孫 逸，張西龍

（中國(guó)電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，陜西省西安市 710065）

0 引言

可靠度理論，一般是基于應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論而建立的靜態(tài)分析理論[1]。然而在實(shí)際工況下，設(shè)備受到的載荷往往是多次且隨機(jī)的，并且設(shè)備在疲勞、老化等因素的影響下，其強(qiáng)度也必然會(huì)變化，因此，基于干涉理論的可靠性模型一般會(huì)造成不可忽視的誤差[2-3]。國(guó)內(nèi)學(xué)者王正[4]運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，建立隨機(jī)載荷多次作用下的等效分布函數(shù)，將隨機(jī)載荷的作用次數(shù)視為隨時(shí)間變化的量，由此提出了動(dòng)態(tài)可靠度計(jì)算理論。

對(duì)于風(fēng)電設(shè)備，由于其輸入載荷、材料狀態(tài)等均具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性，可靠性模型往往處于非線性受力狀態(tài)。同濟(jì)大學(xué)李杰教授[5]及其團(tuán)隊(duì)提出了一種適用于一般隨機(jī)系統(tǒng)，可以分析系統(tǒng)隨機(jī)信息的概率密度演化理論，在復(fù)雜多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析方面取得了較為不錯(cuò)的反響。本文結(jié)合王正提出的動(dòng)態(tài)可靠度模型與李杰的概率密度演化法，提出一種新的動(dòng)態(tài)可靠度計(jì)算方法，旨在獲得真實(shí)、有效且計(jì)算簡(jiǎn)便的結(jié)果。

1 動(dòng)態(tài)可靠度的概述

一般情況下，風(fēng)電設(shè)備可靠性的設(shè)計(jì)與核驗(yàn)多采用有限元建模方法，即對(duì)風(fēng)電設(shè)備各個(gè)零件進(jìn)行強(qiáng)度分析，繼而擴(kuò)展至整個(gè)機(jī)組系統(tǒng)。該方法基于商業(yè)軟件的計(jì)算，是現(xiàn)在的主流分析手段[5]。但是，有限元建模方法往往只能對(duì)模型進(jìn)行靜力、較短時(shí)間范疇的動(dòng)力可靠度計(jì)算。這與實(shí)際情況下有著顯著的差異，風(fēng)電機(jī)組往往承受著強(qiáng)風(fēng)、地震等在空間、時(shí)間、強(qiáng)度維度上變化的隨機(jī)載荷。因此，單一地考慮風(fēng)電設(shè)備在某時(shí)間節(jié)點(diǎn)、受到某一定量的載荷而求得的靜態(tài)可靠度，無法準(zhǔn)確地計(jì)算長(zhǎng)時(shí)間工作的風(fēng)電設(shè)備壽命與可靠度，不具備普適性。

可靠度，作為工程領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的指標(biāo)，其對(duì)于產(chǎn)品設(shè)備的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、維護(hù)修理、壽命預(yù)測(cè)有著不可代替的指導(dǎo)作用。因此，精確計(jì)算設(shè)備可靠性，從而保障人員生命安全、減少財(cái)產(chǎn)損失、節(jié)約生產(chǎn)成本的目的，是現(xiàn)代機(jī)械領(lǐng)域十分重要的研究方向。

可靠性，是定性指標(biāo)，一般指設(shè)備在一定時(shí)間下，正常運(yùn)轉(zhuǎn)的能力。而可靠度，則是數(shù)量指標(biāo)，指設(shè)備在一定時(shí)間下，正常運(yùn)轉(zhuǎn)的概率[6]。

假定某一設(shè)備零件所受載荷的應(yīng)力S和自身的強(qiáng)度γ分別為服從相互獨(dú)立的某種隨機(jī)分布的概率函數(shù)，其概率密度函數(shù)分別為fS（S）、fγ（γ）。則可靠度可定義為：

如圖1所示為應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論的示意圖。在同一坐標(biāo)系下，當(dāng)載荷S與零件強(qiáng)度γ分別服從某種分布時(shí)，二者的概率密度未重疊部分屬于絕對(duì)安全區(qū)，因?yàn)樵搮^(qū)域內(nèi)γ＞S；載荷S與零件強(qiáng)度γ重疊部分，即圖中陰影為失效區(qū)，γ＜S，稱之為應(yīng)力S和強(qiáng)度γ的干涉區(qū)。顯然，當(dāng)干涉區(qū)越小，意味著可靠度越大，零件越安全。

