唐寶杰 李 剛

(山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,250358,濟南)

1 預(yù)備知識

半環(huán)的概念由Dedekind于1894年首先提出,經(jīng)過Hilbert,Huntigon,Macaulay和Noether的研究與發(fā)展,Vandiver于1934年精確定義了半環(huán).半環(huán)是具有加法和乘法兩個代數(shù)運算且滿足結(jié)合律和分配律的代數(shù)系，已經(jīng)被廣泛運用到泛函分析、拓撲學及計算機科學等領(lǐng)域.近年來,對各種半群的研究已經(jīng)得到了很多好的結(jié)果.本文擬利用研究半群的Clifford層次的方法,給出一個半環(huán)是LR-正則Clifford半環(huán)的充要條件及LR-正則Clifford半環(huán)的織積分解.

稱半環(huán)S=(S,+,·)為冪等元半環(huán),若?a∈S,a+a=a·a=a.文獻[1]介紹了一類非常重要的冪等元半環(huán)—帶半環(huán),這是因為在很多方面帯半環(huán)在半環(huán)中的作用如同帶在半群中所起的作用.一個冪等元半環(huán)S=(S,+,·)稱為帶半環(huán),若對?a,b∈S,

a+ab+a=a,

a+ba+a=a.

一個帶半環(huán)S=(S,+,·)稱為T半環(huán),若S的加法半群(S,+)是一個T帶,其中T可能是“矩形”、“左(右)零”、“左(右)正則”、“正則”、“LR-正則”帶等等.

引理1[2]若S是純正群并半群,則?a,b∈S,V+(b)+V+(a)?V+(a+b).

引理2[2]關(guān)于半群S下列條件等價:

1)S是一個左群；

2)S是正則的且E(S)是左零半群；

3)S?L×G,其中L是左零半群，G是群.

引理3[3]關(guān)于半群S下列條件等價：

1)S是一個左(右)Clifford半群；

2)S是左(右)群的半格.

引理4[4]若S是加法半群為完全正則半群的半環(huán)，則

定義1[5]一個半環(huán)S稱為左環(huán)，若S同構(gòu)于一個左零帶半環(huán)和一個環(huán)的直積.

定理1[5]一個半環(huán)S是左環(huán)的充分必要條件為

1)S的加法半群(S,+)是一個左交換群，即是一個左零帶和一個交換群的直積；

2)E+(S)?E·(S)，其中E+(S)(E·(S))表示S的加法(乘法)半群的冪等元的集合.

定義2[5]一個半環(huán)S稱為左Clifford半環(huán)，若S是左環(huán)的分配格.

引理6[4]半群S是純正群并半群的充分必要條件為S是矩形群的半格.

定義3[4]一個半環(huán)S稱為矩形環(huán)，若S是一個矩形帶半環(huán)和一個環(huán)的直積.

定理2[4]一個半環(huán)S是矩形環(huán)的充分必要條件為

1)S的加法半群(S,+)是一個矩形交換群，即是一個矩形帶和一個交換群的直積；

2)E+(S)?E·(S)其中E+(S)(E·(S))表示S的加法(乘法)半群的冪等元的集合.

定義4[4]一個半環(huán)S稱為矩形Clifford半環(huán)，若S是矩形環(huán)的分配格.

定義5[6]稱帶B是一個LR-正則帶，如果對于任意e∈B,下列兩款至少有一個成立：

1)(?f∈B)efe=ef,

2)(?f∈B)efe=fe.

易知，LR-正則帶總是正則帶，反之未必.

定義6[6]純正群并半群S稱為LR-正則 Clifford 半群，若冪等元集合E(S)是LR-正則帶.

因為純正群并半群是矩形群的半格，所以若S是LR-正則 Clifford 半群，則S是矩形群的半格且E(S)是LR-正則帶.

定理3[7]半群S是擬Clifford半群的充分必要條件為S同構(gòu)于織積Sl×TSr,其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半群，Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半群，且在半群同態(tài)Φ:(i,x)→x，?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)→x，?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半群分量T=[D;Tα].

定理4[8]半群S是LR-C半群的充分必要條件為S同構(gòu)于織積Sl×TSr其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半群，Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半群，且在半群同態(tài)Φ:(i,x)→x，?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)→x，?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半群分量T=[D;Tα]；并且使得

E(S)?(C(E(Sl))×E(Sr))∪(E(Sl)×C(E(Sr))),

且C(E(Si))是E(Si)的中心，i=1,2.

推論1[8]半群S是LR-C半群當且僅當S同構(gòu)于織積Sl×TSr，關(guān)于Clifford 半群T，Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半群，Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半群；且有滿同態(tài)θ:Sl→T,和Φ:Sr→T，使得對?e∈ET或者eθ-1={x},?x∈ECSl或者eΦ-1={y},?y∈ECSr.

