張濤濤, 方登建, 李 靜, 申 森

(海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著衛(wèi)星、雷達、通信、控制等技術(shù)快速發(fā)展,世界各大國在彈道導(dǎo)彈攻防之間的競爭日趨激烈,區(qū)別于傳統(tǒng)單點、單系統(tǒng)對抗模式,涵蓋預(yù)警探測、指揮通信、多層攔截彈的系統(tǒng)體系對抗已成為其顯著特點。在高精度、高速度、高強度的對抗環(huán)境下，為實現(xiàn)更高的攔截成功率，對攔截導(dǎo)彈制導(dǎo)控制能力提出了更加嚴苛的要求。

影響攔截彈攔截效果的因素有很多,如中末交班誤差、彈目相對狀態(tài)測量誤差、導(dǎo)引頭測量誤差、加速度飽和限制、制導(dǎo)控制延遲等[1],這些因素誤差蘊涵于攔截彈的各關(guān)鍵組成部分,是需重點提高的技術(shù)指標。國內(nèi)外學(xué)者針對上述誤差因素對攔截彈的影響開展了大量研究,Li等在視線旋轉(zhuǎn)坐標系建立了大氣層外彈目相對運動方程,并對適用于大氣層外攔截彈的理想比例制導(dǎo)律、微分幾何制導(dǎo)律進行了研究[2-3];Hablani對影響大氣層外攔截彈脫靶量的關(guān)鍵因素進行了分析[4];Elina對攔截彈零控脫靶量估計誤差的問題開展了研究[5];Chai等基于可達集模型研究分析了大氣層外攔截彈末制導(dǎo)性能[6-8];Gelb研究了一種基于非線性系統(tǒng)協(xié)方差分析法研究導(dǎo)彈末制導(dǎo)性能的方法[9]。在中末交班研究方面,主要以高超聲速目標攔截、防空導(dǎo)彈等為研究背景,對中末交班制導(dǎo)律[10-13]、目標機動預(yù)測及導(dǎo)引頭搜索算法[14]、交接班窗口[15]、捕獲概率[16]等問題進行了研究。此外,學(xué)者還對攔截過程中視線轉(zhuǎn)率變化規(guī)律[17]、來襲目標采用誘餌干擾對抗[18-19]、控制延遲[20]、導(dǎo)引頭測量誤差[21-22]、攔截脫靶量[23-27]、制導(dǎo)控制效能[28-30]等方面開展大量了工作。但針對攔截彈中末交班誤差產(chǎn)生機理、彈目相對狀態(tài)測量誤差傳播及對攔截效果的影響分析尚少,本文基于協(xié)方差描述函數(shù)法對末制導(dǎo)過程中誤差傳播過程及脫靶量變化進行分析。

1 中末交班誤差產(chǎn)生及傳播分析

對于彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng),來襲導(dǎo)彈發(fā)射后,會統(tǒng)籌調(diào)度預(yù)警衛(wèi)星、遠程預(yù)警雷達、制導(dǎo)雷達等預(yù)警探測器對來襲目標發(fā)現(xiàn)、捕獲、跟蹤,并通過指揮控制系統(tǒng)進行信息綜合處理進而實現(xiàn)對來襲導(dǎo)彈打擊目標、飛行彈道等重要數(shù)據(jù)的解析、判斷及預(yù)測,當被打擊目標滿足導(dǎo)彈防御系統(tǒng)設(shè)定的保護等級,且攔截彈部署基地與來襲導(dǎo)彈間滿足攔截幾何關(guān)系具備攔截條件的情況下,彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)會向攔截彈子系統(tǒng)下達攔截指令，并繼續(xù)引導(dǎo)攔截彈實施攔截。

攔截彈的制導(dǎo)控制過程可分為初制導(dǎo)、中制導(dǎo)、末制導(dǎo)3個階段,如圖1所示。初制導(dǎo)指攔截彈從發(fā)射點火后到發(fā)動機工作的助推段，以及為滿足分離位置、速度、姿態(tài)進行的末修段等；中制導(dǎo)指攔截彈初制導(dǎo)結(jié)束至導(dǎo)引頭捕獲目標的飛行階段；末制導(dǎo)指中制導(dǎo)結(jié)束至對目標實現(xiàn)攔截的飛行階段。在攔截過程中,中制導(dǎo)的目的是通過一次或多次彈道修正,為末制導(dǎo)提供比較精確的攔截幾何,但是由于中制導(dǎo)段彈目相對距離較遠,測量信息主要依靠地面探測設(shè)備,精度有限,且攔截彈也存在初始對準誤差、彈上慣性器件積累誤差、級間分離誤差等,最終體現(xiàn)在交班時刻,因此攔截彈進入末制導(dǎo)段時包含了一定的彈目之間相對運動狀態(tài)的測量誤差。本文在分析計算中使用彈目相對位置誤差球半徑σr、相對速度誤差球半徑σv表示彈目之間相對運動狀態(tài)的測量誤差。

