張雷雷, 解 龍, 高 旭, 孫天宇, 張 峰

(1.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 陜西 西安 710065; 2.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710129)

0 引 言

隨著近年來常規(guī)彈藥向多用途和智能化擴(kuò)展,其高成本使得可靠性鑒定試驗(yàn)難以采用普通彈藥的大樣本量考核方式[1-2]。目前在小子樣系統(tǒng)可靠性評(píng)定領(lǐng)域,由于貝葉斯理論能夠有效整合驗(yàn)前試驗(yàn)信息與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息,并對(duì)系統(tǒng)可靠性作出客觀評(píng)價(jià),取得了不少有意義的研究成果[3-11]。如文獻(xiàn)[3]提出一種改進(jìn)美國(guó)陸軍裝備系統(tǒng)分析中心增長(zhǎng)模型的可靠性貝葉斯評(píng)定方法,并成功應(yīng)用于某數(shù)字控制系統(tǒng);文獻(xiàn)[4]針對(duì)復(fù)雜液體推進(jìn)系統(tǒng)提出了基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅法的貝葉斯評(píng)估方法,有效解決了貧信息下可靠性評(píng)估困難的問題;文獻(xiàn)[5]提出借助最大熵方法對(duì)驗(yàn)前分布進(jìn)行確定,然后再進(jìn)行可靠性評(píng)定的方法;文獻(xiàn)[6]以某航天系統(tǒng)為研究對(duì)象,提出融合多源信息和專家知識(shí)的貝葉斯可靠性評(píng)估方法;文獻(xiàn)[7]基于貝葉斯理論提出了對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪盤的可靠性評(píng)定方法,取得了有效的評(píng)定結(jié)果;文獻(xiàn)[8]針對(duì)小樣本情形下零失效型部件的可靠性評(píng)估問題,基于威布爾模型和貝葉斯理論建立了綜合可靠性評(píng)估模型及求解方法;文獻(xiàn)[9]將模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中,提出了一種基于不確定隸屬度函數(shù)和區(qū)間特征量的復(fù)雜不確定系統(tǒng)可靠性分析方法;文獻(xiàn)[10]針對(duì)高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的可靠性評(píng)估,提出了一種無失效數(shù)據(jù)下的貝葉斯估計(jì)方法,在保證評(píng)估精度的情況下顯著降低了樣本量;文獻(xiàn)[11]結(jié)合動(dòng)態(tài)離散時(shí)間貝葉斯模型和故障樹模型,解決了不確定條件下的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可靠性評(píng)估問題,并成功應(yīng)用于動(dòng)車制動(dòng)系統(tǒng)。

雖然應(yīng)用貝葉斯理論進(jìn)行小子樣可靠性評(píng)估已得到了工程界的普遍共識(shí),但在驗(yàn)前信息與現(xiàn)場(chǎng)信息“異母體”下的有效折合及驗(yàn)前信息為多源情形下的貝葉斯驗(yàn)前分布構(gòu)建方面,依然是目前難點(diǎn)所在[6-13]。諸多學(xué)者所提方法不一,總體來說與所研究對(duì)象關(guān)聯(lián)性較強(qiáng),呈現(xiàn)一定程度的“案例式”研究特點(diǎn),無法直接應(yīng)用于高價(jià)值彈藥領(lǐng)域。彈藥研制過程中,其技術(shù)狀態(tài)會(huì)經(jīng)歷原理樣機(jī)、工程樣機(jī)等階段,試驗(yàn)環(huán)境會(huì)與實(shí)際工作環(huán)境有所差異,與已定型相似裝備會(huì)存在一定功能和硬件的沿用[2]。這些特點(diǎn)使其可靠性特征具有時(shí)間上的動(dòng)態(tài)特性、環(huán)境上的差異特性和對(duì)象上的關(guān)聯(lián)特性,現(xiàn)有方法難以充分挖掘和利用這些特性背后所關(guān)聯(lián)的樣本量數(shù)據(jù)以有效補(bǔ)充小容量現(xiàn)場(chǎng)樣本,因此需要探究新的高效可靠性評(píng)定方法。