圖1 應(yīng)力S和強(qiáng)度γ的干涉Figure 1 Interference between S and γ

由積分學(xué)可得，事件（γ＞S）發(fā)生的概率，即可靠度為：

實(shí)際工作中，機(jī)械設(shè)備往往是在服役期內(nèi)多次往復(fù)運(yùn)作，若忽視應(yīng)力作用次數(shù)及其帶來的疲勞磨損，將會(huì)導(dǎo)致模型計(jì)算與實(shí)際工程嚴(yán)重脫節(jié)。

由應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論可得，載荷多次作用下的零件可靠度可通過如下積分式獲得：

設(shè)在任意時(shí)刻t，載荷出現(xiàn)n次的概率服從參數(shù)為λ的分布：

其中，N（t）指在時(shí)刻t時(shí)載荷出現(xiàn)n次；P（n）為載荷出現(xiàn)n次的概率。

結(jié)合可靠度公式（3），零件在t時(shí)刻載荷作用n次時(shí)的可靠度為：

通過極限求和，可以最終得到零件在任意時(shí)刻下的動(dòng)態(tài)可靠度：

進(jìn)一步對(duì)公式（6）中的指數(shù)部分進(jìn)行泰勒展開，可以將其化簡(jiǎn)為：

以上公式都是建立在零件自身的強(qiáng)度不變的基礎(chǔ)上進(jìn)行。但在實(shí)際工程中，機(jī)械零件自身由于疲勞損傷、腐蝕老化等原因，其強(qiáng)度會(huì)發(fā)生退化。本文將零件強(qiáng)度的退化簡(jiǎn)化為與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，對(duì)原強(qiáng)度分布進(jìn)行加權(quán)處理。零件的強(qiáng)度取決于初始強(qiáng)度γ0與加權(quán)因子的共同影響。其公式如下：

2 概率密度演化理論

上述動(dòng)態(tài)可靠度模型，將靜態(tài)可靠度改良為載荷多次作用下的時(shí)變動(dòng)態(tài)可靠度。但是，該模型僅僅將輸入載荷簡(jiǎn)單地歸納為一個(gè)或多個(gè)同種的載荷，再進(jìn)行簡(jiǎn)單地疊加、相乘。事實(shí)上，風(fēng)電機(jī)組的工況往往是復(fù)雜、多變的：無論是輸入載荷、零件自身狀況，其在時(shí)間、空間上的激勵(lì)均具有隨機(jī)性，導(dǎo)致結(jié)果是系統(tǒng)將以多個(gè)維度且非線性的形式輸出。若運(yùn)用干涉模型進(jìn)行積分，將會(huì)帶來巨大的計(jì)算量。而李杰教授[7]提出的概率密度演化法則很好地解決了這個(gè)問題，該理論的誕生就是為了解決土木工程中，強(qiáng)風(fēng)、地震、海嘯等強(qiáng)隨機(jī)性輸入下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)問題。

記Z（t）為需要研究解決的最終結(jié)果，系統(tǒng)所有的隨機(jī)參數(shù)用同一函數(shù)表征，則有等式如下：

表達(dá)為積分形式，則為：

在微小時(shí)間增量dt之后的t+dt時(shí)刻，Ωt+dt是Ωt及其邊界運(yùn)動(dòng)疊加的結(jié)果，即：

由此可見，無論在任意時(shí)刻t≠t0，Ωt均依賴于Ωθ。這也是必須考慮增廣系統(tǒng)而非系統(tǒng)Z(t)的原因。

將式（12）代入式（11），先考慮等式的右側(cè)，有：

將式（13）代入式（11）右側(cè)，化簡(jiǎn)可得：

應(yīng)用散度定理，并略去高階項(xiàng)，式（14）可記作：

考慮到Ωt×Ωθ的任意性，并消去等式兩邊的dt，可最終得到概率密度演化方程：

如圖2所示為不同時(shí)刻下典型概率密度演化函數(shù)。可以清楚地看到，隨著時(shí)間的演化，可靠度關(guān)于載荷強(qiáng)度的概率密度有著明顯的變化。隨著零件工作時(shí)長(zhǎng)的增加，可靠度的概率密度會(huì)逐漸“扁平化”，說明該零件在更廣泛的載荷范圍內(nèi)都有著失效的風(fēng)險(xiǎn)，即隨著零件工作時(shí)間的增加，其失效的可能性越大，這與我們的常識(shí)相符合。

