喬理揚(yáng), 崔忠馬, 楊赟秀, 舒 勤,*

(1. 四川大學(xué)電氣工程學(xué)院, 四川 成都 610065; 2. 北京遙感設(shè)備研究所, 北京 100854;3. 西南技術(shù)物理研究所, 四川 成都 610045)

0 引 言

多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)技術(shù)是一種具有許多優(yōu)勢的靈活技術(shù)[1-3]。MIMO雷達(dá)通過使用多個天線同時發(fā)射相互正交的信號,并使用多個天線接收回波。這使得MIMO雷達(dá)具有比傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)更大的自由度,導(dǎo)致MIMO雷達(dá)的可識別性和分辨率顯著提高。頻控陣(frequency diverse array,FDA)與相控陣具有相似的結(jié)構(gòu),作為一種新型陣列雷達(dá)在2006年被首次提出[4]。FDA通過控制每個天線的載波頻率來控制具有不同距離-角度關(guān)系的波束形式[5]。正是這種距離-角度依賴的特性,使得FDA有了在距離和角度兩個維度上定位目標(biāo)的能力。MIMO技術(shù)與FDA在文獻(xiàn)[6]中被首次合并,自此針對FDA-MIMO雷達(dá)的研究成了熱點(diǎn)問題。

陣列的參數(shù)估計(jì)研究有悠久的歷史,許多優(yōu)秀的估計(jì)方法被提出。例如基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計(jì)技術(shù)(estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)和多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)技術(shù)[7-8]。目前,大多數(shù)的估算方法都假定天線陣列是理想的。但實(shí)際中,天線陣列始終存在未知的誤差。典型的天線誤差包括陣列間的相互耦合,這是由天線元件的輻射效應(yīng)引起的必然存在的誤差[9-10]。天線陣列互耦合會使得信號發(fā)射與回波參數(shù)估計(jì)帶來障礙。發(fā)射天線陣列互耦會影響電壓駐波比,可能導(dǎo)致能量輻射失敗[11-12];接收陣列互耦合可能導(dǎo)致目標(biāo)參數(shù)估計(jì)誤差增大。因此，消除陣列互耦合對提高陣列與估計(jì)算法性能是非常必要的。本文重點(diǎn)研究接收陣列存在互耦合對目標(biāo)距離和角度估計(jì)的影響,以及消除互耦合的參數(shù)估計(jì)方法。

傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)的參數(shù)估計(jì)方法中,有許多針對存在陣列耦合的情況。文獻(xiàn)[13-14]提出了均勻線性陣列(uniform linear array,ULA)校準(zhǔn)的方法,并且總結(jié)了ULA的信號模型與互耦合矩陣模型。文獻(xiàn)[15]中提出了用貝葉斯學(xué)習(xí)來研究到達(dá)角(direction of arrival,DOA)估計(jì)性能和陣列自校準(zhǔn)的問題。文獻(xiàn)[16]提出一種DOA和互耦合系數(shù)聯(lián)合估計(jì)的方法,從此陣列參數(shù)和互耦合系數(shù)的聯(lián)合估計(jì)成為了新的研究方向。文獻(xiàn)[17]從信號角度分析信號的額外信息,從而進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[18]中從信號矩陣結(jié)構(gòu)角度思考,提出了一種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換策略方法來進(jìn)行參數(shù)估計(jì),然后通過迭代求解互耦合系數(shù),迭代過程浪費(fèi)了巨大的計(jì)算資源。文獻(xiàn)[19]提出了一種遞進(jìn)方法,首先避免耦合影響并估計(jì)DOA,然后使用估計(jì)得到的DOA通過解決半定規(guī)劃問題估計(jì)耦合系數(shù),迭代收斂的過程耗時較多,效率低下。文獻(xiàn)[20]改進(jìn)了迭代的方法,通過建立拉格朗日乘數(shù)法解決二次優(yōu)化問題,計(jì)算效率提升。