著名科學(xué)家錢學(xué)森于上世紀(jì)七十年代提出“小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)”[14-15]的概念,為少量試射情況下對(duì)武器裝備的精度指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估和鑒定提供了思路。其概念可近似歸納如下:對(duì)于多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的不同總體,例如具有不同來源的多組樣本,或者同一對(duì)象在不同階段、不同時(shí)段所生成的樣本,通過統(tǒng)計(jì)建模和參數(shù)估計(jì)獲得關(guān)于某一總體的更多知識(shí)或各個(gè)總體之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和變動(dòng)關(guān)系,完成統(tǒng)計(jì)推斷、趨勢(shì)預(yù)測(cè)、統(tǒng)計(jì)決策等。高價(jià)值彈藥的樣本特征具備小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn),因此可借助小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)的思想進(jìn)行可靠性綜合建模和分析。但該思想發(fā)展至今,由于缺乏系統(tǒng)的理論基礎(chǔ),還未形成成熟的方法體系,目前明確提出“小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)”這一術(shù)語并進(jìn)行相關(guān)研究的文獻(xiàn)還較少,因此如何基于小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)思想對(duì)高價(jià)值彈藥可靠性進(jìn)行建模將是本文的研究重點(diǎn)。

本文擬采用“小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)”思想建立高價(jià)值彈藥的可靠性綜合評(píng)定模型,將不同研制階段、環(huán)境鑒定試驗(yàn)、已定型相似裝備外場(chǎng)使用等獲得的成敗型統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作為歷史樣本,引入信息熵和條件熵理論對(duì)歷史樣本與現(xiàn)場(chǎng)小容量樣本在“異母體”下的多源數(shù)據(jù)融合進(jìn)行研究,獲得各類歷史樣本的融合權(quán)重。構(gòu)建多源混合先驗(yàn)分布,基于融合驗(yàn)前分布和現(xiàn)場(chǎng)樣本,推導(dǎo)得到失效概率的貝葉斯驗(yàn)后分布,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)高價(jià)值彈藥可靠性置信下限的貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷。最后,以某型高價(jià)值彈藥為應(yīng)用對(duì)象,驗(yàn)證了本文方法的有效性和合理性。

1 可靠性建模

1.1 彈藥裝備研制中存在的變動(dòng)統(tǒng)計(jì)問題

彈藥裝備在研制過程中會(huì)經(jīng)歷原理樣機(jī)、工程樣機(jī)等典型階段,每個(gè)階段都會(huì)開展一定量的外場(chǎng)發(fā)射飛行試驗(yàn),因此積累了可一定程度上表征可靠度的樣本數(shù)據(jù),但由于每個(gè)階段伴隨有部分設(shè)計(jì)上的優(yōu)化迭代,使其與最終項(xiàng)目定型時(shí)的樣本特征有一定差異;工程樣機(jī)階段彈藥會(huì)經(jīng)歷一系列環(huán)境鑒定試驗(yàn),如高溫、低溫、濕熱等典型單應(yīng)力環(huán)境,因此會(huì)積累一定量的樣本數(shù)據(jù),而彈藥的可靠性特征與所處環(huán)境密不可分,在不同的環(huán)境條件下會(huì)呈現(xiàn)出不同的水平;武器裝備的研制普遍具有一定繼承性,彈藥類產(chǎn)品更是如此。部分彈上部件通常沿用其他已定型相似彈藥的技術(shù)成熟產(chǎn)品或貨架產(chǎn)品,而相似彈藥在定型及部隊(duì)演習(xí)過程中已積累較多的外場(chǎng)靶試數(shù)據(jù),一定程度上可以反映當(dāng)前在研彈藥組成部件的可靠性水平。

上述3種情況分別體現(xiàn)了彈藥可靠性在研制階段上呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性、環(huán)境上呈現(xiàn)的差異特性和相似裝備上呈現(xiàn)的關(guān)聯(lián)特性。這些特性背后所關(guān)聯(lián)的的三類歷史樣本與待鑒定彈藥定型時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)樣本在可靠性特征上存在較多相似性,但又有一定差異性,因此高價(jià)值彈藥的可靠性綜合評(píng)定屬于典型的小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)范疇。