圖1 中末交班誤差產(chǎn)生示意圖Fig.1 Emergence of midcourse-terminal handover error

在圖2中用σ0、σ1、σ2、σ3表示攔截彈點火初始時刻、助推結(jié)束時刻、中制導(dǎo)開始時刻、中制導(dǎo)結(jié)束時刻無控條件下的彈目相對誤差橢球,在該條件下,攔截彈誤差橢球隨著飛行時間的增加不斷擴大。在有控條件下,尤其經(jīng)過攔截彈末修級的修正,彈目相對誤差橢球明顯縮小至σ2m;進入中制導(dǎo),主要測量數(shù)據(jù)依舊為地面設(shè)備及自身慣導(dǎo)數(shù)據(jù),由于對目標數(shù)據(jù)跟蹤時長增加,濾波精度提高等原因,彈目相對誤差橢球繼續(xù)縮小至σ3m;進入末制導(dǎo)后,其測量精度較之前有較大的提升,且彈目相對距離也較小,在攔截彈在制導(dǎo)控制系統(tǒng)的工作下能夠?qū)⒄`差橢球控制至攔截范圍,從而實現(xiàn)對來襲目標的攔截。

圖2 攔截彈飛行過程誤差傳播過程示意圖Fig.2 Interceptor error propagation process

2 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播分析建模

2.1 攔截末段彈目視線轉(zhuǎn)率解析推導(dǎo)

在攔截彈導(dǎo)引頭捕獲來襲目標后攔截進入末制導(dǎo)階段,此階段將攔截彈與來襲導(dǎo)彈均視為質(zhì)點,此時,彈目相對攔截幾何如圖3所示。

圖3 攔截彈與來襲導(dǎo)彈的相對狀態(tài)Fig.3 Relative state between interceptor and target missile

圖3中下標m代表攔截彈相關(guān)參數(shù),下標t代表來襲導(dǎo)彈相關(guān)參數(shù)。矢量r代表相對位置矢量,由圖3可知：

r=rt-rm=rer

(1)

式中:r為彈目相對距離;er為視線方向的單位矢量。對式(1)進行兩次求導(dǎo)并化簡可得到視線旋轉(zhuǎn)坐標系下彈目相對運動方程[3]：

(2)

(3)

由式中前兩式可得到瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的視線轉(zhuǎn)率變化

(4)

2.2 彈目相對狀態(tài)測量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差的轉(zhuǎn)換模型

2.2.1 視線轉(zhuǎn)率與相對運動狀態(tài)關(guān)系

攔截彈與來襲導(dǎo)彈相對位置r和相對速度V在地心坐標系下可表示為

(5)

式中:x0、y0和z0為地心坐標系3個單位向量;rx、ry、rz、vx、vy、vz分別為相對位置、相對速度在3個方向的投影分量。

根據(jù)視線轉(zhuǎn)率定義以及彈目相對狀態(tài)可得

(6)

令m=V·r=rxvx+ryvy+rzvz,則式可化簡

(7)

2.2.2 協(xié)方差轉(zhuǎn)換方法

協(xié)方差轉(zhuǎn)換矩陣用于表示具有某種函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的參數(shù)之間均值與方差的對應(yīng)轉(zhuǎn)換方法。假設(shè)狀態(tài)矢量分別為x、y,它們之間關(guān)系為

y=f(x)

(8)

狀態(tài)矢量x的均值mx和協(xié)方差矩陣Px為

(9)

則狀態(tài)矢量y的協(xié)方差矩陣Py為

Py=E[(y-my)(y-my)T]=

(10)

式中:偏導(dǎo)數(shù)矩陣?y/?x稱為雅克比(Jacobian)矩陣,可以表示為

(11)

式(11)可表示為

Py=JPxJT

(12)

式(12)是對協(xié)方差矩陣Px進行相似變換,矩陣J是正交矩陣,有J-1=JT,且det(J)=1。

2.2.3 彈目相對狀態(tài)測量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差轉(zhuǎn)換解析模型

