖8所示。隨著平衡缸長度的增加，空間旋轉(zhuǎn)角度θ3也線性增大；從后連桿{O2}到掩護梁{O3}的相對轉(zhuǎn)角隨立柱長度反向變化。

圖8 平衡缸與相對轉(zhuǎn)角θ3關系

空間旋轉(zhuǎn)角度θ4隨平衡缸長度L2的變化規(guī)律如圖9所示。平衡缸長度的增加對空間旋轉(zhuǎn)角度θ4有相反的影響，而立柱長度的變化則對此相對轉(zhuǎn)角無影響。

圖9 平衡缸與相對轉(zhuǎn)角θ4關系

4 實驗驗證

為驗證姿態(tài)模型的正確性，對ZY1000/08/15D型液壓支架進行了實驗，圖10為基于自主研制的無線感知網(wǎng)絡搭建的單臺液壓支架無線感知實驗臺，其感知網(wǎng)絡包含3臺本安型無線傾角傳感器、1臺支架控制器、1臺本安型轉(zhuǎn)換器。其中內(nèi)部傳感器通過ZigBee協(xié)議完成信號傳輸，后經(jīng)過RS485總線將信號傳至上位機；無線傾角傳感器的安裝位置分別為底座、頂梁以及后連桿處。

圖10 液壓支架實驗臺

當平衡缸的長度為485.4 mm時，通過改變立柱的長度，測量頂梁、掩護梁以及后連桿的傾角變化，測量結(jié)果如圖11所示?？梢钥闯?，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，因此，此數(shù)學模型能夠準確的計算液壓支架的支護姿態(tài)。

圖11 實驗與仿真結(jié)果對比

5 結(jié)論

(1) 立柱長度越大，底座{O1}到后連桿{O2}的相對轉(zhuǎn)角θ2以及后連桿{O2}到掩護梁{O3}的相對轉(zhuǎn)角θ3越小，而掩護梁{O3}到頂梁{O4}的相對轉(zhuǎn)角θ4則不受立柱變化的影響；

(2) 隨著平衡缸長度的增大，底座{O1}到后連桿{O2}的相對轉(zhuǎn)角θ2以及后連桿{O2}到掩護梁{O3}的相對轉(zhuǎn)角θ3同步增加，而掩護梁{O3}到頂梁{O4}的相對轉(zhuǎn)角θ4逐漸降低；

(3) 通過自主研發(fā)的無線傳感網(wǎng)絡對ZY1000/08/15D型液壓支架進行了實驗，驗證了模型的正確性，為液壓支架的信息化提供了進一步的技術(shù)支持。