1.2 基于小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)的彈藥可靠性建模

將待鑒定彈藥的可靠性特征在時(shí)間上具有的動(dòng)態(tài)特性、環(huán)境上具有的差異特性、對(duì)象上具有的關(guān)聯(lián)特性分別記為X、Y、Z,則彈藥的可靠性函數(shù)可記為

R=Φ(X,Y,Z)

(1)

將待鑒定彈藥的研制階段劃分為A,B,…,表示原理樣機(jī)階段、工程樣機(jī)階段等不同的研制階段,不同階段的外場(chǎng)飛行試驗(yàn)樣本量記為[(nA,xA),(nB,xB),…],其中n為試驗(yàn)總數(shù),x為試驗(yàn)成功數(shù)。

LM法[4]是由Lindstorm和Madden提出的近似方法,適用于多個(gè)部件(或子系統(tǒng))串聯(lián)組成的系統(tǒng)。若某系統(tǒng)由m個(gè)子系統(tǒng)組成,第j子系統(tǒng)在nj次試驗(yàn)中有rj次失效、xj次成功,則系統(tǒng)可靠性RS的極大似然估計(jì)為

(2)

(3)

最后,針對(duì)不同歷史樣本與現(xiàn)場(chǎng)樣本之間“異總體”問題,引入相似系數(shù)ρ表征各歷史樣本向現(xiàn)場(chǎng)樣本的接近程度,則式(1)可進(jìn)一步表征如下:

(4)

式中:n*,x*分別為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)和現(xiàn)場(chǎng)成功數(shù)。

由此便得到了彈藥裝備基于小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)的可靠性模型,關(guān)于相似系數(shù)ρ和可靠性特征量R的確定,下文將分別引入條件熵理論和貝葉斯理論進(jìn)行研究,最后基于實(shí)際工程案例進(jìn)行方法有效性驗(yàn)證。

2 可靠性綜合評(píng)定

2.1 “異母體”情形下的驗(yàn)前信息預(yù)處理

上世紀(jì)40年代Shannon提出了信息熵[16]的概念,首次將事件的不確定度進(jìn)行了理論上的量化處理。變量離散形式下信息熵的定義為

(5)

式中：x為事件X的可能取值結(jié)果；χ為所有結(jié)果組成的集合。進(jìn)一步,給出條件熵的定義如下:

log2p(x|y)

(6)

式中:H(X|Y)表示已知Y的情況下X的不確定度。

可見,信息熵以定量化的手段描述了信息的不確定度,條件熵描述了在已知某種信息情形下該信息的剩余不確定度[17-18]。

基于上述思想,可考慮以信息熵和條件熵模型對(duì)無歷史樣本下可靠度R的不確定性和有歷史樣本下可靠度R的不確定性進(jìn)行量化,兩種不確定度的差值即為引入歷史樣本后對(duì)消除可靠度R不確定性的貢獻(xiàn)值,貢獻(xiàn)值占原不確定值的比例越大,說明該歷史樣本向現(xiàn)場(chǎng)樣本的可靠性特征越接近,即相似系數(shù)越高。具體方法如下:

(1)無歷史樣本時(shí),在獲得現(xiàn)場(chǎng)樣本X=(n*,x*)(其中n*為試驗(yàn)數(shù),x*為成功數(shù))后,條件熵即為可靠性參數(shù)R自身的信息熵

(7)

式中：π0(R|X)為可靠度R的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果服從二項(xiàng)分布的彈藥裝備來說,在無任何先驗(yàn)信息下,可用(0,1)上的均勻分布作為可靠度R的先驗(yàn)分布

則樣本X與參數(shù)R的聯(lián)合分布h(X,R)為

進(jìn)一步求解樣本X的邊際分布

最后得到R的后驗(yàn)分布,即

(8)

式(8)剛好是參數(shù)為x+1和n-x+1的貝塔分布,記為β(x+1,n-x+1)。

將式(8)代入式(7)即可得到可靠度R的信息熵H0(R),具體表達(dá)式如下:

(2)引入某類歷史樣本Xi=(ni,xi)時(shí),可設(shè)彈藥可靠度R的先驗(yàn)分布為其共軛先驗(yàn)分布β(a,b)。在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中,如果后驗(yàn)分布與先驗(yàn)分布具有相同的函數(shù)形式,則先驗(yàn)分布被稱為共軛先驗(yàn)分布[19]。其優(yōu)點(diǎn)在于代數(shù)上的方便性,可以直接獲得后驗(yàn)分布的封閉形式,否則只能數(shù)值計(jì)算。目前常見的一些分布都已通過證明獲得其共軛先驗(yàn)分布,如二項(xiàng)分布中以“成功概率”為參數(shù)的共軛先驗(yàn)分布為貝塔分布,泊松分布中以“均值”為參數(shù)的共軛先驗(yàn)分布為伽馬分布。

關(guān)于貝塔分布β(a,b)中超參數(shù)a,b的確定可基于先驗(yàn)矩方法,過程為:將基于歷史數(shù)據(jù)獲得的關(guān)于可靠度R的若干估計(jì)值記為θ1,θ2,…,θk,由此可計(jì)算前兩階先驗(yàn)矩μ1和μ2:

然后令其分別等于貝塔分布的一、二階矩,即可求解獲得超參數(shù)a,b的值。

基于現(xiàn)場(chǎng)樣本X=(n*,x*)易推導(dǎo)得到后驗(yàn)分布為

πi(R|(X,Xi))=β(a+x*,b+n*-x*)

則條件熵Hi(R)的求解公式為

(9)

式中:Hi(R)表示第i類歷史樣本存在下可靠度R的不確定值,具體表達(dá)式為

(3)由于獲得了第i個(gè)來源的驗(yàn)前信息而使參數(shù)R的信息熵的損失比為

(10)

顯然,KΔHi(R)越大,表示第i個(gè)來源的驗(yàn)前信息對(duì)消除可靠度R的不確定性所作的貢獻(xiàn)越大。

(4)對(duì)KΔHi(R)進(jìn)行歸一化處理,作為繼承因子值ρi:

(11)

式中:N表示歷史樣本的類別總數(shù)。

上述過程將多源先驗(yàn)信息納入統(tǒng)一框架,為構(gòu)建可靠度R的貝葉斯多源混合先驗(yàn)函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。

2.2 可靠性特征量的貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

彈藥在可靠性鑒定過程中,外場(chǎng)飛行試驗(yàn)結(jié)果為“成功”和“失敗”兩種,服從二項(xiàng)分布[20]。對(duì)于二項(xiàng)分布,當(dāng)隨機(jī)變量為成功概率(即可靠度R)時(shí),其共軛先驗(yàn)分布為貝塔分布。β(a,b)分布的概率密度函數(shù)為

(12)

式中:R為隨機(jī)變量;a和b為超參數(shù)。可基于先驗(yàn)矩方法求解超參數(shù),在此不再贅述。

利用貝葉斯理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的前提是樣本來源于同一總體,因此式(12)無法直接作為本文彈藥可靠度R的先驗(yàn)分布函數(shù)。第2.1節(jié)繼承因子ρ的確定解決了歷史樣本與現(xiàn)場(chǎng)樣本“異總體”的量化描述問題,因此可構(gòu)造基于貝塔分布和繼承因子ρ的多源加權(quán)混合先驗(yàn)分布函數(shù):

(13)

式中:N為歷史樣本類別數(shù)。

樣本X和參數(shù)R的聯(lián)合分布為

h(X,R)=p(X|R)π(R)

(14)

式(14)將總體信息、樣本信息和先驗(yàn)信息3種可用的信息都綜合在了一起。

將h(X,R)作如下分解:

h(X,R)=π(R|X)m(X)

式中:m(X)為X的邊際密度函數(shù),即

可見能用來對(duì)R作出推斷的僅僅是條件分布π(R|X),其求解公式為

(15)

在樣本X給定下,式(15)即為R的后驗(yàn)分布的概率密度函數(shù)形式。

對(duì)于彈藥可靠性評(píng)估,工程界一般較為關(guān)注可靠度置信下限。給定單側(cè)置信度C,可靠度R的置信下限可通過如下公式進(jìn)行求解:

(16)

