李志媛 金鳳飛

(山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 250358, 濟南)

1 引 言

輸出調(diào)節(jié)問題，又稱伺服問題，是現(xiàn)代控制理論中的核心問題之一.其主要任務(wù)是為給定系統(tǒng)設(shè)計一個反饋控制器，在保證被控系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，使其某一信號跟蹤上參考信號，同時抑制外在的干擾信號.現(xiàn)代控制理論中常見的反饋方式為狀態(tài)反饋.考慮到直接獲取系統(tǒng)狀態(tài)信息的困難性，只需要測量誤差信息的誤差反饋在一定程度上就具有更強的現(xiàn)實性.由于被控系統(tǒng)及外系統(tǒng)的復(fù)雜性與不確定性，針對不同類型的系統(tǒng)發(fā)展了不同的處理方法.內(nèi)模原理首先被應(yīng)用于有限維系統(tǒng)[1-3]，后來被推廣至無窮維系統(tǒng)[4-8]；從帶有常值參考和干擾信號的分布參數(shù)系統(tǒng)[4]，發(fā)展至帶有非光滑干擾和參考信號的正則線性系統(tǒng)[5]；由帶有有界控制的輸出調(diào)節(jié)問題[6，7]，推廣到帶有無界控制的正則系統(tǒng)[8，9]；由生成參考信號或擾動信號的外系統(tǒng)為有限維[10，11]，引申到外系統(tǒng)為無窮維[12-14].Paunonen L等人[9，10]討論了魯棒輸出調(diào)節(jié)問題是否可解，進一步對常規(guī)線性系統(tǒng)的魯棒輸出調(diào)節(jié)問題提出了三種動態(tài)誤差反饋控制率.自適應(yīng)伺服控制的主要思想是通過狀態(tài)估計及參數(shù)更新來設(shè)計反饋控制律.這種思想在近年來取得了顯著的研究成果[15-19],其中包括系統(tǒng)的擾動參數(shù)為已知[15]，借助狀態(tài)觀測器解決帶有一般外部干擾的問題[16]，利用邊界控制處理輸出與控制同位[17]與非同位[18，19]的情形等.Smyshlyaev等人[20]系統(tǒng)的總結(jié)了backstepping控制方法的數(shù)學原理及主要應(yīng)用.該方法通過移動全體特征值使系統(tǒng)達到Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，被廣泛應(yīng)用于解決系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題[21，22].實現(xiàn)跟蹤目標必須建立在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，因此backstepping方法對輸出調(diào)節(jié)問題具有重要意義.Guo W等人[14]利用backstepping方法研究了帶有無窮維外系統(tǒng)的變系數(shù)熱方程的輸出調(diào)節(jié)問題.

2017年，Guo W等人[18]利用誤差反饋研究了帶有諧波擾動的輸出與控制非同位的一維波系統(tǒng)，并實現(xiàn)了量測輸出趨于零的目標.本文進一步研究當系統(tǒng)方程中帶有分布擾動時，如何利用誤差反饋設(shè)計邊界控制器來實現(xiàn)跟蹤目標.考慮如下一維波方程系統(tǒng)：

(1)

其中，U(t)為系統(tǒng)(1)的控制輸入，w(0,t)為調(diào)節(jié)輸出，e(t)=w(0,t)-r(t)代表可測的跟蹤誤差，d1(t),d2(t)為一般諧波干擾信號，r(t)為給定參考信號.為了后續(xù)書寫的簡便，取形式為

d1(t)=asinαt+bcosαt,d2(t)=csinβt+dcosβt,r(t)=msinδt+lcosδt.

本文要利用誤差信息為系統(tǒng)(1)設(shè)計一個邊界反饋控制器，調(diào)節(jié)可測跟蹤誤差e(t)=w(0,t)-r(t)使其達到趨于零的目標.

全文結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分構(gòu)造輔助系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，并證明其有效性；第三部分為原系統(tǒng)設(shè)計誤差反饋控制律，證明閉環(huán)系統(tǒng)存在唯一有界解且跟蹤誤差漸近趨于零；第四部分給出總結(jié).

2 狀態(tài)觀測器的設(shè)計

取變換

可得

(2)

且有

v(0,t)=w(0,t)-(msinδt+lcosδt)=e(t).

(3)

其中，k1,k2,r1,r2,r3為正參數(shù).