令彈目相對狀態(tài)測量誤差中相對位置、彈目相對速度分別包含了半徑為σr、σv的誤差球,且其在地慣系下3個方向的協(xié)方差矩陣可表示為

(13)

式中:Prv代表彈目相對位置、速度交班誤差的協(xié)方差矩陣;下標r表示位置,下標v代表速度,下標x、y、z代表地心慣性坐標系的3個方向。由式(7)及式(11)可求得視線轉(zhuǎn)率對相對位置、相對速度各分量的偏導(dǎo)數(shù)如下:

(14)

--------------------

由此可得彈目相對狀態(tài)測量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差的Jacobian變換矩陣:

(15)

相對位置速度誤差同視線轉(zhuǎn)率誤差關(guān)系為

Pωs=JPrvJT

(16)

2.3 視線轉(zhuǎn)率誤差傳播模型

在末制導(dǎo)段,攔截彈通常采用小視線角比例導(dǎo)引的控制方法對來襲導(dǎo)彈進行接近,在末制導(dǎo)段相對距離較小時,脫靶量可近似表示為

(17)

由式(17)可知,脫靶量的計算主要受視線轉(zhuǎn)率誤差、相對距離誤差、相對速率誤差影響,交班誤差、測量誤差、控制精度誤差等多項誤差最終通過影響視線轉(zhuǎn)率最終影響脫靶量。下面推導(dǎo)視線轉(zhuǎn)率誤差傳播模型。

(18)

(19)

對于理想限幅器的可將其線性化為

(20)

(21)

式中:PI(u)與G(u)函數(shù)為

(22)

不考慮制導(dǎo)周期內(nèi)系統(tǒng)受連續(xù)隨機噪聲影響,根據(jù)離散連續(xù)混合系統(tǒng)協(xié)方差描述函數(shù)法[9]可得系統(tǒng)狀態(tài)變量在一個周期tk

(23)

--------------------

在tk時刻,制導(dǎo)控制模塊對離散狀態(tài)變量進行測量和濾波計算,以形成新的制導(dǎo)指令作用于整個系統(tǒng),tk時刻系統(tǒng)各狀態(tài)變量的均值mk/k和協(xié)方差Pk/k如下:

(24)

(25)

2.4 攔截彈末制導(dǎo)段誤差傳播對攔截效果影響分析流程

由上述分析可知,彈目相對狀態(tài)測量誤差、導(dǎo)引頭測量誤差、加速度飽和限制等影響因素綜合體現(xiàn)在末制導(dǎo)段彈目相對視線轉(zhuǎn)率誤差的控制和傳播過程中,據(jù)此本文的計算流程為基于第2.2節(jié)建立的彈目相對狀態(tài)測量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差轉(zhuǎn)換模型,計算得到視線轉(zhuǎn)率誤差傳播初值,在此基礎(chǔ)上利用第2.3節(jié)視線轉(zhuǎn)率誤差傳播解析模型進行積分計算可得視線轉(zhuǎn)率變化情況,最終利用脫靶量與視線轉(zhuǎn)率之間的關(guān)系可得到攔截效果變化,解析計算流程如圖4所示。

圖4 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播對攔截效果分析計算流程Fig.4 Calculation process of interceptor terminal guidance errorpropagation analytical

3 仿真驗證與分析

3.1 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播解析模型驗證

影響攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播影響有關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:攔截彈的機動加速度限幅為6g,來襲目標機動加速度為常值且沿垂直彈目視線方向,即at=atθ=g;攔截彈制導(dǎo)控制周期為0.01 s,比例導(dǎo)引系數(shù)N=4,視線轉(zhuǎn)率估計誤差σs,est=0.2 mrad/s,蒙特卡羅打靶次數(shù)為300次;盲區(qū)距離300 m;相對位置速度誤差取σr=50 m,σv=2m/s。

假設(shè)攔截彈和來襲導(dǎo)彈初始運動狀態(tài)如表1所示。

表1 攔截彈和來襲導(dǎo)彈初始狀態(tài)Table 1 Initial state of interceptor and target missile

基于第2節(jié)建立的包含中末交班誤差的攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播模型,解析計算及蒙特卡羅打靶計算結(jié)果如下。

由圖5(a)可知,攔截彈在末制導(dǎo)開始時刻,由于初始攔截幾何不理想,且視線轉(zhuǎn)率較大,直至5.88 s,攔截彈處于6g的飽和過載狀態(tài)。由圖5(b)可知彈目視線轉(zhuǎn)率控制效果較好,變化連續(xù),且在最終穩(wěn)定收斂至0.8×10-5rad/s,根據(jù)式可算得脫靶量均值為0.046 m。