上述互耦合系數(shù)估計(jì)方法均適用于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)的信號結(jié)構(gòu)。目前,鮮見有研究FDA-MIMO雷達(dá)互耦合校準(zhǔn)方法,由于天線陣陣列間電磁輻射引起的互耦合效應(yīng)不可避免,因而對FDA-MIMO雷達(dá)互耦合系數(shù)估計(jì)及影響分析缺失,對于FDA-MIMO雷達(dá)陣列性能評估是不充分的。本文針對FDA-MIMO雷達(dá)陣列間存在未知互耦合問題,提出一種天線間存在耦合情況下的距離和角度估計(jì)技術(shù)和耦合系數(shù)估計(jì)方法。

本文首先將傳統(tǒng)陣列耦合校準(zhǔn)技術(shù)拓展到FDA-MIMO雷達(dá),得到存在互耦的FDA-MIMO雷達(dá)接收信號模型,對此模型分解得到信號子空間和噪聲子空間,利用信號子空間和噪聲子空間的正交性得到譜函數(shù),通過一種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法,成功得到了距離和角度的估計(jì)值。再通過類似線性約束最小方差重構(gòu)優(yōu)化問題,求解未知耦合系數(shù)。仿真結(jié)果證明了方法的有效性。

1 信號模型

考慮一個具有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元的單基地均勻線性FDA-MIMO雷達(dá)，則第m個陣元發(fā)送的復(fù)信號可以表示為

sm(t)=φm(t)ej2πfmt， 0≤t≤T;m=1,2,…,M

(1)

式中:T為雷達(dá)脈沖持續(xù)時間;fm第m個天線上面增加的頻率偏移,并且有fm=f1+Δfm,f1為參考載波頻率,Δfm為第m(m>1)個陣元的頻率偏移,該頻率偏移相對載波頻率來說可以忽略不計(jì);φm(t)表示單位能量波形,且波形滿足正交條件。

電磁波在空間任意傳播,假設(shè)雷達(dá)的遠(yuǎn)場空間中存在n個目標(biāo),每個目標(biāo)均會反射來自發(fā)射天線的信號,則接收陣列中,第n個接收陣元接收來自k個目標(biāo)的反射信號表示為

(2)

(3)

式中:rk為第θk個目標(biāo)的徑向距離;θk為第k個目標(biāo)的角度;c為光速;dT和dR分別為發(fā)射陣列陣元間距和接收陣列陣元間距。

在接收端,通過下變頻和匹配濾波處理接收到的信號,輸出信號的第l個快拍可以表示為

y(l)=As(l)+n(l)

(4)

式中:A=[aR(θ1)?aT(r1,θ1),aR(θ2)?aT(r2,θ2),…,aR(θk)?aT(rk,θk)]∈CMN×K為導(dǎo)向矢量矩陣,?為Kronecker積;s(l)=[s1(l),s2(l),…,sK(l)]T∈CK×1為包含各目標(biāo)復(fù)反射系數(shù)的信號矢量;n(l)∈CMN×1為獨(dú)立0均值復(fù)高斯分布的噪聲向量;aT(rk,θk)∈CM×1為發(fā)射陣列的導(dǎo)向矢量,aR(θk)∈CN×1為接收陣列的導(dǎo)向矢量,其中,

(5)

(6)

在發(fā)射和接收陣列陣元間存在耦合的情況下,陣列發(fā)射和接收的信號將會產(chǎn)生列相關(guān)效應(yīng),且aT和aR均會被互耦合矩陣影響[20]。

具有M×M個陣列天線的天線間互耦合效應(yīng)可以通過M×M的互耦合矩陣來描述,其矩陣為可以表示為

(7)

在互耦合矩陣C中,元素ci, j為陣列中第i個陣元與第j個陣元之間的耦合系數(shù)。ci, j的大小與陣元之間的距離成反比,隨著陣元間距超過某一定值,耦合將可忽略不計(jì)[13]。ULA的耦合矩陣具有對稱Toeplitz結(jié)構(gòu)[21],設(shè)CT和CR分別為發(fā)射陣列和接收陣列的互耦合系數(shù)矩陣,并且假設(shè)發(fā)射陣列與接收陣列的每行各有P和Q個非零互耦合系數(shù),則

