趙英健, 田 波, 王春陽, 宮 健, 譚 銘

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

為了提高信號處理性能,相控陣天線在民用和軍用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。然而,在沒有多個相控陣天線陣列或基于相控陣的多波束天線情況下,僅通過波束形成無法直接抑制距離相關(guān)干擾。在2006年的IEEE國際雷達(dá)會議中,Antonic首次提出頻控陣(frequency diverce array,FDA)概念[1],FDA是在相控陣基礎(chǔ)上通過在陣元間附加遠(yuǎn)小于載頻的頻偏增量,使波束方向圖具有距離-角度二維依賴特性[2-3]。通過結(jié)合多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術(shù)[4-5],FDA-MIMO可以在發(fā)射和接收兩個方面提供可控的自由度[6-9],獲得距離-角度耦合的導(dǎo)向矢量,從而為抑制距離相關(guān)干擾創(chuàng)造了條件。

自適應(yīng)波束形成技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、醫(yī)學(xué)成像、無線通信等領(lǐng)域,其利用不同位置處的傳感器陣列進(jìn)行信號采集,再調(diào)整各陣元加權(quán)系數(shù)實現(xiàn)對期望信號的有效接收和干擾的有效抑制[10]。利用采樣協(xié)方差矩陣直接求逆獲得權(quán)值的采樣協(xié)方差矩陣求逆(sample matrix inversion, SMI)算法[11]是一種經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成算法,但是波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計等誤差造成的目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配會嚴(yán)重影響該算法的性能,而實際應(yīng)用中相對于無信號訓(xùn)練數(shù)據(jù),采樣協(xié)方差矩陣混有期望信號也必然會降低算法的收斂性,并且在小訓(xùn)練樣本時算法性能也將嚴(yán)重下降[12]。

為解決上述問題,國內(nèi)外學(xué)者提出了許多方法用于提高算法的穩(wěn)健性。線性約束最小方差(linearly constrained minimum variance, LCMV)波束形成器[13]通過在有用信號附近進(jìn)行多點約束實現(xiàn)主瓣展寬,對期望信號到達(dá)角估計誤差有一定穩(wěn)健性,但會消耗陣列的自由度并且不能克服一般類型的失配。Feldman在文獻(xiàn)[14]中提出基于特征空間(eigenspace-based, ESB)的自適應(yīng)波束形成算法,該算法在陣列數(shù)據(jù)含期望信號時,可改善低快拍或指向誤差對算法性能的影響,但在低信噪比(signal to noise ratio,SNR)情況下算法性能下降嚴(yán)重[15-16]。對角加載(diagonal loading, DL)算法能夠提高對于一般失配的穩(wěn)健性,并抵制有限樣本引起的采樣協(xié)方差矩陣失配[17],但存在加載系數(shù)難以確定的缺陷[18]。近年來,更多的自適應(yīng)波束形成算法建立在清晰的最優(yōu)化理論框架上,如文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]提出最差性能最優(yōu)化(worst-case performance optimization, WCPO)法,為精確的對角加載因子提供了指導(dǎo),但是導(dǎo)向矢量誤差2-范數(shù)上確界未知可能導(dǎo)致該算法性能過于保守。Li等人提出基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健Capon波束形成(robust Capon beamforming, RCB)算法[21],盡管給出準(zhǔn)確的最優(yōu)加載系數(shù)計算方法,但性能改善不是很明顯?；诘幚淼倪f推最小二乘(recursive least squares, RLS)算法和最小均方(least mean square, LMS)算法[22]存在運(yùn)算時耗長,不利于雷達(dá)實時處理的問題。

