邵 銘 宇 蘇 航

隨著21世紀(jì)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用層次和應(yīng)用范圍也在不斷深化和擴(kuò)展，數(shù)學(xué)建模作為溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域的橋梁，近年來成為各國課程的重要發(fā)展內(nèi)容。關(guān)于數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)新教學(xué)，國內(nèi)有許多學(xué)者嘗試提出解決方案，其中有很大一部分整合了信息技術(shù)或是真實(shí)的建模案例。比如譚玉華提倡真實(shí)世界中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，讓學(xué)生考慮原始背景的天然復(fù)雜性；①譚玉華. 真實(shí)情境驅(qū)動的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)[D/OL]. 華東師范大學(xué), 2004[2020–10–25]. https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CMFD&dbname=CMFD9904&filename=2004087948.nh&v=3qSfDUzZt9wYvyOXgG4N9ZRg88e8jSXks xKN9c9V0b63gQ0mECS8%25mmd2F%25mmd2FGhe%25mmd2BBAhZed.顏榮芳等人，朱維鈞和羅娟各自提出了現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的多種方式，包括利用數(shù)學(xué)軟件包完成復(fù)雜的模型求解、評價(jià)和驗(yàn)證，利用網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)直觀生動地展示問題背景信息、數(shù)學(xué)模型及其對參數(shù)變化的敏感性等；②顏榮芳, 張貴倉, 李永祥. 現(xiàn)代信息技術(shù)支持的數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新教育[J]. 電化教育研究, 2009(03): 98–100.③朱維鈞, 羅娟. 多媒體在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010, 10(02): 126–128.蔡蘇等人利用增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）技術(shù)開發(fā)教學(xué)材料，把真實(shí)環(huán)境的影像和虛擬的AR對象（數(shù)學(xué)模型）疊加到同一畫面，連通數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)習(xí)者還能對虛擬/現(xiàn)實(shí)對象進(jìn)行操作并接收相應(yīng)的視覺或數(shù)據(jù)反饋。④蔡蘇, 張晗, 薛曉茹, 等. 增強(qiáng)現(xiàn)實(shí) (AR) 在教學(xué)中的應(yīng)用案例評述[J]. 中國電化教育, 2017(3): 1–9.而在國際上，引入真實(shí)世界的案例或整合信息技術(shù)也是數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新教學(xué)中常見的做法。例如布拉克（Bracke）和蓋革（Geiger）、凱瑟（Kaiser）和施瓦茨（Schwarz）都曾在學(xué)校教學(xué)實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生解決源自真實(shí)世界的建模問題，包括德國高鐵軌道的設(shè)計(jì)、指紋識別、世界杯期間的交通流量等；⑤BRACKE M, GEIGER A. Real-World Modelling in Regular Lessons: A Long-Term Experiment[C]//KAISER G, BLUM W,FERRI R B, et al. Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling: ICTMA14. Dordrecht: Springer Netherlands,2011: 529–549.⑥KAISER G, SCHWARZ B. Authentic Modelling Problems in Mathematics Education?Examples and Experiences[J]. Journal Für Mathematik-Didaktik, 2010, 31(1): 51–76.內(nèi)維斯（Neves）等人介紹了一個(gè)操作較為簡單的計(jì)算機(jī)建模系統(tǒng)Modellus對學(xué)生數(shù)學(xué)建模活動的支持作用，該系統(tǒng)可以在交互式對象的動畫和該對象的數(shù)學(xué)模型之間建立可視化的實(shí)時(shí)對應(yīng)。⑦NEVES R G, SILVA J C, TEODORO V D. Improving Learning in Science and Mathematics with Exploratory and Interactive Computational Modelling[C]//KAISER G, BLUM W, FERRI R B, et al. Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling: ICTMA14. Dordrecht: Springer Netherlands, 2011: 331–339.還有學(xué)者關(guān)注教學(xué)法的革新。如布魯姆（Blum）和萊斯（Lei?）在大型項(xiàng)目DISUM中對比了兩種數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式：指令式和操作——策略性模式，發(fā)現(xiàn)后者能顯著提升學(xué)生的建模表現(xiàn)。⑧BLUM W, LEISS D. How Do Students and Teachers Deal with Modelling Problems?[C]//HAINES C, GALBRAITH P, BLUM W, et al. Mathematical Modelling: Education, Engineering and Economics (ICTMA12). Chichester: Horwood Publishing, 2007:222–231.這里的操作策略性模式強(qiáng)調(diào)為學(xué)生提供個(gè)性化的即時(shí)干預(yù)，它們遵循“最小幫助原則”，盡可能保持學(xué)生的獨(dú)立性。⑨ZECH F. Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik[M]. 8th ed. Weinheim: Beltz, 1996: 221.

上述種種方案雖然取得了一定的成效，但普遍沒能在資源設(shè)計(jì)、教學(xué)方法、技術(shù)操作層面同時(shí)給與教師支持。提倡真實(shí)情景的方案或是給出一些理論化的原則，或是關(guān)注個(gè)別建模案例的實(shí)踐，很少能給出可操作的、一般化的、關(guān)于真實(shí)世界數(shù)學(xué)建模任務(wù)的創(chuàng)設(shè)指南。引入信息技術(shù)或是新型教學(xué)方法的方案分別需要教師具有較高水平的軟件操作技能、教學(xué)靈活性或是對學(xué)生困難具有準(zhǔn)確的判斷，由于缺少系統(tǒng)的教師專業(yè)培訓(xùn)，它們通常無法在日常教學(xué)中長期實(shí)行。而德國的數(shù)學(xué)城市地圖項(xiàng)目（Math City Map-Project，簡稱MCM項(xiàng)目）提出以（移動）信息技術(shù)支持真實(shí)情景中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，同時(shí)提供通用型任務(wù)模板，搭建資源平臺并組織教師培訓(xùn)，較好地彌補(bǔ)了前述項(xiàng)目的不足。該項(xiàng)目于2012年由法蘭克福大學(xué)教授馬蒂亞斯·路德維希（Matthias Ludwig）發(fā)起，至今已和德國、法國、意大利、西班牙等多個(gè)國家的中學(xué)合作開展教學(xué)實(shí)驗(yàn)，在歐洲數(shù)學(xué)教育社區(qū)形成了廣泛影響。①參見項(xiàng)目門戶網(wǎng)站https://mathcitymap.eu。鑒于此，本研究深入分析該項(xiàng)目的特色，總結(jié)其中的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，取其精華去其糟粕，助力我國數(shù)學(xué)建模教學(xué)的創(chuàng)新改革。

一、理論框架和研究問題

數(shù)學(xué)建模在當(dāng)今世界的各個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，關(guān)于其含義也有不同的界定。這一部分聚焦我國高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中的數(shù)學(xué)建模，明確其內(nèi)涵，梳理我國中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的現(xiàn)狀，本研究引出德國數(shù)學(xué)城市地圖項(xiàng)目的借鑒價(jià)值，進(jìn)而確定具體的研究問題。