圖2 不同時(shí)刻下典型概率密度演化函數(shù)Figure 2 Evolution function of typical probability density at different time

3 概率密度演化理論下的動(dòng)態(tài)可靠度

3.1 可靠度的數(shù)學(xué)模型

基于應(yīng)力強(qiáng)度干涉理論的可靠度概率密度函數(shù)表達(dá)式為：

由于結(jié)構(gòu)在服役過程中，不再有其他隨機(jī)載荷介入，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于概率守恒狀態(tài)，故pR(t)應(yīng)滿足概率密度演方程：

其中，a(t)為Dirac函數(shù)，它在除零以外的點(diǎn)上都等于零，且其在整個(gè)定義域上的積分等于1。

聯(lián)立式（18）與上述初始條件，可以求得動(dòng)態(tài)可靠度的密度函數(shù)p(r，t)。而通過對(duì)該密度函數(shù)關(guān)于載荷定義域上的不定積分，可得最終的動(dòng)態(tài)可靠度：

式（19）即為基于概率密度演化理論的零件動(dòng)態(tài)可靠度的理論解析表達(dá)式。由方程（18）可知，該聯(lián)立方程的求解可以視為于解偏微分方程的初值問題。

若考慮零件強(qiáng)度隨時(shí)間退化，可將零件強(qiáng)度進(jìn)行加權(quán)處理。一般零件強(qiáng)度退化模式有：線性退化、對(duì)數(shù)退化、指數(shù)退化。結(jié)合式（17）與強(qiáng)度退化函數(shù)，可得在退化條件下，多次隨機(jī)載荷下的可靠度概率密度函數(shù)表達(dá)式：

同式（18），其概率密度演方程為：

最終的動(dòng)態(tài)可靠度Rdec(t)的表達(dá)式為：

3.2 演化方程的數(shù)值計(jì)算

簡(jiǎn)單的偏微分方程，一般的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件就能滿足計(jì)算需要，但在面對(duì)存在巨大計(jì)算量的實(shí)際工程需要時(shí)，數(shù)值求解是現(xiàn)實(shí)而又必須的[8]。本文擬用數(shù)值分析中最常用的單邊差分格式有限差分法，來解決該問題。概率密度演化理論的數(shù)值計(jì)算可采用如圖3所示的流程。

圖3 計(jì)算流程圖Figure 3 Calculation flow chart

如圖4所示，對(duì)求解域進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分，即將r-t空間進(jìn)行離散：rn= nΔr，ti=iΔt。u在點(diǎn)（n，i）的值為，根據(jù)微分的數(shù)學(xué)定義，可以近似得到的值為。同理，。因此，偏微分方程在點(diǎn)（nΔr，iΔt）處可近似為：

圖4 網(wǎng)絡(luò)劃分Figure 4 Network division

3.3 算例

某一零件強(qiáng)度服從均值為μr=300MPa、標(biāo)準(zhǔn)差為σr=30MPa的正態(tài)分布；載荷S服從均值為μs=200MPa、標(biāo)準(zhǔn)差為σs=40MPa的正態(tài)分布。在載荷多次作用時(shí)，取λ=1，va(t)=0.5，誤差不超過10-3。

根據(jù)式（22），求得的動(dòng)態(tài)可靠度密度函數(shù)如圖5所示。

圖5 隨時(shí)間演化的概率密度函數(shù)Figure 5 Probability density function evolving with time