當(dāng)前對于自適應(yīng)波束形成算法的研究主要基于相控陣體制進(jìn)行,對于FDA-MIMO體制下的波束形成算法研究較少。文獻(xiàn)[23]將FDA與MIMO結(jié)合,提出一種基于直接數(shù)據(jù)域的穩(wěn)健波束形成方法,但該算法僅對訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在目標(biāo)信號的情況具有穩(wěn)健性。文獻(xiàn)[24]和文獻(xiàn)[25]分別分析了基于FDA不同接收處理機(jī)制下的RCB算法和RLS算法性能,并未對算法本身的缺陷進(jìn)行改進(jìn)。因此,本文研究了多種穩(wěn)健波束形成算法在FDA-MIMO下的應(yīng)用并提出一種基于FDA-MIMO處理機(jī)制的改進(jìn)ESB算法。仿真結(jié)果表明:本文所提算法對目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配有較強(qiáng)的穩(wěn)健性,并且克服了ESB算法在低SNR情況下性能嚴(yán)重下降的問題,因此有較好的應(yīng)用前景。

1 FDA-MIMO信號處理模型

1.1 FDA發(fā)射信號模型

考慮由N個間距相等的陣元構(gòu)成的均勻線性FDA(uniform linear array-FDA, ULA-FDA),附加頻偏增量Δf線性遞增,設(shè)第1個陣元為參考陣元,目標(biāo)相對參考陣元位置為(θ,r0),其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 ULA-FDA發(fā)射陣列

在遠(yuǎn)場窄帶假設(shè)下,不考慮信號包絡(luò),陣元n發(fā)射信號形式可以表示為

sn(t)=exp(j2πfnt),n=0,1,…,N-1

(1)

式中:fn=f0+nΔf(n=0,1,…,N-1)為陣元n的發(fā)射載頻,f0為參考陣元載頻。

從陣元n發(fā)射到達(dá)目標(biāo)的信號可表示為

(2)

式中:rn=r0-ndsinθ,d為陣元間距;c為光速。

(3)

則加權(quán)后到達(dá)目標(biāo)的信號為

(4)

(5)

(6)

由式(4)可得

(7)

式中:wf=πΔf;wc=πdfc/c;fc表示為

(8)

式中:exp(jΦ0)為附加固定相位,其數(shù)值為

(9)

由式(7)顯然可知,FDA發(fā)射波束具有時間-距離-角度三維依賴特性。

1.2 FDA接收處理機(jī)制

陣元發(fā)射的信號到達(dá)目標(biāo)后,經(jīng)反射返回接收陣列,文獻(xiàn)[26]提出3種FDA信號處理機(jī)制,其中FDA-MIMO機(jī)制被認(rèn)為是最有效率的一種,本文采用該機(jī)制對信號進(jìn)行處理。設(shè)有N個接收通道,每個接收通道接收的回波信號均包含所有發(fā)射通道的信號,之后通過各個通道的N個窄帶濾波器hnm將接收的所有通道的發(fā)射信號進(jìn)行分離,對分離后的回波數(shù)據(jù)按接收通道進(jìn)行重排,數(shù)據(jù)重排后大小為N×N,對重排后的數(shù)據(jù)進(jìn)行普通波束掃描,即

(10)

此時對接收數(shù)據(jù)加載的權(quán)矢量wr可以表示為

(11)

式中:

(12)

(13)

經(jīng)過加權(quán)處理后的接收信號輸出為

(14)

化簡式(14),得到加權(quán)后接收信號輸出的結(jié)果為

(15)

式中:Φ1為固定相位偏移,其數(shù)值為

(16)

對式(15)求模值,則有

(17)

在對FDA-MIMO接收的回波信號進(jìn)行處理提取信息時,文獻(xiàn)[27-28]提出在各個接收陣元均采用多個匹配濾波器來利用FDA的距離角度相關(guān)特性。其設(shè)計的信號處理方式為:當(dāng)接收信號進(jìn)入各個接收陣元,首先在模擬設(shè)備中與頻率為f0的信號進(jìn)行混頻,經(jīng)低通濾波輸出后再進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換,最后在數(shù)字設(shè)備中用特定濾波器組進(jìn)行匹配濾波。其信號處理架構(gòu)如圖2所示。