（一）數(shù)學(xué)建模的過程定義和能力劃分

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的定義，社會各界一個(gè)普遍的共識是，數(shù)學(xué)建模連通了現(xiàn)實(shí)世界和抽象形式化的數(shù)學(xué)世界，是一種從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的映射求解過程。按照這一觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模過程包含典型的四個(gè)節(jié)點(diǎn)——情景問題、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)結(jié)果和情景結(jié)果?和四個(gè)環(huán)節(jié)——表征、應(yīng)用、解釋和評價(jià)（PISA建模循環(huán)，見圖1）。②OECD. PISA2012 assessment and analytical framework: Mathematics, reading, science, problem solving and financial literacy[M]. Paris: OECD Publishing, 2013: 26.而布魯姆（Blum）等人認(rèn)為在情景問題和數(shù)學(xué)問題之間還存在一個(gè)關(guān)鍵的中間狀態(tài)——現(xiàn)實(shí)模型，并且更進(jìn)一步地，把客觀存在的現(xiàn)實(shí)問題情景和人們主觀上對這一問題情景的理解（情景模型）看作兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過幾次修訂，最終形成當(dāng)今國際上流傳較廣的七環(huán)節(jié)建模過程框架（見圖2）。①BLUM W, LEISS D. How Do Students and Teachers Deal with Modelling Problems?[C]//HAINES C, GALBRAITH P, BLUM W, et al. Mathematical Modelling: Education, Engineering and Economics (ICTMA12). Chichester: Horwood Publishing, 2007:222–231.對比四環(huán)節(jié)和七環(huán)節(jié)建模過程框架，不難發(fā)現(xiàn)后者是前者的擴(kuò)展和精細(xì)化版本，將七環(huán)節(jié)框架中的部分環(huán)節(jié)進(jìn)行合并和概括，就得到四環(huán)節(jié)框架。

圖1 PISA四環(huán)節(jié)建模循環(huán)

圖2 布魯姆七環(huán)節(jié)建模過程框架

由于布魯姆的七環(huán)節(jié)建?？蚣芎w的建模環(huán)節(jié)最多，以此為代表，本研究對這七個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行簡要介紹。如圖2所示，環(huán)節(jié)1：理解問題，構(gòu)造情景模型來描述現(xiàn)實(shí)問題情景。環(huán)節(jié)2：進(jìn)一步簡化和結(jié)構(gòu)化情景模型，提煉出現(xiàn)實(shí)模型和相關(guān)目標(biāo)。環(huán)節(jié)3：數(shù)學(xué)化——把現(xiàn)實(shí)的模型和問題翻譯為數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)問題，識別重要變量和關(guān)系。環(huán)節(jié)4：模型求解——用數(shù)學(xué)方法解決所提出的數(shù)學(xué)問題，獲得數(shù)學(xué)解答。環(huán)節(jié)5：解釋數(shù)學(xué)結(jié)果——根據(jù)具體的現(xiàn)實(shí)情景解讀數(shù)學(xué)結(jié)果，獲得現(xiàn)實(shí)結(jié)果。環(huán)節(jié)6：評價(jià)和反思——評價(jià)現(xiàn)實(shí)結(jié)果的有效性，討論模型中假設(shè)的合理性，分析和比較不同的模型。環(huán)節(jié)7：在現(xiàn)實(shí)問題情景中解讀現(xiàn)實(shí)結(jié)果。費(fèi)里（Ferri）指出，學(xué)習(xí)者不一定連續(xù)地遍歷上述所有環(huán)節(jié)，而是有可能直接從現(xiàn)實(shí)問題情景跳躍到數(shù)學(xué)模型，或是在兩個(gè)世界之間反復(fù)跳轉(zhuǎn)。②FERRI R B. Theoretical and Empirical Differentiations of Phases in the Modelling Process[J]. ZDM, 2006, 38(2): 86–95.21世紀(jì)以來，我國數(shù)學(xué)課程中對數(shù)學(xué)建模的描述也緊跟國際腳步，從不完備的四環(huán)節(jié)逐步發(fā)展為七環(huán)節(jié)。最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）指出數(shù)學(xué)建模過程主要包括“實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題”，與上述七個(gè)環(huán)節(jié)基本一致。③黃健, 魯小莉, 王鴦雨, 等. 20世紀(jì)以來中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的發(fā)展[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), 2019, 28(03): 18-23+41.

在界定數(shù)學(xué)建模過程的同時(shí)，許多學(xué)者都嘗試對數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行劃分。這些研究按照宏觀和微觀視角可以分為兩類。微觀視角下的數(shù)學(xué)建模能力是按照數(shù)學(xué)建模過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)劃分出若干“子能力”。這一做法在西方學(xué)者凱瑟（Kaiser），馬斯（Maa?），布洛姆霍伊（Blomh?j）和詹森（Jensen）等人的研究中較為常見。①KAISER G. Modelling and Modelling Competencies in School[C]//HAINES C, GALBRAITH P, BLUM W, et al. Mathematical Modelling: Education, Engineering and Economics(ICTMA12). Chichester: Horwood Publishing, 2007: 110–119.②MAASS K. What Are Modelling Competencies?[J]. ZDM, 2006, 38(2): 113–142.③BLOMH?J M, JENSEN T H. Developing mathematical modelling competence: Conceptual clarification and educational planning[J]. Teaching mathematics and its applications, 2003, 22(3): 123–139.對應(yīng)布魯姆七環(huán)節(jié)建模框架，即有理解現(xiàn)實(shí)問題情景、提煉現(xiàn)實(shí)模型、數(shù)學(xué)化、模型求解、解釋數(shù)學(xué)結(jié)果、結(jié)果評價(jià)和模型反思、解讀現(xiàn)實(shí)結(jié)果等子能力。④BLUM W. Can Modelling Be Taught and Learnt? Some Answers from Empirical Research[C]//KAISER G, BLUM W, FERRI R B,et al. Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling: ICTMA14. Dordrecht: Springer Netherlands, 2011: 15–30.微觀視角下的另一類研究是對數(shù)學(xué)建模“能力水平”的劃分，這些研究同樣是基于建模過程框架，認(rèn)為學(xué)生每往前推進(jìn)一個(gè)環(huán)節(jié)，即代表一次認(rèn)知障礙的突破，其建模能力的水平就越高。例如徐斌艷和路德維希 （Ludwig）根據(jù)七環(huán)節(jié)建模過程框架劃分出六個(gè)能力水平：水平0代表學(xué)生無法理解具體的現(xiàn)實(shí)情景，不能識別出任何問題；水平1代表學(xué)生能夠理解現(xiàn)實(shí)情景并將其結(jié)構(gòu)化，但是無法找到與數(shù)學(xué)相關(guān)的線索……以此類推。⑤徐斌艷, LUDWIG M. 中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力水平的實(shí)驗(yàn)分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2007(11): 1-2+30.這一水平劃分的方式也被國內(nèi)外的一些學(xué)者所沿用。⑥孫翔宇. 上海市高中生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查與分析[J]. 教育測量與評價(jià), 2016(06): 44–49.⑦M(jìn)EHRAEIN S, GATABI A R. Gender and Mathematical Modelling Competency: Primary Students’ Performance and Their Attitude[J]. Procedia - Social and Behavioral Sciences, 2014, 128: 198–203.

宏觀的視角下的建模能力研究將數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程納入考慮，根據(jù)問題情景的復(fù)雜度和學(xué)生實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)化的復(fù)雜程度，劃分出若干“能力水平”。比較典型的有PISA 2012中的四個(gè)水平——水平I：問題情景是純數(shù)學(xué)的，學(xué)生直接處理數(shù)學(xué)問題而不需要進(jìn)行數(shù)學(xué)化。水平II：從非數(shù)學(xué)情景中建立數(shù)學(xué)模型，模型需要的假設(shè)、變量、關(guān)系和約束條件已經(jīng)給出；通過給定的模型和數(shù)學(xué)結(jié)果，直接給情景下結(jié)論。水平III：模型所需的假設(shè)、變量、關(guān)系和約束條件能從題目中找到；修改一個(gè)給定的模型以適應(yīng)條件的改變；結(jié)合問題情景解讀一個(gè)模型或者數(shù)學(xué)結(jié)果。水平IV：模型所需的假設(shè)、變量、關(guān)系和約束條件需要定義；評價(jià)和反思與問題情景有關(guān)的模型；聯(lián)系或比較不同的模型。⑧TURNER R, BLUM W, NISS M. Using competencies to explain mathematical item demand: A work in progress[M]//STACEY K, TURNER R. Assessing mathematical literacy. Springer, 2015: 85–115.我國的新課標(biāo)在劃分學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平時(shí)也采取了同樣的方式，但刪除了純數(shù)學(xué)情景所對應(yīng)的水平。⑨中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M]. 北 京: 人民教育出版社, 2018.類似的劃分方式也見于朱婭梅，西列爾（Siller）等人的研究中。⑩朱婭梅. 我國八年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查研究[J]. 上海教育科研, 2017(04): 51–54.?SILLER H-S, BRUDER R, HASCHER T, et al. Competency level modelling for school leaving examination[C]//KRAINER K,VONDROVA, N. Proceedings of CERME9. Prague: Charles University in Prague, Faculty of Education and ERME, 2015:2716-2723.