由圖5(c)可知攔截彈末制導(dǎo)過程中誤差傳播有4個階段:第1階段(0～5.88 s),攔截彈加速度飽和階段,此時導(dǎo)引頭的測量信息未能被完全使用,誤差為自然發(fā)散;第2階段(5.89～14.22 s),視線轉(zhuǎn)率標準差平穩(wěn)下降階段,這是因為制導(dǎo)指令中包含了視線轉(zhuǎn)率估計誤差,由于視線轉(zhuǎn)率估計精度較高,因此中段交班誤差得到控制;第3階段(14.23～18.86 s)為視線轉(zhuǎn)率標準差小幅上升階段,此時視線轉(zhuǎn)率已控制到較小得水平,相同水平的視線轉(zhuǎn)率估計誤差在制導(dǎo)指令中占比上升,從而造成視線轉(zhuǎn)率標準差的上升;第四階段(18.87s～盲區(qū)),此時視線轉(zhuǎn)率均值控制接近于零,標準差成類似指數(shù)的形式上升,計算可得脫靶量標準差為0.008 m。

由圖5及表2可知,本文推導(dǎo)的攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播解析模型同蒙特卡羅打靶結(jié)果比對一致性好,計算誤差小于3.3%,但是蒙特卡羅計算300次的耗時遠大于解析模型的計算時間,因此本文基于協(xié)方差描述法推導(dǎo)的攔截彈末制導(dǎo)階段誤差傳播變化解析解是精確、高效的。

圖5 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播變化計算結(jié)果對比Fig.5 Interceptor terminal guidance error propagation results comparison

表2 解析模型同蒙特卡羅打靶結(jié)果統(tǒng)計表

3.2 彈目相對狀態(tài)測量誤差對脫靶量影響分析

本小節(jié)進行相對位置、相對速度誤差傳播對脫靶量計算分析,彈目相對運動狀態(tài)及參數(shù)設(shè)置同第3.1節(jié),取相對位置誤差變化范圍為0～3 000 m;速度誤差為0～140 m/s,計算結(jié)果如下。

根據(jù)圖6及圖7計算結(jié)果可知,攔截脫靶量隨著相對位置、速度誤差增加而增加,在本算例邊界條件下即相對位置誤差為3 000 m、速度誤差為140 m/s情況下,脫靶量達734.3 m,無法實現(xiàn)攔截。

圖6 相對狀態(tài)誤差對脫靶量影響二維圖Fig.6 Two-dimensional diagram of miss distance variety with relative state measurement error

圖7 相對狀態(tài)誤差對脫靶量影響三維圖Fig.7 Three-dimensional diagram of miss distance variety with relative state measurement error

圖8給出了通過脫靶量計算得到了的攔截彈不同脫靶量門限下可允許的相對位置、相對速度誤差區(qū)域,其中rmiss=1 m的曲線所包圍的區(qū)域代表可攔截范圍。根據(jù)計算結(jié)果可知當相對速度誤差為零時,可允許最大位置誤差為2 557 m/s;可知當相對位置誤差為零時,可允許的最大速度誤差為135.1 m/s。

圖8 攔截彈實現(xiàn)攔截可允許的相對狀態(tài)測量誤差集Fig.8 Interceptor permissible relative state measurement error reachable set

4 結(jié) 論

本文采用連續(xù)離散混合系統(tǒng)協(xié)方差描述函數(shù)法對大氣層外攔截彈末制導(dǎo)過程中誤差的傳播過程進行了分析及建模,并同蒙特卡羅打靶計算結(jié)果進行了比對,驗證了所建模型的正確性及高效性,得到了攔截成功所允許的最大彈目相對位置、相對速度誤差。通過仿真分析得到了以下結(jié)論,一是在相對狀態(tài)測量誤差較小的情況下,攔截彈可以實現(xiàn)對來襲導(dǎo)彈的攔截,相對狀態(tài)誤差主要影響攔截脫靶量散布,即脫靶量方差;二是當相對狀態(tài)測量誤差較大時,直接影響攔截脫靶量的均值,會造成攔截失敗。因此需從攔截彈自身性能、導(dǎo)彈防御系統(tǒng)預(yù)警衛(wèi)星及雷達發(fā)現(xiàn)跟蹤能力等方面,加強對來襲目標紅外、雷達、運動特性的信息積累,以期為攔截彈盡量提供精確的中末交班信息,進而提高攔截的成功率。