2 LR-正則Clifford半環(huán)的定義與性質(zhì)

定義7一個半環(huán)S稱為LR-正則Clifford半環(huán)，若S是矩形環(huán)的分配格,并且E+(S)是LR-正則帶.

定理5半環(huán)S是LR-正則Clifford半環(huán)的充要條件為S的加法半群(S,+)是LR-正則Clifford半群，且其極大子群是可交換的，E+(S)?E.(S),并且S滿足以下條件:

1)?a∈S,V+(a)+a?a(a+V+(a));

2)?a,b∈S,V+(ab)+ab?(b+V+(b))a;

3)?a,b∈S,V+(a)+a?a+ab+V+(ab)+V+(a).

a2+ax+a2=a(a+x+a)=aa=a2；

ax+a2+ax=a(x+a+x)=ax.

所以aV+(a)?V+(a2)，由引理4知

V+(a)+a=a2+V+(a2)?a2+aV+(a)=a(a+V+(a))，

?a∈S,V+(a)+a?a(a+V+(a)).

同理

V+(ab)+ab=ba+V+(ba)?ba+V+(b)a=(b+V+(b))a，

?a,b∈S,V+(ab)+ab?(b+V+(b))a.

又因為(S,+)是純正群并半群，由引理1得?a,b∈S,V+(b)+V+(a)?V+(a+b)，再由引理4得

V+(a)+a=a+ab+V+(a+ab)?(a+ab)+V+(ab)+V+(a)，

?a,b∈S,V+(a)+a?a+ab+V+(ab)+V+(a).

(a2+V+(a2))∩(V+(a)+a)?a(a+V+(a)),

(a2+V+(a2))∩(V+(a)+a)≠?.

(ba+V+(ba)∩(V+(ba)+ab)?(b+V+(b))a，

(ba+V+(ba)∩(V+(ba)+ab)≠?.

(a+ab+V+(a+ab))∩(V+(a)+a)?a+ab+V+(ab)+V+(a).

注1顯然E+(S)是(S,·)上的理想.

3 LR-正則Clifford半環(huán)的織積結(jié)構(gòu)

E+(S)?C(E+(Sl)×E+(Sr))∪(E+(Sl)×C(E+(Sr)))，

(1)

其中

且C(E+(Si))是E+(Si)的中心，i=1,2.

證充分性.由定理條件易知(S,+)=(Sl,+)×T(Sr,+)，(S,+)是擬Clifford半群，且E+(S)?C(E+(Sl)×E+(Sr))∪(E+(Sl)×C(E+(Sr))).

對于?e∈E+(S),設(shè)e=((i,1Tα),(1Tα,λ))，考慮下列兩種情形.

1)若e∈C(E+(Sl)×E+(Sr)),即(i,1Tα)∈C(E+(Sl))，則?f=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈E+(S),可得

e+f+e=((i,1Tα)+(j,1Tβ)+(i,1Tα),(1Tα,λ)+(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

=((i,1Tα)+(j,1Tβ),(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

=((j,1Tβ)+(i,1Tα),(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

=f+e

必要性. 設(shè)半環(huán)S是LR-正則Clifford半環(huán)，則易知S必是擬Clifford半環(huán).故S同構(gòu)于織積Sl×TSr，其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半環(huán)，Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半環(huán)，且在半環(huán)同態(tài)Φ:(i,x)→x,?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)→x,?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半環(huán)分量T=[D;Tα].下面只需證E+(S)?C(E+(Sl)×E+(Sr))∪(E+(Sl)×C(E+(Sr))).

因為E+(S)是LR-正則帶，對任意的e=((i,1Tα),(1Tα,λ))∈E+(S),考慮下列兩種情況.

1)對任意的f∈E+(S),有e+f+e=e+f，下證(1Tα,λ)∈C(E+(Sr)).

事實上，對任意的(1Tβ,μ)∈E+(Sr)，存在(j,1Tβ)∈E+(Sl)，使得f=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈E+(S).

于是

e+f+e=((i,1Tα),(1Tα,λ))+((j,1Tβ,),(1Tβ,μ))+((i,1Tα),(1Tα,λ))

=((i,1Tα)+(j,1Tβ)+(i,1Tα),(1Tα,λ)+(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

=((i,1Tα)+(j,1Tβ),(1Tβ,μ)+(1Tα,λ)).

e+f=((i,1Tα),(1Tα,λ))+((j,1Tβ),(1Tβ,μ))

=((i,1Tα)+(j,1Tβ),(1Tα,λ)+(1Tβ,μ))

所以

(1Tβ,μ)+(1Tα,λ)=(1Tα,λ)+(1Tβ,μ)，

即

(1Tα,λ)∈C(E+(Sr)).

2)對任意f∈E+(S)，有e+f+e=f+e，同理易證(i,1Tα)∈C(E+(Sl)).

綜上可知(1)式成立，從而定理得證.