對比微觀和宏觀視角下的數(shù)學(xué)建?！澳芰λ健毖芯浚罢叨喔鶕?jù)學(xué)生在某個(gè)特定問題中完成的建模環(huán)節(jié)來判定學(xué)生的水平，卻沒有考慮問題本身的特性，因而具有一定的局限性。一個(gè)在復(fù)雜問題情景中只達(dá)到水平2的學(xué)生，其建模能力未必不如在簡單情景中達(dá)到水平5的學(xué)生。而宏觀視角下的研究綜合考慮了建模問題本身的難度（問題情景的復(fù)雜度和需要數(shù)學(xué)化的程度）和學(xué)生在不同難度的建模問題中的表現(xiàn)，對學(xué)生的水平進(jìn)行了較為可靠的區(qū)分。綜上，本研究認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的“能力水平”更適合采用宏觀的視角（如PISA四水平模型）來劃分，數(shù)學(xué)建模的各項(xiàng)“子能力”更適合以微觀視角（即各種過程框架）來區(qū)分。

（二）我國中學(xué)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)困難和教學(xué)挑戰(zhàn)

我國新課標(biāo)將“數(shù)學(xué)建模”列為核心素養(yǎng)和高中課程內(nèi)容主線之一，強(qiáng)調(diào)了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要性。但若干實(shí)證調(diào)查表明，我國中學(xué)的數(shù)學(xué)建模教育任重道遠(yuǎn)。這些研究中，有不少是基于微觀視角和七環(huán)節(jié)建模過程框架，劃分出若干數(shù)學(xué)建模的“能力水平”或“子能力”，調(diào)查對象涉及上海、長沙、大同、西安、鄭州等不同地區(qū)的初高中生，用于測試的建模問題多為“菠蘿削皮”“足球縫制”“粉筆設(shè)計(jì)”等貼近現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜問題。結(jié)果顯示：學(xué)生提煉現(xiàn)實(shí)模型和數(shù)學(xué)化的子能力（對應(yīng)七環(huán)節(jié)建?？蚣艿沫h(huán)節(jié)2－3）普遍較弱。彭墨緣還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在建模完成后很少能考慮其他可能的模型假設(shè)，也即學(xué)生對模型的反思能力（環(huán)節(jié)6）較差。①孫翔宇. 上海市高中生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查與分析[J]. 教育測量與評價(jià), 2016(06): 44–49.②彭墨緣. 高中生數(shù)學(xué)建模能力性別差異研究[D/OL]. 華東師范大學(xué), 2017[2020–10–31]. https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CMFD&dbname=CMFD201801&filename=1017073315.nh&v=UD%25mmd2BQuNHDQSTSJaCb1 LG6pPbIenjmVv0BM3ucc4Hebarl5b3l2isD9bxxnWdTh7K0.③徐斌艷, 沈丹. 我國學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力水平分析??以6~9年級學(xué)生的“縫制足球”實(shí)驗(yàn)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2014(07): 37–40.另一些研究采用宏觀的視角和PISA2012的水平模型，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在再現(xiàn)層次的數(shù)學(xué)建模問題（水平I－II）中完成度較高，能熟練識別常見的標(biāo)準(zhǔn)模型，但在聯(lián)系和反思層次的問題上（水平III－IV）表現(xiàn)不佳，多數(shù)停留在了將現(xiàn)實(shí)情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的步驟上。④朱婭梅. 我國八年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查研究[J]. 上海教育科研, 2017(04): 51–54.綜上，可以認(rèn)為我國中學(xué)生在較為復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題情景中難以提煉現(xiàn)實(shí)模型和數(shù)學(xué)模型，模型反思能力較差。

徐斌艷認(rèn)為出現(xiàn)上述學(xué)習(xí)困難的一個(gè)原因是學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)長期專注于知識本身，孤立于具體的現(xiàn)實(shí)情景，學(xué)生很少有機(jī)會直接體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用。⑤徐斌艷, LUDWIG M. 中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力水平的實(shí)驗(yàn)分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2007(11): 1-2+30.牛偉強(qiáng)指出，缺少源于真實(shí)情景的、適合初高中生水平的建模任務(wù)資源，是影響中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育的核心因素。⑥牛偉強(qiáng). 高中生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展研究[D/OL]. 華東師范大學(xué), 2019[2020–10–30]. https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CDFD&dbname=CDFDLAST2019&filename=1019835657.nh&v=hQjzVvgoQJJyWIL3eAft9BFB2xqdZqlNvAp xEi9mL8Yt6N%25mmd2B2AeYfwvVVZ4Wk2YHg.李明振和喻平還發(fā)現(xiàn)，許多中學(xué)教師對數(shù)學(xué)建模教育態(tài)度消極，缺乏建?；顒咏?jīng)歷和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，也是數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施效果不佳的原因之一。①李明振, 喻平. 高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的背景、問題與對策[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2008, 47(11): 8-10+14.

（三）德國MCM項(xiàng)目的理論基礎(chǔ)和參考價(jià)值

針對上述問題，國內(nèi)學(xué)者曾提出若干數(shù)學(xué)建模教學(xué)的改進(jìn)建議。但正如前文所言，這些建議或是停留在理論層面，或是只關(guān)注教學(xué)實(shí)踐中的一個(gè)方面。而成功的教學(xué)創(chuàng)新改革需要有效的技術(shù)與課程整合模式，軟硬件的合理安排，教師培訓(xùn)，輔助資源的創(chuàng)設(shè)等一系列配套的支援計(jì)劃。②黃利發(fā). 信息技術(shù)與課程整合中全面的教師培訓(xùn)、鞏固與支援計(jì)劃[J]. 現(xiàn)代教育技術(shù), 2011, 21(05): 43–47.德國MCM項(xiàng)目基本具備了這些要素，借助（移動）信息技術(shù)支持教師在戶外真實(shí)情景中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生在布魯姆建?？蚣苤械淖幽芰Γ@對于破解我國數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的困局而言，不失為一個(gè)可以借鑒的范本。