令

為參數(shù)估計誤差，綜合系統(tǒng)(2)、(3)可得誤差系統(tǒng)的具體形式為公式(4).

其中

定義系統(tǒng)(4)的Lyapunov函數(shù)為

(4)

令L2(0,1)為帶有由內(nèi)積誘導的范數(shù)‖ · ‖ 的一般Hilbert空間，A0為L2(0,1)空間中的算子，且滿足

定義狀態(tài)空間V=H3(0,1)∩D(A0).

證考慮自治方程

(5)

其中F=diag(D1,D2,D3)，且

函數(shù)向量(cosαt,sinαt,cosβt,sinβt,cosδt,sinδt)為系統(tǒng)(5)的一個解.

定義狀態(tài)空間V0=H1(0,1)×L2(0,1)×R6,H=V0×R6，并且?guī)в腥缦滦问降膬?nèi)積：

定義算子A1:D(A1)(?H)→H，滿足

(6)

將系統(tǒng)(4)、(5)與(6)在H中寫為一個抽象形式的非線性自治發(fā)展方程

(7)

其中

由文獻[14]知可建立Galerkin格式來說明系統(tǒng)(4)的解的存在唯一性，此處省略具體步驟.

證明完畢.

且滿足

證定義函數(shù)

ξ1(t)=cosαt,η1(t)=sinαt,ξ2(t)=cosβt,η2(t)=sinβt,ξ3(t)=cosδt,η3(t)=sinδt,

構(gòu)造系統(tǒng)(4)的Lyapunov函數(shù)

且有

Vz(t)≤Vz(0).

因此

(8)

且有

定義如下函數(shù)

系統(tǒng)(7)的解軌跡為

系統(tǒng)(7)具有如下形式的最大不變集

只需考慮系統(tǒng)

由文獻[18]知，上述方程只有零解.因此系統(tǒng)的最大不變集S={(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0)}.

根據(jù)Lasalle不變性原理，上述方程的零解漸近穩(wěn)定.

證明完畢.

3 反饋調(diào)節(jié)器的設(shè)計

為了把干擾、參考信號和控制變換變到系統(tǒng)的同一端，需要構(gòu)造輔助系統(tǒng).

(9)

可以得到如下的輔助系統(tǒng)

(10)

至此可為系統(tǒng)(10)設(shè)計一個誤差反饋調(diào)節(jié)器，形式如下：

(11)

其中c0,c1為正參數(shù).

結(jié)合控制器(11)得到下述閉環(huán)系統(tǒng)：

(12)

證受到文獻[20]啟發(fā)，引入可逆的backstepping變換

上述變換將系統(tǒng)(12)變?yōu)?/p>

(13)

系統(tǒng)(13)可被改寫為

由文獻[23]知，算子A2能生成穩(wěn)定的C0半群，即存在常數(shù)μ,M>0，使得‖eA2t‖≤Me-μt.

由文獻[24]知，算子A3對eA2t是允許的.

(u*(·,t),(·,t))T

(14)

考慮到‖eA2t‖≤Me-μt，對(14)式右端第一項進行范數(shù)估計得

改寫(14)式右端第二項為

其中

通過選擇合適的t可以得到

由A3算子的允許性有

因此有

由backstepping變換的可逆性可以得到

(15)

在狀態(tài)空間X=H0×V0中討論由系統(tǒng)(1)、(3)和(15)構(gòu)成的最終閉環(huán)系統(tǒng)(16).

證令

對任意初值

4 結(jié) 語

本文通過自適應(yīng)控制的方法研究了受分布諧波干擾的一維波方程的輸出調(diào)節(jié)問題.首先利用可測的輸出來設(shè)計自適應(yīng)觀測器，估計擾動的未知參數(shù)并恢復(fù)系統(tǒng)狀態(tài).然后通過觀測器和參數(shù)估計器來構(gòu)造輔助系統(tǒng)，使得干擾與控制變成同位的情形.最后借助backstepping變換為系統(tǒng)設(shè)計邊界誤差反饋控制器，調(diào)節(jié)跟蹤誤差為零，并保證系統(tǒng)狀態(tài)有界.在未來的工作中，將這種設(shè)計方法應(yīng)用于不穩(wěn)定或反穩(wěn)定的系統(tǒng)將是一個值得研究的方向.