圖2 接收端匹配濾波信號處理

目標(biāo)回波信號經(jīng)過最終的匹配濾波輸出為

(18)

因此,在整個FDA-MIMO的處理系統(tǒng)中,時間參數(shù)的影響可以在接收端經(jīng)信號處理后消除。

2 自適應(yīng)波束形成技術(shù)

2.1 SMI算法

基于最小方差無失真準(zhǔn)則得到的最優(yōu)波束形成器,即MVDP波束形成器,其原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

(19)

解得算法的自適應(yīng)權(quán)矢量wMVDR為

(20)

(21)

式中:xi+n(l)為第l個樣本數(shù)據(jù)元素；L為可利用的樣本總數(shù)。

將該算法擴(kuò)展到FDA的應(yīng)用上,則自適應(yīng)權(quán)矢量表示為

(22)

2.2 傳統(tǒng)ESB算法

在研究自適應(yīng)波束形成算法穩(wěn)健性問題時,非理想因素主要包括DOA估計誤差造成的目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配和小快拍數(shù)引起的采樣協(xié)方差矩陣失配[29]。假設(shè)有1個期望信號,J個干擾,對有限快拍下的采樣協(xié)方差矩陣Rs進(jìn)行特征分解

(23)

式中:Us∈CM×(J+1)包含了Rs中信號加干擾子空間的J+1個特征向量；Σs∈C(J+1)×(J+1)其中的對角線元素為其對應(yīng)的特征值;矩陣UN∈CM×(M-J-1)包含噪聲子空間M-J-1個特征向量；ΣN∈C(M-J-1)×(M-J-1)其中的對角線元素為其對應(yīng)特征值。

由式(23)可以看出,陣列接收信號的空間由信號加干擾子空間和噪聲子空間分量構(gòu)成,而理想情況下期望信號僅存在于信號加干擾子空間中,ESB算法便基于此原理,摒棄權(quán)矢量在噪聲子空間中的分量而僅保留在信號加干擾子空間中的分量。于是,ESB算法權(quán)矢量[29]表示為

(24)

將ESB算法擴(kuò)展到FDA的應(yīng)用上,則自適應(yīng)權(quán)矢量表示為

(25)

在計算波束形成算法的權(quán)矢量時,假定的目標(biāo)導(dǎo)向矢量受DOA估計誤差等因素影響會存在一定的失配,但是真實的目標(biāo)導(dǎo)向矢量一定存在于信號加干擾子空間。因此，用假定的導(dǎo)向矢量在信號加干擾子空間的投影作為估計的導(dǎo)向矢量,排除了噪聲擾動的影響,改善了目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配條件和小快數(shù)條件下的雷達(dá)檢測性能。

2.3 空間擴(kuò)展ESB算法

傳統(tǒng)的ESB算法在輸入SNR較低時,信號子空間與噪聲子空間會發(fā)生混疊現(xiàn)象,無法保證良好的正交性,此時直接舍棄權(quán)矢量在噪聲子空間的分量會有較大的誤差,獲得的權(quán)矢量不是最優(yōu)權(quán)矢量。

(26)

式中:um(m=1,2,…，j)為干擾對應(yīng)的特征向量,之后對Es進(jìn)行奇異值分解：

Es=UDVH

(27)

將算法獲得的權(quán)矢量w0向Es的大特征值對應(yīng)的左奇異向量列空間UUH投影,即

wIESB=UUHw0

(28)

由于引入期望信號導(dǎo)向矢量,空間擴(kuò)展ESB算法可以在低輸入SNR條件下具有較好的波束保形能力,但是該算法計算量大,需要進(jìn)行一次特征分解和一次奇異值分解。

3 改進(jìn)的ESB算法

本文提出一種ESB改進(jìn)算法,能在陣列接收信號和波達(dá)方向估計的先驗信息之間實現(xiàn)一種平衡。在高SNR條件下,傳統(tǒng)ESB波束形成器利用陣列接收的信號進(jìn)行處理具有很好的穩(wěn)健性,而低輸入SNR條件會發(fā)生噪聲子空間和信號子空間糾纏,故需要對采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)來消除此影響。