德國MCM項(xiàng)目的理論基礎(chǔ)主要有三。其一是數(shù)學(xué)游蹤（Math Trail），這一概念是由澳大利亞學(xué)者布萊恩（Blane）和克拉克（Clark）首先提出的，指一系列真實(shí)地點(diǎn)串聯(lián)起來的路線，每個(gè)地點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)，與所在地的現(xiàn)實(shí)情景或現(xiàn)實(shí)對象相連接。③BLANE D C, CLARKE D. A. Mathematics trail around the city of Melbourne[J]. Monash Mathematics Education Centre in Monash University, 1984: 169–181.它可以調(diào)動學(xué)習(xí)者的知覺運(yùn)動系統(tǒng)，讓他們在一個(gè)相對輕松的協(xié)作環(huán)境中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題、鍛煉數(shù)學(xué)建模能力。④SHOAF M, POLLAK H, SCHNEIDER J. Math Trails[M]. Bedford: COMAP, 2004: 8-10.其二是布魯姆七環(huán)節(jié)建?？蚣?。其三是分級提示（Stepped Hints），指在學(xué)生解決問題的過程中，根據(jù)學(xué)生的困難和需要逐步呈現(xiàn)相應(yīng)提示的系統(tǒng)，它讓學(xué)生盡可能依賴自己的知識和經(jīng)驗(yàn)自主完成任務(wù)，進(jìn)而能夠促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。⑤FRANKE-BRAUN G, SCHMIDT-WEIGAND F, ST?UDEL L, et al. Aufgaben mit gestuften Lernhilfen - ein besonderes Aufgabenformat zur kognitiven Aktivierung der Schülerinnen und Schüler und zur Intensivierung der sachbezogenen Kommunikation[M]//Kasseler Forschergruppe. Lernumgebungen auf dem Prüfstand: Zwischenergebnisse aus den Forschungsprojekten. Kassel: Kassel University Press, 2008: 27–42.基于這些理論和概念，MCM項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)開發(fā)移動應(yīng)用程序，將構(gòu)成數(shù)學(xué)游蹤的戶外建模任務(wù)（簡稱MCM任務(wù)）呈現(xiàn)在地圖上，每個(gè)任務(wù)還配有相應(yīng)的分級提示和答案驗(yàn)證系統(tǒng)；同時(shí)搭建門戶網(wǎng)站，以便于教師自主設(shè)計(jì)MCM任務(wù)（包括相關(guān)的分級提示和答案）。在這兩個(gè)產(chǎn)品的幫助下，教師便可以很容易地將學(xué)生組織到不同的任務(wù)地點(diǎn)，讓學(xué)生在自主建模的過程中發(fā)展布魯姆建?？蚣苤械淖幽芰?。⑥LUDWIG M, JABLONSKI S. Doing Math Modelling Outdoors-A Special Math Class Activity designed with MathCityMap[C]//DOMENECH J, MERELLO P, DE LA POZA E, et al. 5th International Conference on Higher Education Advances (HEAd’19). València: Editorial Universitat Politècnica de València, 2019: 901–909.本研究把這一教學(xué)模式稱作MCM教學(xué)。以此為核心，項(xiàng)目進(jìn)一步提供通用型任務(wù)指導(dǎo)教師的資源設(shè)計(jì)，利用門戶網(wǎng)站搭建資源平臺，并在整個(gè)歐洲范圍內(nèi)培訓(xùn)職前/在職教師，為教師提供了系統(tǒng)而全面的支持。⑦參見網(wǎng)站http://momatre.eu/.

基于上述討論，本研究首先對項(xiàng)目內(nèi)容進(jìn)行介紹，之后聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展，通用型任務(wù)的設(shè)計(jì)，門戶網(wǎng)站的建設(shè)，教師培訓(xùn)四個(gè)方面，對項(xiàng)目的特色進(jìn)行深入分析，在此基礎(chǔ)上，總結(jié)項(xiàng)目有哪些先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)和不足之處，為信息時(shí)代下我國數(shù)學(xué)建模教學(xué)的創(chuàng)新改革提供有意義的參考。

二、MCM項(xiàng)目的主要內(nèi)容

（一）移動應(yīng)用程序

MCM項(xiàng)目的移動端應(yīng)用程序Math City Map（簡稱MCM－App）整合了移動網(wǎng)絡(luò)、數(shù)字地圖和GPS定位技術(shù)，用于顯示數(shù)學(xué)游蹤、游蹤內(nèi)的MCM任務(wù)及其位置，幫助用戶導(dǎo)航到任務(wù)所在地點(diǎn)并解決任務(wù)，主要服務(wù)于學(xué)習(xí)者。學(xué)生在MCM－App中輸入某數(shù)學(xué)游蹤的名稱或編號，即可看到該游蹤內(nèi)的所有MCM任務(wù)及其位置分布，如圖3.1 所示。點(diǎn)擊游蹤內(nèi)的一個(gè)任務(wù)（圖3.2），可以看到任務(wù)內(nèi)容（圖3.3）。這些任務(wù)需要學(xué)生親自到達(dá)指定地點(diǎn)、現(xiàn)場收集相關(guān)數(shù)據(jù)后才能解決。在嘗試解決任務(wù)的過程中，學(xué)生還可以根據(jù)需要查看分級提示（圖3.4），或是直接輸入答案（圖3.5）并查看答案反饋 （圖3.6）。成功作答后，學(xué)生可以選擇查看“參考解答”，或是跳轉(zhuǎn)到游蹤內(nèi)的“下一任務(wù)” （圖3.6）。MCM-App適用于安卓、IOS等移動操作系統(tǒng)，App內(nèi)的所有數(shù)據(jù)都可以離線使用。

圖3 MCM–App的用戶操作界面

（二）門戶網(wǎng)站

為了方便在MCM－App中投放任務(wù)，MCM項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)搭建門戶網(wǎng)站www.mathcitymap.eu，供用戶（主要為教學(xué)者）在后臺創(chuàng)建、分享MCM任務(wù)和數(shù)學(xué)游蹤，創(chuàng)建完成后，這些任務(wù)和游蹤就可以在App內(nèi)顯示。用戶只需通過簡單的注冊，進(jìn)入入口（Portal）界面，就可以看到一個(gè)虛擬地圖和若干功能模塊，如圖4所示，點(diǎn)擊“游蹤（Trails）”或 “任務(wù)（Tasks）”模塊并在搜索欄輸入某一地點(diǎn)，就可以快速看到該地點(diǎn)附近公開的數(shù)學(xué)游蹤或MCM任務(wù)，或是創(chuàng)建自己的對應(yīng)項(xiàng)目。圖5顯示了網(wǎng)站的任務(wù)創(chuàng)建表單和某個(gè)具體的任務(wù)案例，其中包括了需要在MCM－App中顯示的任務(wù)要素以及其他背景信息。這些信息可以由用戶獨(dú)立創(chuàng)建，或是在“復(fù)制”“粘貼”他人任務(wù)的基礎(chǔ)上予以改編。同樣，用戶也可以選擇“公開”自己任務(wù)的獲取權(quán)限。而在游蹤創(chuàng)建頁面，用戶選擇某一區(qū)域內(nèi)的若干任務(wù)（自己或他人的），將其按順序添加到某個(gè)自定義菜單內(nèi)，即可生成一個(gè)數(shù)學(xué)游蹤（見圖6）。針對每一段數(shù)學(xué)游蹤，網(wǎng)站會自動提供一份PDF的配套手冊，包含游蹤標(biāo)題頁、游蹤地圖、游蹤內(nèi)所有任務(wù)的內(nèi)容和圖片，以便于教師打印，讓學(xué)生在戶外即使沒有手機(jī)也可以通過紙筆經(jīng)歷數(shù)學(xué)游蹤。

圖4 www.mathcitymap.eu的英文版入口界面

圖5 www.mathcitymap.eu中的任務(wù)創(chuàng)建示例（部分文本由英文翻譯成中文）

圖6 數(shù)學(xué)游蹤創(chuàng)建頁面（部分文本由英文翻譯成中文）

（三）通用型任務(wù)

由上文可知，要創(chuàng)建一個(gè)MCM戶外建模任務(wù)，用戶需要提供包括任務(wù)內(nèi)容、分級提示、參考解答、所需工具在內(nèi)的多種信息，所涉及的現(xiàn)實(shí)對象通常是樓梯、坡道、建筑物、水池、交通工具等常見的物體?？紤]到關(guān)于同一類現(xiàn)實(shí)對象，對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模任務(wù)，解答和提示大多類似，為了幫助世界各地的教學(xué)者根據(jù)在地的現(xiàn)實(shí)情景不斷創(chuàng)設(shè)新的戶外數(shù)學(xué)建模任務(wù)，節(jié)約教學(xué)資源的準(zhǔn)備時(shí)間，MCM的項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)在眾多任務(wù)案例和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一系列通用型任務(wù)（Generic Tasks）。其中每個(gè)任務(wù)都針對一類特定現(xiàn)實(shí)對象，給出任務(wù)主題和要求、需要測量的數(shù)據(jù)、參考解答、可能的提示和可能的應(yīng)用場景。這些任務(wù)均可以在網(wǎng)上下載。①通用型任務(wù)網(wǎng)址為http://momatre.eu/the-project/generic-tasks/.下文展示了一個(gè)立體幾何通用型任務(wù)。