由此,完成了對(duì)高價(jià)值彈藥的可靠性綜合評(píng)定。

3 工程案例

某改型高價(jià)值彈藥,研制總要求中對(duì)其可靠性指標(biāo)規(guī)定為:可靠度單側(cè)置信下限不小于0.9。已知定型試驗(yàn)前,收集的有效先驗(yàn)信息如表1所示,除去兩個(gè)新研電子部件,其余都為沿用該基型彈藥的成熟產(chǎn)品。兩個(gè)新研部件在工程樣機(jī)鑒定階段中開展了模擬外場(chǎng)飛行的地面可靠性鑒定試驗(yàn),成敗型數(shù)據(jù)由計(jì)量型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換而得?，F(xiàn)需要據(jù)此制定該型待鑒定彈藥在定型階段的可靠性考核方案。

表1 先驗(yàn)數(shù)據(jù)

以現(xiàn)場(chǎng)樣本為[n,x]=[10,10]為例,基于第2.1節(jié)方法可得到歷史樣本1和2的繼承因子值分別為0.43和0.57?；诶^承因子和貝塔分布構(gòu)建混合先驗(yàn)分布函數(shù),其函數(shù)圖像如圖1所示,同時(shí)給出了分別基于兩類歷史樣本的單先驗(yàn)分布圖。不難發(fā)現(xiàn),混合先驗(yàn)分布是對(duì)兩類歷史樣本分別對(duì)應(yīng)先驗(yàn)分布的合理融合,比較符合工程實(shí)際?；?.2節(jié)方法推導(dǎo)求解可靠度R的后驗(yàn)分布函數(shù),對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像如圖2所示,基于該后驗(yàn)分布即可完成對(duì)可靠度等參數(shù)的求解計(jì)算。

圖1 可靠度R的混合先驗(yàn)分布

圖2 可靠度R的后驗(yàn)分布

目前彈藥裝備定型階段的可靠性評(píng)估方法主要依據(jù)GB/T 4087—2009《數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理和解釋 二項(xiàng)分布可靠度單側(cè)置信下限》,可靠度單側(cè)置信下限的計(jì)算公式如下:

(17)

式中:RL為可靠度單側(cè)置信下限;n為樣本總數(shù);f為失敗數(shù);γ為置信度。

圖3給出了基于本文方法分別在0失效和1失效情形下,該型彈藥可靠度置信下限隨用彈量的變化曲線。同時(shí)給出了基于式(16)的傳統(tǒng)可靠性評(píng)估方法下的可靠度隨用彈量變化曲線。可見,傳統(tǒng)方法在0失效和1失效下靶試用彈量至少分別為22發(fā)和38發(fā)才能達(dá)到0.9的可靠度,而引入有效先驗(yàn)數(shù)據(jù)后基于本文方法在評(píng)估精度不變的情況下只分別需要13發(fā)和25發(fā)的靶試量,用彈量分別降低了41%和34%。

圖3 本文方法與傳統(tǒng)方法結(jié)果對(duì)比

4 結(jié) 論

針對(duì)高價(jià)值彈藥在可靠性評(píng)估中高可靠度、置信度與高用彈量之間的沖突問題,綜合利用變動(dòng)統(tǒng)計(jì)理論、信息熵與條件熵理論及貝葉斯理論,建立了適用于彈藥裝備的小子樣可靠性綜合評(píng)定方法。以某型高價(jià)值彈藥為應(yīng)用對(duì)象,對(duì)本文方法的應(yīng)用過程進(jìn)行了說明,給出了該型彈藥在高可靠度、高置信度指標(biāo)要求下的合理用彈量方案,進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的合理性和可行性。本文方法可直接應(yīng)用于失效服從二項(xiàng)分布的高價(jià)值裝備可靠性綜合評(píng)估中,而對(duì)于服從指數(shù)分布、正態(tài)分布等其他分布類型的可靠性數(shù)據(jù),有待進(jìn)一步研究給出基于小子樣變動(dòng)統(tǒng)計(jì)的可靠性評(píng)估方法。本文方法可擴(kuò)展至武器裝備的小子樣測(cè)試性綜合評(píng)定領(lǐng)域。