于是我們確定一個判決門限η來進(jìn)行先驗信息的選擇：

λJ+1/λJ+2η

(29)

式中:λJ+1,λJ+2為第J+1個和第J+2個特征值,當(dāng)比值小于判決門限時,可認(rèn)為是低SNR條件,ESB算法性能嚴(yán)重下降,甚至在較低快拍數(shù)時協(xié)方差矩陣近似為奇異矩陣。此時剔除信號和噪聲所在的子空間,僅保留大特征值對應(yīng)的干擾子空間,重構(gòu)的協(xié)方差矩陣寫為

(30)

式中:Uj∈CM×J包含了Rs中干擾子空間中J個特征向量；Σj∈CJ×J其中的對角線元素為其對應(yīng)的特征值。

但此時的重構(gòu)協(xié)方差矩陣近似為奇異矩陣,直接求逆會出現(xiàn)縮放錯誤造成算法失效,于是對目標(biāo)函數(shù)增加一個二次懲罰項ξwHw,表示為

(31)

式中:ξ為對角加載因子；w為改進(jìn)ESB算法的自適應(yīng)權(quán)矢量。

類似于對角加載方法,改進(jìn)ESB算法在重構(gòu)的協(xié)方差矩陣上人為地引入一個固定加載電平ξ,從而避免了協(xié)方差矩陣接近奇異陣導(dǎo)致的求逆運(yùn)算錯誤。不同于對角加載算法加載因子難以確定,改進(jìn)ESB算法對ξ的選取不敏感。

最終通過改進(jìn)ESB算法得到的低輸入SNR條件下的自適應(yīng)權(quán)矢量為

(32)

將該算法擴(kuò)展到FDA的應(yīng)用上,則相應(yīng)的自適應(yīng)權(quán)矢量為

(33)

通過以上分析,所提基于FDA-MIMO的改進(jìn)ESB算法完整步驟如下：

步驟 1設(shè)定初始權(quán)矢量,在發(fā)射端對發(fā)射信號進(jìn)行加權(quán),并向目標(biāo)空域照射;

步驟 2在FDA-MIMO接收端對發(fā)射信號進(jìn)行分離,并進(jìn)行數(shù)據(jù)重排獲得各通道接收數(shù)據(jù);

步驟 3對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行下變頻,模數(shù)變換,匹配濾波處理,消去時間參數(shù)的影響;

步驟 4對經(jīng)信號處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行特征分解,并將獲得的特征值由大到小進(jìn)行排列;

步驟 5設(shè)置判決門限η,將λJ+1/λJ+2的結(jié)果與η進(jìn)行比較,若λJ+1/λJ+2>η,執(zhí)行傳統(tǒng)ESB算法獲得自適應(yīng)權(quán)矢量wESB,若λJ+1/λJ+2<η,執(zhí)行步驟6;

步驟 6僅保留大特征值對應(yīng)的干擾子空間,并人為地引入一個固定加載電平,根據(jù)MVDR準(zhǔn)則對重構(gòu)的協(xié)方差矩陣求解,便可獲得波束形成器的自適應(yīng)權(quán)矢量w。

所提改進(jìn)ESB算法在低輸入SNR條件下保形效果良好,對于發(fā)射陣元與接收陣元數(shù)均為N的FDA-MIMO體制,其滿自由度為N2,改進(jìn)ESB算法的時間復(fù)雜度漸進(jìn)式表示為O((NN)3)。相比于擴(kuò)展ESB 算法,本文所提算法減少一步奇異值分解,故實際運(yùn)算復(fù)雜度要低于擴(kuò)展ESB算法。但是與擴(kuò)展ESB算法相同的是,由于低SNR條件下波束形成依賴于波達(dá)方向估計的先驗信息,故其對導(dǎo)向失配的穩(wěn)健性相比算法在高SNR條件下有所損失。