任務(wù)主題：計(jì)算某一圓臺形物體的體積/質(zhì)量。

適用的現(xiàn)實(shí)情景和對象：雕塑、路障、花盆，等等。

需要收集數(shù)據(jù)：

物體的底面圓和上表面圓的直徑/半徑，物體的高（上下底面圓心之間的距離），物體側(cè)面的母線長。

參考解答：

如上圖所示，圓臺的體積可以按照如下公式計(jì)算：

其中圓臺的高v可以利用畢氏定理，用上下底面的半徑R1、R2和母線s表示出來。

可能的提示：

（1）觀察花盆的形狀，你會聯(lián)想到哪個(gè)幾何體？

（2）如果你不知道圓臺的體積公式，你可以利用其他幾何體來近似花盆的形狀。

（3）你可以用某種方法找到花盆的平均底面半徑，進(jìn)而利用圓柱的體積公式。

（4）你可以測量花盆的高嗎？

（5）花盆的高可以利用畢氏定理計(jì)算。

（6）注意單位換算。

（四）MoMaTrE教師培訓(xùn)

2017年，數(shù)學(xué)城市地圖項(xiàng)目得到歐盟Erasmus+基金的支持，發(fā)起MoMaTrE（Mobile Math Trails in Europe）項(xiàng)目，在整個(gè)歐洲范圍內(nèi)培訓(xùn)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的在校生（包括職前教師、在職教師、一般的數(shù)學(xué)教育研究者和數(shù)學(xué)建模愛好者），致力于普及項(xiàng)目的內(nèi)容和理念，強(qiáng)化教學(xué)者關(guān)于MCM教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和信心。①JABLONSKI S, LUDWIG M. Development of an Intensive Study Programme on Outdoor Mathematics Teaching with Digital Tools[C]//LUDWIG M, JABLONSKI S, CALDEIRA A, et al. Research on Outdoor STEM Education in the digiTal Age:Proceedings of the ROSETA Online Conference. Münster: WTM, 2020: 111–118.

以2019年3月18－30日的培訓(xùn)為例，該培訓(xùn)首先設(shè)置了若干專家講座，講座內(nèi)容涉及MCM項(xiàng)目的理論背景，任務(wù)分析方法和各類相關(guān)技術(shù)（移動應(yīng)用程序、門戶網(wǎng)站、增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)、游戲化）。從第二天開始，培訓(xùn)就穿插若干小組協(xié)作式的戶外活動：學(xué)員首先以學(xué)生的視角親身體驗(yàn)不同工具支持下的數(shù)學(xué)游蹤（只有紙筆的數(shù)學(xué)游蹤或同時(shí)使用MCM－App的數(shù)學(xué)游蹤）；之后再以教學(xué)者的視角實(shí)地考查當(dāng)?shù)厣鐓^(qū)，設(shè)計(jì)初步的戶外數(shù)學(xué)建模任務(wù)和游蹤，并通過組內(nèi)交流、專家反饋、組間審閱等活動，對任務(wù)進(jìn)行反復(fù)修訂，逐步領(lǐng)會MCM任務(wù)的設(shè)計(jì)原則；培訓(xùn)還會組織學(xué)員參觀數(shù)學(xué)博物館和當(dāng)?shù)貙W(xué)校，為其設(shè)計(jì)任務(wù)提供靈感來源。在初步確定數(shù)學(xué)游蹤和游蹤內(nèi)的MCM任務(wù)后，每個(gè)小組將它們上傳到門戶網(wǎng)站上，使得游蹤可以顯示在MCM－App中。接下來利用該游蹤進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，MCM團(tuán)隊(duì)聯(lián)系若干當(dāng)?shù)刂袑W(xué)，讓中學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用MCM－App完成學(xué)員設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)游蹤；與此同時(shí)，參訓(xùn)學(xué)員需要對中學(xué)生進(jìn)行跟蹤觀察，主要考查學(xué)生是否按預(yù)期的方式完成游蹤內(nèi)的任務(wù)，并機(jī)動地對學(xué)生進(jìn)行干預(yù)。根據(jù)觀察收集到的數(shù)據(jù)，學(xué)員將再次對這些任務(wù)進(jìn)行修訂和完善，確定最終的數(shù)學(xué)游蹤。②同本頁①。

三、MCM項(xiàng)目的特色分析

這一部分結(jié)合項(xiàng)目內(nèi)容，分析MCM項(xiàng)目的特色和優(yōu)缺點(diǎn)。具體包括MCM教學(xué)模式對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的促進(jìn)作用，通用型任務(wù)的特點(diǎn)，門戶網(wǎng)站（資源平臺）的功能設(shè)置和教師培訓(xùn)的議程安排四個(gè)小節(jié)。

（一）MCM教學(xué)模式對數(shù)學(xué)建模能力的促進(jìn)作用

在MCM教學(xué)模式中，MCM任務(wù)具有核心地位，學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是通過在戶外解決MCM任務(wù)而實(shí)現(xiàn)的。在這一節(jié)中，筆者結(jié)合具體的MCM任務(wù)案例，從微觀和宏觀兩個(gè)視角分析MCM教學(xué)模式對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的促進(jìn)作用。微觀視角下，選擇項(xiàng)目本身的理論框架之一——布魯姆七環(huán)節(jié)建模框架，分析學(xué)生在哪些建模環(huán)節(jié)的“子能力”能夠得到發(fā)展；宏觀視角則是微觀視角的補(bǔ)充，以PISA 2012的四水平模型為框架，分析學(xué)生的建模能力可以發(fā)展到哪一“水平”。

1. 基于數(shù)學(xué)建模“子能力”的微觀分析

圖7顯示了呈現(xiàn)在MCM－App中的一個(gè)關(guān)于花盆的建模任務(wù)和其中的3個(gè)提示，該任務(wù)由上文中的通用型任務(wù)改編而來，主要面向初中生。提示1和2都試圖引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動自己的先驗(yàn)知識，根據(jù)花盆的形狀結(jié)構(gòu)在記憶中搜尋相似的幾何體（數(shù)學(xué)模型）。提示2在提示1的基礎(chǔ)上給出一種模型替代策略，假設(shè)學(xué)生無法利用圓臺模型繼續(xù)求解，則可以考慮用已經(jīng)學(xué)過的幾何體來模擬花盆形狀，代入熟悉的體積公式。這兩個(gè)提示都可以推動學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題情景中提煉現(xiàn)實(shí)模型進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，對應(yīng)布魯姆七環(huán)節(jié)建模框架的環(huán)節(jié)2和3。如果學(xué)生仍然感到困難，他們可以繼續(xù)查看第3個(gè)提示，該提示直接點(diǎn)明用于替代圓臺體的幾何模型——圓柱體，并提示學(xué)生尋找相關(guān)策略來確定模型中的關(guān)鍵變量——花盆平均底面半徑的計(jì)算方式，引導(dǎo)學(xué)生完成布魯姆框架中的環(huán)節(jié)3。