(8)

cT=[cT1,cT2,…,cTP]T和cR=[cR1,cR2,…,cRQ]T為互耦合系數(shù)向量。

因此,L個快拍信號模型寫為矩陣形式為

Y=(CRAR)?(CTAT)S+N=CAS+N

(9)

式中:C=CR?CT∈CMN×MN為耦合矩陣;S∈CK×L為信號矩陣；N為高斯噪聲矩陣。

2 所提算法

2.1 距離與角度估計(jì)

根據(jù)子空間算法,首先求得Y的協(xié)方差矩陣:

R=E{YYH}=CARsAHCH+σ2IMN

(10)

式中:Rs是信號協(xié)方差矩陣；σ2是噪聲方差;IMN為單位矩陣。

對式(10)進(jìn)行特征值分解,得到:

(11)

可以使用MUSIC的方法,遍歷搜索區(qū)域中的距離Z和角度Θ,可以用以下譜函數(shù)的K個峰估算所有目標(biāo)的距離和角度[22]:

(12)

式中:F(Z,Θ)的K個最大峰值將對應(yīng)估計(jì)的源的角度和距離。

但是,上述譜函數(shù)因?yàn)殛嚵形粗ヱ詈闲?yīng)的存在,譜函數(shù)會受未知互耦合矩陣C影響,形成嚴(yán)重的相關(guān)效應(yīng),估計(jì)性能急劇下降。為了消除陣列互耦合的影響,可以使用下述方法。

首先,令:

(13)

式中:ΦT∈CM×P與ΦR∈CN×P均為與導(dǎo)向矢量相關(guān)的轉(zhuǎn)換矩陣;CT和CR為影響發(fā)射陣列和接收陣列的耦合矩陣,設(shè)φ=1,2,…,P,φ=1,2,…,Q。并且,令

(14)

(15)

經(jīng)過上述轉(zhuǎn)換,譜函數(shù)可以表達(dá)為

(16)

(17)

則距離和角度的估計(jì)值可表示為

(18)

2.2 互耦合系數(shù)估計(jì)

在估計(jì)距離和角度的過程中需要避免c為0的特殊情況,通過類似線性約束最小方差來重構(gòu)此問題。在這里定義eTc=1。其中,e=[1,0,…,0]T∈CM×1。

因此，式(18)可以表達(dá)為

min(cHΠc)

s.t.eTc=1

(19)

構(gòu)建代價(jià)函數(shù):

L(Z,Θ)=cHΠc-λ(eTc-1)

(20)

式中:λ是常數(shù)。對c求偏導(dǎo),令?/?cL(Z,Θ)=0得

2Πc+λe=0

(21)

從式(21)中獲得

c=μΠ-1e

(22)

其中,μ為常數(shù):

(23)

由式(22)和式(23),可以得到互耦合系數(shù)的估計(jì)值:

(24)

3 仿真分析

在仿真中,M和N均設(shè)置為20,dT和dR均設(shè)置為0.5c/fM+B,B≈Δf2,f1設(shè)置為10 GHz,對每個天線的頻率偏移采用對數(shù)法則[23],即Δf=lnmΔf,其中Δf=20 kHz。發(fā)射陣列和接收陣列的互耦系數(shù)分別設(shè)置為cR=[1,0.8+0.5j,0.1+0.2j]T,cT=[1,0.6+0.3j,0.2+0.1j]T?？紤]空間中有兩個待測目標(biāo)其距離和角度分別為(80 km,20°)和(130 km,55°),信源發(fā)射信號快拍數(shù)為200,如圖1所示。

圖1 發(fā)射陣列與接收陣列示意圖Fig.1 Schematic diagram of transmitting array and receiving array