4 仿真分析

4.1 FDA-MIMO常規(guī)波束形成

結(jié)合式(18), FDA-MIMO處理機(jī)制仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

圖3為理想條件下,僅有目標(biāo)存在情況時的常規(guī)波束形成方向圖。

圖3 常規(guī)波束形成方向圖

由圖3可以看出,FDA-MIMO處理機(jī)制在目標(biāo)位置形成了高增益,空域濾波效果良好。

4.2 SMI波束形成器

考慮空間中存在多點源干擾的情況,干擾源的位置和干擾強(qiáng)度如表2所示。

表2 干擾參數(shù)

采用SMI算法,在目標(biāo)沒有導(dǎo)向矢量失配且較大的快拍數(shù)(快拍數(shù)為2 000)下進(jìn)行自適應(yīng)波束形成,獲得的波束方向圖如圖4所示。

圖4 理想條件SMI方向圖

圖4中綠色圓圈標(biāo)識目標(biāo)位置,紅色方框標(biāo)識干擾位置。由圖4可以看出,在理想條件下,SMI算法能夠在目標(biāo)位置處形成高增益,干擾源位置處形成零陷。下面進(jìn)一步研究非理想條件下SMI的穩(wěn)健性,即在小的快拍數(shù)(快拍數(shù)為200)和目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配情況下的波束形成情況如圖5所示。

圖5 非理想條件SMI波束方向圖

由圖5可以看出,在小快拍數(shù)條件下算法無法在目標(biāo)位置形成高增益;當(dāng)存在導(dǎo)向矢量失配時,峰值位置也相應(yīng)發(fā)生了一定偏移。故非理想條件使得SMI波束形成器的性能嚴(yán)重下降。

4.3 WCPO算法

設(shè)置采樣快拍數(shù)為200,其他仿真參數(shù)保持不變,目標(biāo)導(dǎo)向矢量存在5°的失配,利用WCPO算法獲得的波束方向圖如圖6所示。

圖6 非理想條件下WCPO算法方向圖

由圖6可知,WCPO算法對小快拍數(shù)和導(dǎo)向矢量失配有一定的穩(wěn)健性,但會提高旁瓣電平,且無法徹底解決目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配問題。

4.4 ESB算法

仿真參數(shù)保持不變,利用傳統(tǒng)ESB算法獲得的波束方向圖如圖7所示。

圖7 高輸入SNR條件下ESB算法方向圖

由圖7可以看出,在較小的快拍數(shù),較高的輸入SNR(SNR=0 dB)條件下,傳統(tǒng)ESB算法對目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配具有很好的穩(wěn)健性。將輸入SNR設(shè)置為-20 dB,其他參數(shù)保持不變,得到此時傳統(tǒng)ESB算法的波束方向圖如圖8所示。由圖8可知,傳統(tǒng)ESB算法在低SNR條件下失效導(dǎo)致了波束畸變,這會嚴(yán)重影響雷達(dá)檢測性能。

圖8 低輸入SNR條件下ESB算法方向圖

4.5 改進(jìn)的ESB算法

由第4.4節(jié)分析可知,在高SNR條件下,改進(jìn)的ESB算法具有與傳統(tǒng)ESB算法相同的公式形式與性能,即輸入SNR為0 dB時得到的改進(jìn)的ESB算法方向圖與圖7一致。設(shè)置輸入SNR為-20 dB,加載電平為-100 dB, 采樣快拍數(shù)為200的波束形成方向圖如圖9所示。

圖9 低輸入SNR條件下改進(jìn)的ESB算法方向圖

對比圖8和圖9可知,改進(jìn)的ESB算法在低輸入SNR條件下,具有良好的波束保形能力,克服了傳統(tǒng)ESB算法低輸入SNR條件下子空間糾纏導(dǎo)致波束畸變這一嚴(yán)重缺陷。仿真參數(shù)保持不變,以信干噪比(signal to interference noise ratio,SINR)對加載電平ξ的變化，來表示所提算法相對參數(shù)ξ的穩(wěn)健性能，其結(jié)果如圖10所示。