圖7 MCM－App中的一個(gè)任務(wù)和相關(guān)分級提示（部分文本由德文翻譯成中文）

MCM團(tuán)隊(duì)的一項(xiàng)調(diào)查顯示，德國九年級的學(xué)生在實(shí)際解決該任務(wù)的過程中，共使用了三種不同的解法：解法一使用了圓柱模型，同時(shí)把花盆上下底面半徑的平均值作為平均底面半徑；解法二也使用了圓柱模型，但沒有直接計(jì)算平均底面半徑，而是分別以花盆的上下底面作為一大一小兩個(gè)圓柱的底面，分別計(jì)算它們的體積再求得平均值；解法三直接使用圓臺模型。三種解法在學(xué)生中出現(xiàn)的比例分別為60%，10%和10%，只有20%的學(xué)生沒能建立合適的數(shù)學(xué)模型。①LUDWIG M, JABLONSKI S. Doing Math Modelling Outdoors-A Special Math Class Activity designed with MathCityMap[C]//DOMENECH J, MERELLO P, DE LA POZA E, et al. 5th International Conference on Higher Education Advances (HEAd’19). València: Editorial Universitat Politècnica de València, 2019: 901–909.值得注意的是，三種建模方案得到結(jié)果非常相似?79.563、78、78（單位：升），這主要是因?yàn)榛ㄅ璧纳舷驴趶綄?shí)際相差不大，即使用圓柱體來近似也不會由太大誤差。任務(wù)的設(shè)計(jì)者在這里把“正確答案”設(shè)置成區(qū)間的形式 （74－82），使得在該區(qū)間內(nèi)的結(jié)果都可以得到正向反饋，鼓勵學(xué)生探索多樣化的模型和解決方案。

在上述過程中，MCM－App中的分級提示系統(tǒng)和答案驗(yàn)證功能發(fā)揮了重要作用。德國學(xué)者澤赫（Zech）針對教師如何支持學(xué)生自主開展數(shù)學(xué)建模活動，提出了五步驟干預(yù)教學(xué)法。這些步驟遵循“最小幫助”原則，主張教師一次只給一種干預(yù)，從一般的情感鼓勵、肯定學(xué)生結(jié)果、策略性提示、內(nèi)容?策略性提示到內(nèi)容性提示，循序漸進(jìn)，當(dāng)學(xué)生實(shí)在無法推進(jìn)到下一步時(shí)再逐步給出之后的干預(yù)，讓他們盡量依賴自身已有的知識和經(jīng)驗(yàn)解題。②ZECH F. Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik[M]. 8th ed. Weinheim: Beltz, 1996: 221.這與分級提示能夠支持學(xué)生自主學(xué)習(xí)的原理是一致的?？梢钥闯?，上面的3個(gè)提示也基本遵循“最小幫助原則”，它們分擔(dān)了大部分的教師干預(yù)工作，而且提示2和3分別為策略性提示和內(nèi)容?策略性提示。事實(shí)上，MCM（通用型）任務(wù)的提示大多具有類似的特性。通過在MCM－App中依次呈現(xiàn)這些提示和答案反饋，項(xiàng)目得以為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)自主學(xué)習(xí)的環(huán)境，提升他們在布魯姆七環(huán)節(jié)建模框架下2－3環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)——也即提煉現(xiàn)實(shí)模型和數(shù)學(xué)化的子能力，這是項(xiàng)目的優(yōu)勢之一。

2. 基于數(shù)學(xué)建模能力“水平”的宏觀分析

在PISA2012的四水平模型中，學(xué)生的建模能力水平實(shí)際上是按照他們能夠完成的建模任務(wù)的復(fù)雜水平劃分的。以同樣的花盆任務(wù)為例，該任務(wù)是在真實(shí)情景而非數(shù)學(xué)情景中給出的，花盆的形狀是初中生并不熟悉的圓臺體，建立幾何模型所需的假設(shè)、變量、關(guān)系等都需要學(xué)生自己定義，因此任務(wù)已經(jīng)達(dá)到了水平IV；而隨著學(xué)生越來越多地查看提示，部分模型假設(shè)（把花盆近似看作圓柱體）和變量（花盆的平均底面半徑）逐漸明晰，此時(shí)任務(wù)又退回到水平III。MCM項(xiàng)目中的許多建模任務(wù)都屬于類似的情形，圖5中的太陽能路燈任務(wù)就是另一個(gè)例子；而在另一些任務(wù)中（比如花盆的形狀直接是圓柱體），問題情景較為簡單，模型假設(shè)、各變量間的關(guān)系都十分明顯，學(xué)生可以直接應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)模型求解而不需要再作適應(yīng)性的調(diào)整，這些任務(wù)屬于水平II。綜上，可以認(rèn)為MCM教學(xué)模式能夠推動學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力朝著水平II、III乃至水平IV發(fā)展。但它不一定能讓學(xué)生完全達(dá)到水平IV，因?yàn)镸CM任務(wù)并不注重學(xué)生對模型的反思（水平IV的能力要求之一），大多數(shù)學(xué)生在App中成功驗(yàn)證答案后便可以前往下一任務(wù)點(diǎn)，而不會考慮模型中假設(shè)的合理性或是其他可能的模型，這也是MCM項(xiàng)目的一個(gè)缺陷。

（二）通用型任務(wù)的特點(diǎn)分析

由上一小節(jié)可知，MCM任務(wù)的質(zhì)量決定了MCM教學(xué)活動的質(zhì)量。項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)提供的通用型任務(wù)列表，實(shí)際上相當(dāng)于一份一般化的、可操作的MCM任務(wù)設(shè)計(jì)指南。教師結(jié)合自身所處的現(xiàn)實(shí)環(huán)境，對通用型任務(wù)中的某些元素進(jìn)行替換，就可以快速開發(fā)出一個(gè)在地化的、適用于MCM教學(xué)的新任務(wù)。因而通用型任務(wù)的質(zhì)量會在很大程度上影響教師設(shè)計(jì)的MCM任務(wù)的質(zhì)量。這一節(jié)嘗試對項(xiàng)目給出的25個(gè)通用型任務(wù)的質(zhì)量進(jìn)行分析，一方面關(guān)注任務(wù)的內(nèi)容設(shè)置，另一方面關(guān)注任務(wù)中分級提示的特性和排布方式，在此基礎(chǔ)上評估通用型任務(wù)對教師的參考價(jià)值。

1. 任務(wù)內(nèi)容普遍具有明確性、在場性、現(xiàn)實(shí)性，多數(shù)具有開放性

項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)成員雅布倫斯基（Jablonski）等人曾提出高質(zhì)量MCM任務(wù)內(nèi)容的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。明確性：任務(wù)涉及的現(xiàn)實(shí)對象在周圍的環(huán)境中是唯一明確的。在場性：任務(wù)只能在現(xiàn)場完成，比如相關(guān)數(shù)據(jù)只能在現(xiàn)場測得。數(shù)學(xué)活動性：任務(wù)能夠促使學(xué)生充分、靈活地運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識和技能。開放性：任務(wù)可以有多種解法，可能涉及不同的數(shù)學(xué)模型、知識和數(shù)據(jù)收集策略?，F(xiàn)實(shí)性：任務(wù)具有現(xiàn)實(shí)意義，其結(jié)果可以指導(dǎo)人們的生活實(shí)踐。①JABLONSKI S, LUDWIG M, ZENDER J. Task quality vs. task quantity. A dialog-based review system to ensure a certain quality of tasks the MathCityMap web community[C]//WEIGAND H-G, CLARK-WILSON A, DONEVSKA-TODOROVA A,et al. Proceedings of the 5th ERME Topic Conference (MEDA). Copenhagen: University of Copenhagen, 2018: 115-122.以此為框架，本研究統(tǒng)計(jì)分別滿足上述特性的通用型任務(wù)數(shù)量（見圖8）。