可以清晰看到，經(jīng)由概率密度演化法計(jì)算的動(dòng)態(tài)可靠度其概率密度會(huì)隨著時(shí)間的演化而扁平化，其函數(shù)圖峰值之間變低，在載荷強(qiáng)度定義域上逐漸分散?？v觀整個(gè)演化過程，其形如緩緩流動(dòng)的河流；在三維視角上，則如連綿不斷又高低起伏的山脈。該現(xiàn)象為概率守恒的系統(tǒng)在狀態(tài)空間中流動(dòng)演化的結(jié)果。回歸到零件可靠度的問題是，可以解讀為隨著零件工作的運(yùn)作，可靠度的密度函數(shù)在載荷域上的分布逐漸變寬，致使零件失效的載荷域漸漸變大，零件失效的可能性在不斷提高。

如圖6、表1所示，為利用概率密度演化法計(jì)算得到的動(dòng)態(tài)可靠度，與前文的動(dòng)態(tài)可靠度和蒙特卡羅法模擬10000次的對(duì)比?？梢姡帽疚姆椒ㄇ蟮玫目煽慷?，仍保留了失效規(guī)律的“盆浴曲線”，并且比應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論的結(jié)果更好地?cái)M合了蒙特卡洛模擬結(jié)果[9]。由圖可知，構(gòu)件磨合期結(jié)束后，零件的主要失效形式由磨損失效變?yōu)槠谑?，?gòu)件的失效率會(huì)顯著降低，可靠度下降趨勢(shì)則逐漸變緩。當(dāng)構(gòu)件工作時(shí)長(zhǎng)超過其額定工作時(shí)長(zhǎng)后，零件的主要失效形式又由疲勞失效變?yōu)槟p失效，失效率顯著上升，可靠度下降趨勢(shì)隨之增大。利用概率密度演化法求得的動(dòng)態(tài)可靠度，在構(gòu)件進(jìn)入疲勞失效期后，存在“磨損—疲勞”狀態(tài)改變的階變時(shí)間點(diǎn)，可靠度下降趨勢(shì)變化更加明顯，說明本文方法在描述構(gòu)件動(dòng)態(tài)可靠度的狀態(tài)改變方面更為準(zhǔn)確。分別利用PDEM和干涉理論計(jì)算出的結(jié)果，與蒙特卡洛法做對(duì)比散點(diǎn)圖，如圖7所示。顯然，相比較干涉理論，PDEM計(jì)算的動(dòng)態(tài)可靠度可以更好地?cái)M合蒙特卡洛模擬結(jié)果，這足以說明密度演化模型的準(zhǔn)確性。

圖6 零件的動(dòng)態(tài)可靠度Figure 6 Dynamic reliability of parts

圖7 散點(diǎn)圖Figure 7 Scatter chart

表1 不同時(shí)刻下單一零件的動(dòng)態(tài)可靠度Table 1 Dynamic reliability of a single part at different times

若考慮零件為強(qiáng)度隨時(shí)間退化，其退化因子為μ(t)=1-0.00004t的線性函數(shù)，則圖8為退化條件下單一零件的動(dòng)態(tài)可靠度，其中紅色為強(qiáng)度退化，黑色為強(qiáng)度不退化的對(duì)照組。表2為兩種條件下可靠度的數(shù)值記錄。

圖8 退化條件下單一零件的動(dòng)態(tài)可靠度Figure 8 Dynamic reliability of single part under degradation condition

表2 不同時(shí)刻強(qiáng)度退化零件的動(dòng)態(tài)可靠度Table 2 Dynamic reliability of parts with strength degradation at different times

4 結(jié)論

風(fēng)電設(shè)備的可靠度計(jì)算，多采用有限元建模的方式。該方法較為準(zhǔn)確、直觀，但由于有限元方法只能計(jì)算短時(shí)間內(nèi)的結(jié)果，無法預(yù)測(cè)其長(zhǎng)時(shí)間的狀態(tài)或可靠度。這顯然對(duì)于價(jià)值高、運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間長(zhǎng)的風(fēng)電設(shè)備是不利的。本文結(jié)合應(yīng)力—強(qiáng)度干涉理論與概率密度演化方法，提出了一種可以考慮多種隨機(jī)輸入載荷，預(yù)測(cè)設(shè)備實(shí)時(shí)可靠度的數(shù)學(xué)模型。通過與仿真數(shù)據(jù)與Monte Carlo模擬數(shù)據(jù)對(duì)比，該方法可以有效預(yù)測(cè)設(shè)備的壽命及可靠性，可以為有限元建模與工程實(shí)際提供必要的輔助作用。