圖10 輸出SINR相對加載電平變化曲線

由圖10顯然可知,改進(jìn)ESB算法所需加載電平在-200～-60 dB的范圍內(nèi)都可以保持算法良好的輸出性能,因此該算法相比較DL算法,有著對加載電平穩(wěn)健并易于選取的優(yōu)勢。

4.6 算法性能分析

針對各波束形成算法在不同SNR下的輸出SINR進(jìn)行對比。DL算法(采用合適加載電平)、傳統(tǒng)ESB算法、SMI算法與本文所提改進(jìn)ESB算法、WCPO算法均考慮5°的目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配,并記無目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配的SMI算法為理想SMI算法作為對照組。圖11展示了不同快拍數(shù)下的波束形成算法SINR隨SNR變化的統(tǒng)計曲線。

圖11 輸出SINR相對輸入SNR變化曲線

由圖11可知在大采樣快拍數(shù)和小采樣快拍數(shù)條件下,本文所提的改進(jìn)的ESB算法均具有穩(wěn)定的輸出SINR,克服了小采樣快拍數(shù)SMI算法失效的缺陷。在高輸入SNR條件下,改進(jìn)的ESB算法具有比理想SMI算法和WCPO算法更好地輸出SINR,這是因為在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含期望信號時,較高的輸入SNR會使SMI算法和WCPO算法性能嚴(yán)重下降,而改進(jìn)的ESB算法對這種非理想條件具有較好的穩(wěn)健性,同時改進(jìn)的ESB算法不存在WCPO算法約束保守的缺陷。在低輸入SNR條件下,改進(jìn)的ESB算法與DL算法(采用合適加載電平)有著相近的輸出SINR,但改進(jìn)的ESB算法具有對加載電平穩(wěn)健的優(yōu)勢。

設(shè)置采樣快拍數(shù)為2 000,在不同輸入SNR條件下,分析幾種波束形成算法對目標(biāo)導(dǎo)向誤差的穩(wěn)健性,進(jìn)行100次蒙特卡羅實驗,得到仿真結(jié)果如圖12所示。

圖12 輸出SINR相對角度誤差變化曲線

由圖12可知在高輸入SNR條件下,改進(jìn)的ESB算法與傳統(tǒng)ESB算法對5°內(nèi)的目標(biāo)導(dǎo)向矢量失配的穩(wěn)健性明顯優(yōu)于SMI,DL和WCPO算法。在低輸入SNR條件下,由于剔除了噪聲子空間,改進(jìn)的ESB算法相比SMI算法對噪聲擾動有著更好的穩(wěn)健性,并且克服了傳統(tǒng)ESB算法失效造成雷達(dá)檢測性能下降的缺陷。

5 結(jié) 論

本文研究了基于FDA-MIMO體制的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法問題,針對ESB算法在低SNR條件下性能嚴(yán)重下降的缺陷,提出一種改進(jìn)的ESB算法,該算法具有以下優(yōu)勢:① 完全保留傳統(tǒng)ESB算法高輸入SNR條件下的良好穩(wěn)健性能,在低輸入SNR條件下波束也具有很好的波束保形效果；② 相比擴(kuò)展ESB算法,無需引入目標(biāo)導(dǎo)向矢量和進(jìn)行額外的奇異值分解,簡化了運(yùn)算復(fù)雜度并節(jié)省了運(yùn)算量；③ 算法適用于小采樣快拍數(shù)條件；④ 低輸入SNR條件下,具有同采用合適加載電平的DL算法相近的輸出性能,但克服了DL算法加載系數(shù)難以確定的缺陷。仿真結(jié)果證明了該算法良好的性能和適用性,其在雷達(dá)波束形成方面具有很好的應(yīng)用前景。