圖8 滿足各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的通用型任務(wù)數(shù)量分布

由圖8可知，25個(gè)通用型任務(wù)中，有90%的任務(wù)都滿足明確性、在場性和現(xiàn)實(shí)性，有接近60%的（14個(gè)）任務(wù)滿足開放性?？梢哉f，這些任務(wù)大多能夠讓學(xué)生在真實(shí)情景中開展數(shù)學(xué)建?；顒?，并鼓勵學(xué)生探索多樣化的模型和解題方案，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，保護(hù)他們的主觀能動性和創(chuàng)新精神，給教師提供了較好的示范。與此同時(shí)，通用型任務(wù)在數(shù)學(xué)活動性方面表現(xiàn)較差，難以為教師提供參考，只有不到一半（11個(gè)）的任務(wù)具有較高的數(shù)學(xué)活動性，其余任務(wù)都只需要簡單應(yīng)用公式定理即可解決，這可能難以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解。教師在設(shè)計(jì)任務(wù)內(nèi)容的時(shí)候，仍然需要在數(shù)學(xué)活動性方面多加注意。

2. 任務(wù)提示遵循“最小幫助”原則，具有啟發(fā)性和漸進(jìn)性

上文提到，任務(wù)自帶的分級提示若是遵循“最小幫助”原則，則可以有效支持學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。澤赫提出了“最小幫助”原則下教師可以采取的五種干預(yù)策略，其中的策略性提示、內(nèi)容?策略性提示和內(nèi)容性提示同樣可以作為MCM任務(wù)的分級提示而存在?？紤]到MCM任務(wù)中可能還包含其他類型的提示，筆者另外引入弗雷德里希（Friedrich）和曼德爾（Mandl）所提出的三種任務(wù)提示——重述問題、聚焦關(guān)鍵信息和激活先驗(yàn)知識，①FRIEDRICH H F, MANDL H. Lern-und Denkstrategien-ein Problemaufri?[J]. Lern-und Denkstrategien. Analyse und Intervention, 1992: 3–54.作為前三種提示的補(bǔ)充，對25個(gè)通用型任務(wù)的110個(gè)提示進(jìn)行分類。之后統(tǒng)計(jì)各類提示的數(shù)量，計(jì)算它們在單個(gè)任務(wù)中的平均數(shù)量和比例，得到圖9。

圖9 單個(gè)通用型任務(wù)中各類提示數(shù)量（平均值）的占比

由圖9可知，通用型任務(wù)給出的提示多樣，“策略性提示”和“策略?內(nèi)容性提示”占據(jù)了絕大多數(shù)（合計(jì)81.82%），其次是“聚焦關(guān)鍵信息”和“激活先驗(yàn)知識”的提示，而“內(nèi)容性提示”和“重述問題”的提示占比相對較低。關(guān)于它們在通用型任務(wù)中出現(xiàn)的順序，“重述問題”“聚焦關(guān)鍵信息”和“激活先驗(yàn)知識”的提示通常在一開始就出現(xiàn)，這些提示只是將任務(wù)內(nèi)本身的一些關(guān)鍵要素凸顯出來，以調(diào)動學(xué)生先前的知識和經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生如果仍然感到困難，可以繼續(xù)查看在后續(xù)給出的“策略性提示”或“策略?內(nèi)容性提示”，而“內(nèi)容性提示”一般在最后給出，直接點(diǎn)明相關(guān)模型或知識（如公式、定理等）的具體內(nèi)容。由此可見，通用型任務(wù)的提示大體遵循“最小幫助”原則循序漸進(jìn)，讓學(xué)生盡可能自主解決問題。同時(shí)，較多的“策略性提示”和“策略?內(nèi)容性提示”可以有效支持學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題情景中提煉現(xiàn)實(shí)模型和數(shù)學(xué)模型的過程。這些都是教師在設(shè)計(jì)任務(wù)提示的過程中可以借鑒的。

（三）門戶網(wǎng)站的功能設(shè)置：促進(jìn)資源交流和共建

這一節(jié)討論MCM門戶網(wǎng)站www.mathcitymap.eu的功能設(shè)置。起初，項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)設(shè)立該網(wǎng)站，是為了讓MCM任務(wù)的創(chuàng)建簡單化、程式化。教師通過填寫網(wǎng)頁表單，即可創(chuàng)建一個(gè)MCM任務(wù)并把它同步到App中，從而避免了對App的程序腳本進(jìn)行直接編輯。之后，項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)又在任務(wù)創(chuàng)建頁面添加了“公開”的選項(xiàng)，讓創(chuàng)建者自主選擇是否開放自己任務(wù)的存取權(quán)限，供其他用戶“復(fù)制”，“粘貼”和再加工。同時(shí)，在數(shù)學(xué)游蹤的創(chuàng)建頁面，用戶也可以直接將他人的任務(wù)添加到自己的游蹤菜單內(nèi)。這就極大地激發(fā)了網(wǎng)站在線社群的活力，使得世界各地的注冊用戶都能參與到MCM教學(xué)資源的交流和共同建設(shè)中來。李江和夏澤勝曾指出，以學(xué)習(xí)者為中心的資源供給和以自發(fā)式為主導(dǎo)的資源建設(shè)共同體是“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代教師支持的重要方面。①李江, 夏澤勝. “互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的教師培訓(xùn):模式更新、價(jià)值證成與行動路徑[J]. 教師教育研究, 2020, 32(04): 38–44.正是通過上述與資源分享、引用和改編有關(guān)的功能，MCM的門戶網(wǎng)站才得以集思廣益，打造了一個(gè)多文化背景的、開放式的、以用戶為中心的資源共建平臺，項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)還會定期在網(wǎng)站評選 “每周任務(wù)”和“每月游蹤”，作為優(yōu)秀案例供教師參考，為教師的資源準(zhǔn)備工作提供了有效的支持。

（四）教師培訓(xùn)倡導(dǎo)“做中學(xué)”，促進(jìn)交流與反思

任何新的教育技術(shù)和理念，要想在中學(xué)校園得以推廣，都離不開一線教師的認(rèn)同、參與和實(shí)踐，而教師培訓(xùn)是獲得教師認(rèn)同，推動教師參與實(shí)踐的重要途經(jīng)。分析數(shù)MCM的教師培訓(xùn)子項(xiàng)目MoMaTrE，發(fā)現(xiàn)它主要有以下幾點(diǎn)特色值得借鑒。

1. 設(shè)置“教師/學(xué)生”雙重視角，倡導(dǎo)“做中學(xué)”

回看MoMaTrE培訓(xùn)的議程設(shè)置，不難發(fā)現(xiàn)它一直注重學(xué)員對MCM教學(xué)活動全方位、多角度的體驗(yàn)。這主要是由于項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)：缺乏教學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、感到難以創(chuàng)建MCM任務(wù)和游蹤是阻礙教師積極參與教學(xué)實(shí)踐的兩大原因。培訓(xùn)在幾次理論授課之后，就迅速讓學(xué)員走出戶外，強(qiáng)調(diào)學(xué)員對戶外建?；顒拥那猩眢w驗(yàn)，對MCM任務(wù)和游蹤的設(shè)計(jì)，對MCM－App和網(wǎng)站的實(shí)際操作和任務(wù)和游蹤的教學(xué)實(shí)驗(yàn)；倡導(dǎo)“做中學(xué)”，讓學(xué)員在“教師/學(xué)生”的身份之間來回轉(zhuǎn)換。這有助于學(xué)員熟悉相關(guān)的技術(shù)操作，深化對戶外建模活動的認(rèn)識，領(lǐng)會MCM任務(wù)的設(shè)計(jì)原則和相關(guān)教學(xué)方法。

