福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈

福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) (350319) 周 寧

1.試題與解答

山東省作為新高考綜合改革的先行省份，其命制的第一份新高考數(shù)學(xué)試卷引起社會(huì)廣泛關(guān)注.其中，吸引筆者更多目光的是該卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題.

試題已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

試題第(2)問以學(xué)生熟悉的恒成立條件下求參數(shù)范圍問題呈現(xiàn)，乍看平淡無奇，樸實(shí)無華，細(xì)細(xì)品味后卻感覺內(nèi)涵豐富，給人啟迪.

對(duì)于含參函數(shù)試題，求解的通法是參數(shù)分離法或求導(dǎo)法.但該題包含了以e為底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，因指數(shù)對(duì)數(shù)纏結(jié)，運(yùn)用參數(shù)分離法求解無法分離出參數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解無法求出極值點(diǎn)，所以此類問題一般都是利用同構(gòu)法予以求解.

所謂同構(gòu)法，是指通過對(duì)不等式恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為形如F(g(x))≥F(h(x))(或F(g(x))>F(h(x)))的結(jié)構(gòu)，利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)的單調(diào)性予以求解的方法.下面是文[1]中利用同構(gòu)法給出試題第(2)問的一個(gè)解答.

解析：由題意f(x)≥1恒成立等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx恒成立，等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立.令F(x)=ex+x，則F′(x)=ex+1>0，F(xiàn)(x)關(guān)于x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，從而elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立等價(jià)于F(lna+x-1)≥F(lnx)恒成立，等價(jià)于lna+x-1≥lnx恒成立，即lna≥lnx-x+1恒成立.

2.分析與思考

3.啟迪與簡(jiǎn)解

基于對(duì)數(shù)學(xué)美的感悟和啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)如果基于數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美予以解答，問題可解決得更為直觀簡(jiǎn)捷.

評(píng)注：上述解法的巧妙之處在于充分利用了表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和函數(shù)圖像的特征，彰顯了數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)解題中的引領(lǐng)和指導(dǎo)作用.

4.體會(huì)和感悟

解題需要常規(guī)的固定模式，看到這道題，你的第一反應(yīng)是什么？迅速生成常規(guī)方案，也即第一方案.因?yàn)?0%的高考題是基本的、穩(wěn)定的，處理難題，從方法論的角度講就是轉(zhuǎn)換視角.常態(tài)方案不行，就需換一個(gè)方案；這種說法與思路不通，就需換一個(gè)說法.但如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換呢？如何把問題轉(zhuǎn)換到我們熟悉的領(lǐng)域呢？這需要經(jīng)驗(yàn)的積累，需要思想的立意，更需要數(shù)學(xué)美的啟迪和引領(lǐng).

教學(xué)中教師要不斷創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)美的認(rèn)知活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的活動(dòng)中感知數(shù)學(xué)美，體悟數(shù)學(xué)美，追尋數(shù)學(xué)美，應(yīng)用數(shù)學(xué)美，讓他們?cè)诿赖难障炊Y中切實(shí)培養(yǎng)起數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展起數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).