仿真 1所提算法對目標(biāo)進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果

采用所提算法對目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果如圖2所示。角度的搜索范圍為[20 km,200 km],間隔為[20 km,200 km];距離的搜索范圍為[20 km,200 km],間隔為1 m,信噪比(signal to noise ratio, SNR)設(shè)置為10 dB。可以看出,在收發(fā)陣列存在互耦合影響的情況下,所提算法在不需要預(yù)知互耦合系數(shù)的前提下,就可以較為精確地獲得目標(biāo)距離和角度的估計(jì)值,這是本文算法的優(yōu)勢。由于FDA-MIMO結(jié)構(gòu)本身不能消除互耦合,因而直接使用傳統(tǒng)估計(jì)算法結(jié)果是不理想的。圖2為參數(shù)估計(jì)的譜結(jié)果三維圖,可以清晰看到目標(biāo)的距離和角度參數(shù)估計(jì)結(jié)果,圖中強(qiáng)峰為每個目標(biāo)的距離和角度參數(shù)。

圖2 所提算法的譜圖(三維)Fig.2 Spectra of the proposed algorithm (three dimensional)

圖3是圖2譜結(jié)果圖在距離角度平面上的投影,其中橫坐標(biāo)為角度,縱坐標(biāo)為距離,圖中紅框位置為譜峰,譜峰即為距離和角度的估計(jì)值。

圖3 所提算法的譜圖(二維)Fig.3 Spectra of the proposed algorithm (two dimensional)

仿真 2算法估計(jì)距離和角度的統(tǒng)計(jì)性能

定義距離和角度估計(jì)結(jié)果的均方根誤差(root mean aquare error, RMSE)分別為

(25)

式中：K為目標(biāo)個數(shù)；W為蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)；仿真中W=500。SNR與角度和距離結(jié)果的RMSE的關(guān)系如圖4所示。

圖4 角度和距離的RMSE與SNR的關(guān)系Fig.4 Relationship between RMSE and SNR of angle and range

圖4顯示,在陣列互耦合存在的情況下,所提算法在一定SNR范圍內(nèi)均具備較好的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[19]中算法同樣可以進(jìn)行參數(shù)估計(jì)但是誤差相對較大,傳統(tǒng)MUSIC方法則在互耦合情況下性能喪失,所提方法在保證準(zhǔn)確估計(jì)的前提下,提升了估計(jì)準(zhǔn)度。

仿真 3算法估計(jì)互耦合系數(shù)的統(tǒng)計(jì)性能

定義互耦合系數(shù)估計(jì)結(jié)果的RMSE為

(26)

根據(jù)所提算法分別對發(fā)射陣列耦合系數(shù)cR和接收陣列耦合系數(shù)cT進(jìn)行估計(jì)。圖5給出了耦合系數(shù)估計(jì)時的SNR與RMSE的關(guān)系。

圖5 耦合系數(shù)估計(jì)的RMSE與SNR的關(guān)系Fig.5 Relationship between RMSE and SNR of mutual coupling coefficient estimation

由圖5可以看到,在一定SNR范圍內(nèi),耦合系數(shù)估計(jì)的RMSE隨SNR的增加而減小,所提方法與對比算具有相似的估計(jì)性能,所提方法體現(xiàn)更優(yōu)的估計(jì)結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文提出一種FDA-MIMO雷達(dá)陣列間存在互耦合效應(yīng)時的參數(shù)估計(jì)方法。該方法首先構(gòu)造了存在未知互耦合陣列的接收信號模型,通過子空間分解的方法得到用于參數(shù)估計(jì)的譜函數(shù);并且采用一種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換策略,解決了譜函數(shù)由于未知耦合矩陣存在而失真的問題,最終得到了FDA距離和角度參數(shù)的估計(jì)值;通過類似線性約束最小方差重構(gòu)優(yōu)化問題,估計(jì)出耦合系數(shù)矩陣。仿真結(jié)果顯示,本文提出的方法解決了發(fā)射陣和接收陣共同存在耦合情況的參數(shù)估計(jì)問題,并且避免了迭代方法造成的資源浪費(fèi),提升了計(jì)算效率,并且估計(jì)性能均優(yōu)于現(xiàn)有算法。