2. 培訓(xùn)議程多樣，促進(jìn)組內(nèi)交流與協(xié)作

MoMaTrE培訓(xùn)項(xiàng)目設(shè)置了專家講座，參觀博物館、學(xué)校，不同形式的游蹤體驗(yàn)，任務(wù)設(shè)計(jì)，任務(wù)反饋，教學(xué)試驗(yàn)，任務(wù)修訂等多樣化的活動形式，給學(xué)員帶來了豐富的培訓(xùn)體驗(yàn)和任務(wù)設(shè)計(jì)靈感，這有助于提高學(xué)員的興趣和參與度。①陸彩霞, 姜媛, 方平, 等. 典型教師工作坊研修活動的特色分析與未來研究展望??基于北京市典型教師工作坊的實(shí)踐研究[J]. 教育科學(xué)研究, 2019(02): 87–92.其中后五項(xiàng)都是學(xué)員以小組為單位協(xié)作完成的，這有助于他們集思廣益，發(fā)現(xiàn)更多的問題，獲取更多的信息，也得到更多的啟示和問題解決的方法。②同本頁①。值得一提的是，每組學(xué)員都有專家（包括學(xué)科專家、教育研究者、有MCM教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的一線教師和項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)成員）入組支持，這有助于及時(shí)響應(yīng)教師需求，切實(shí)提高培訓(xùn)實(shí)效。

3. 多輪“設(shè)計(jì)?反饋?修訂”循環(huán)，促進(jìn)學(xué)員對任務(wù)的反思

MoMaTrE培訓(xùn)的另一個(gè)特點(diǎn)是包含多重設(shè)計(jì)?反饋循環(huán)。在本研究第二部分介紹的培訓(xùn)案例中，學(xué)員共經(jīng)歷了四次關(guān)于MCM任務(wù)的反饋：組內(nèi)反饋，小組互相反饋（體驗(yàn)另一小組的數(shù)學(xué)游蹤并給予反饋），專家反饋，以及最重要的教學(xué)實(shí)驗(yàn)反饋。反饋的形式和主體都呈現(xiàn)出多元化的特點(diǎn)。反饋的內(nèi)容涉及任務(wù)難度的合理性，任務(wù)是否遵循在場性、清晰性，任務(wù)提示的漸進(jìn)性等方面。每次反饋后，組內(nèi)成員都會對本小組的任務(wù)和游蹤進(jìn)行修訂。這有助于教師從多個(gè)角度對任務(wù)進(jìn)行反思，進(jìn)而不斷改進(jìn)任務(wù)質(zhì)量、發(fā)展任務(wù)設(shè)計(jì)能力。

四、結(jié)語

（一）德國MCM項(xiàng)目的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)

德國MCM項(xiàng)目提出了信息技術(shù)與真實(shí)情景中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)整合的新模式：教師在門戶網(wǎng)站中創(chuàng)建MCM任務(wù)并投放到MCM－App上，通過MCM－App中的導(dǎo)航、分級提示和答案驗(yàn)證功能，支持學(xué)生在戶外真實(shí)情景中的自主建模活動，培養(yǎng)其提煉現(xiàn)實(shí)模型和數(shù)學(xué)化的建模子能力，教師也減輕了自身在戶外引領(lǐng)和實(shí)地教學(xué)干預(yù)中的工作量。項(xiàng)目同時(shí)以通用型任務(wù)“授之以漁”，注重任務(wù)的開放性、在場性和任務(wù)提示的啟發(fā)性、漸進(jìn)性，為教師任務(wù)設(shè)計(jì)提供高質(zhì)量的參考；在網(wǎng)站中引入“公開”“復(fù)制”“粘貼”等功能，搭建資源交流共建平臺；在教師培訓(xùn)中設(shè)置教師/學(xué)生雙重視角和多重設(shè)計(jì)循環(huán)，推動教師多方位的實(shí)踐、交流與反思。這些經(jīng)驗(yàn)可以為我國數(shù)學(xué)建模或其他內(nèi)容教學(xué)的創(chuàng)新改革提供許多借鑒。由于我國中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的薄弱環(huán)節(jié)也常常在于提煉現(xiàn)實(shí)模型和數(shù)學(xué)化，十分適合引進(jìn)MCM項(xiàng)目。目前MCM的門戶網(wǎng)站和App都已推出了中文版，我國教師可以直接在網(wǎng)站中創(chuàng)建MCM任務(wù)和游蹤，開展類似的戶外教學(xué)。

（二）德國MCM項(xiàng)目的不足之處

MCM項(xiàng)目也存在一些不足。如通用型任務(wù)的主題分布不均，大多是幾何類任務(wù)。通用型任務(wù)的數(shù)學(xué)活動性不強(qiáng)，以公式的直接應(yīng)用、代入測量數(shù)據(jù)為主，如果教師在實(shí)際教學(xué)中重復(fù)設(shè)計(jì)此類任務(wù)，很容易讓學(xué)生感到枯燥。再比如教師培訓(xùn)過分強(qiáng)調(diào)教師的主體地位，入組的學(xué)科專家通常只是回答教師提出的問題或是回應(yīng)其觀點(diǎn)，很少主動干預(yù)，使得教師在設(shè)計(jì)MCM任務(wù)和參與教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)容易出現(xiàn)隨意性和盲目性。這些都是我國在引進(jìn)MCM項(xiàng)目或推廣類似教育創(chuàng)新項(xiàng)目時(shí)需要注意的問題。另外，MCM教學(xué)活動難以推動學(xué)生對模型的反思，因而也就難以促進(jìn)學(xué)生建模能力水平全方位的提升。對此，教師可以將課堂教學(xué)和戶外活動相結(jié)合，彌補(bǔ)學(xué)生對模型反思的不足。比如關(guān)于上文中的花盆問題，教師可以在回到課堂之后向?qū)W生展示三種不同的建模方案，讓大家比較不同方案在該問題情景中的優(yōu)勢、缺陷，分析圓柱和圓臺之間的關(guān)聯(lián)。

（三）展望

在未來，MCM項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)將考慮擴(kuò)大移動設(shè)備的優(yōu)勢，比如在MCM－App的提示系統(tǒng)中引入增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（Augmented Reality，簡稱AR）等適用于移動設(shè)備的技術(shù)。圖10展示了普通AR技術(shù)和一個(gè)MCM任務(wù)結(jié)合的應(yīng)用場景，屏幕上同時(shí)給出任務(wù)內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)對象和虛擬的AR對象。在該影像的提示下，學(xué)生很容易就能想到任務(wù)中的底座可以近似為一個(gè)正方體與長方體，進(jìn)而完成相關(guān)的建模求解；學(xué)生還可以對該AR對象進(jìn)行分離、旋轉(zhuǎn)等操作。①CAHYONO A N, SUKESTIYARNO Y L, ASIKIN M, et al. Learning mathematical modelling with augmented reality mobile m ath trails program: How can it work?[J]. Journal on Mathematics Education, 2020, 11(2): 181–192.

圖10 普通AR技術(shù)的與MCM任務(wù)結(jié)合

圖11 展示了GeoGebra 3D Calculator中的AR技術(shù)和MCM任務(wù)結(jié)合的場景，學(xué)生在這里可以直接構(gòu)造虛擬的AR對象，完成建模。①LAVICZA Z, HAAS B, KREIS Y. Discovering Everyday Mathematical Situations Outside the Classroom with MathCityMap and GeoGebra 3D[C]//LUDWIG M, JABLONSKI S, CALDEIRA A, et al. Research on Outdoor STEM Education in the digiTal Age: Proceedings of the ROSETA Online Conference. Münster: WTM, 2020: 111–118.但截至目前，這些AR技術(shù)都沒能與MCM－App原有的功能完全整合起來，學(xué)生在新型的MCM－App中看到AR交互界面的同時(shí)，常常無法輸入答案并對其進(jìn)行驗(yàn)證。這也是項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)在未來研發(fā)中需要解決的問題。我國在開展數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新教育時(shí)，也可以考慮適當(dāng)引入AR技術(shù)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程提供更有效的支持。

圖11 GeoGebra 3D Calculator AR技術(shù)與MCM任務(wù)結(jié)合的場景