胡承超, 潘夢(mèng)雅, 陳惠香

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

有限維Hopf代數(shù)H的Drinfeld偶D(H)是一類重要的擬三角Hopf代數(shù)[1], 其表示范疇為辮子張量范疇, 可為量子Yang-Baxter方程提供解[2-3]．Taft代數(shù)An(ω)是一簇有限維點(diǎn)Hopf代數(shù)[4], 當(dāng)n=2時(shí),An(ω)恰好為Sweedler 4-維Hopf代數(shù)H4．Chen[5]利用生成元及其關(guān)系式構(gòu)造了一類Hopf代數(shù)Hn(p,q), 指出當(dāng)p≠0時(shí),Hn(p,q)同構(gòu)于Drinfeld偶D(An(ω)), 并在此基礎(chǔ)上研究了D(An(ω))的表示理論, 給出了有限維不可分解模的分類、幾乎可裂序列以及AR-quiver的連通分支[6-7]．不變量是許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容, Grothendieck環(huán)、Green環(huán)以及自同構(gòu)群等是Hopf代數(shù)的重要不變量, 有助于人們更好地理解和研究Hopf代數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),D(An(ω))為鏈環(huán)和3維流形提供了不變量[8]．Zhang等[9]研究了D(An(ω))的Grothendieck環(huán); Chen[10]和Li等[11]分別研究了D(H4)的Green環(huán); Chen等[12-13]還研究了當(dāng)n≥3時(shí)D(An(ω))張量積模的分解式和投射類環(huán), 進(jìn)而研究了D(An(ω))的Green環(huán)[14]; Chen等[15]研究了Taft代數(shù)的Green環(huán); 賈婷婷等[16]在此基礎(chǔ)上研究了H4的Green環(huán)的自同構(gòu)群．本文擬探討Drinfeld偶D(H4)的Grothendieck環(huán)G0(D(H4))的自同構(gòu)群, 以期給出該自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)．

1 Drinfeld偶D(H4)的Grothendieck環(huán)G0(D(H4))

Sweedler 4-維Hopf代數(shù)H4作為代數(shù)由g,h生成, 滿足:g2=1,h2=0,gh+hg=0．其余乘法Δ、余單位ε和反極元S由下述等式給出:

Δ(g)=g?g, Δ(h)=h?g+1?h,ε(g)=1,ε(h)=0,S(g)=g,S(h)=gh．

Hopf代數(shù)H2(1,-1)作為代數(shù)由元素a,b,c,d生成, 滿足:ba=-ab,db=-bd,ca=-ac,dc=-cd,bc=cb,da+ad=1-bc,a2=0,b2=1,c2=1,d2=0．H2(1,-1)的余乘法Δ、余單位ε和反極元S由下述等式給出:

Δ(a)=a?b+1?a, Δ(b)=b?b, Δ(c)=c?c, Δ(d)=d?c+1?d,ε(a)=ε(d)=0,

ε(b)=ε(c)=1,S(a)=-ab,S(b)=b,S(c)=c,S(d)=cd．

由前面的介紹知,H2(1,-1)恰好同構(gòu)于Sweedler 4-維Hopf代數(shù)H4的Drinfeld偶D(H4),并將D(H4)與H2(1,-1)等同視為D(H4)=H2(1,-1)．

D(H4)共有4個(gè)互不同構(gòu)的單模V(l,r)(1≤l≤2,r∈Z2), 且單模V(l,r)是l-維的, 具體結(jié)構(gòu)可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[6], 故Grothendieck環(huán)G0(D(H4))是以{[V(l,r)]|1≤l≤2,r∈Z2}為Z-基的自由阿貝爾群．G0(D(H4))的環(huán)結(jié)構(gòu)在參考文獻(xiàn)[9]中有詳細(xì)的描述, 為便于文中后續(xù)引用, 在下述引理1和命題2中列出相關(guān)的主要結(jié)論．

引理1在G0(D(H4))中, 令y=[V(1,1)],x=[V(2,0)],則

(i) 對(duì)任意1≤l≤2,i∈Z2, 有y2=1, 且[V(l,i)]=yi[V(l,0)];

(ii)G0(D(H4))是由y和x生成的環(huán)．

命題2設(shè)Z[x,y]是兩個(gè)變量x和y的多項(xiàng)式環(huán),I是Z[x,y]由元素y2-1和x2-2y-2生成的理想, 則Grothendieck環(huán)G0(D(H4))同構(gòu)于商環(huán)Z[x,y]/I．

2 環(huán)G0(D(H4))的自同構(gòu)群

用Aut(G0(D(H4))和AutZ(G0(D(H4)))分別表示G0(D(H4))的環(huán)自同構(gòu)群和Z-模自同構(gòu)群．由上一節(jié)的討論知, Grothendieck環(huán)G0(D(H4))作為自由Z-模有一組基為:[V(1,0)],[V(1,1)],[V(2,0)],[V(2,1)],其中[V(1,0)]是環(huán)G0(D(H4))的單位元．由命題2知,G0(D(H4))同構(gòu)于多項(xiàng)式環(huán)Z[x,y]的商環(huán)Z[x,y]/I, 其中I是由y2-1與x2-2y-2生成的Z[x,y]的理想．將G0(D(H4))與Z[x,y]/I等同起來(lái), 視為G0(D(H4))=Z[x,y]/I, 且將x和y在自然同態(tài)Z[x,y]→Z[x,y]/I下的像仍然記作x和y, 有1=[V(1,0)],y=[V(1,1)],x=[V(2,0)],xy=[V(2,1)], 且y2=1,x2=2y+2．

由于G0(D(H4))是秩為4的自由Z-模, 而G0(D(H4))的Z-模自同態(tài)等同于G0(D(H4))的Z-線性變換, 因此AutZ(G0(D(H4)))同構(gòu)于整數(shù)環(huán)Z上的4階可逆矩陣構(gòu)成的乘法群GL4(Z)．除非說(shuō)明, 以下G0(D(H4))的自同構(gòu)均指環(huán)自同構(gòu), 并定義G0(D(H4))的Z-模自同態(tài)σ,τ,φ分別為σ(1)=1,σ(y)=y,σ(x)=xy,σ(xy)=x;τ(1)=1,τ(y)=y,τ(x)=-x,τ(xy)=-xy;φ(1)=1,φ(y)=y,φ(x)=-xy,φ(xy)=-x0．直接驗(yàn)證可得如下引理．

引理3σ和τ都是G0(D(H4))的自同構(gòu), 且στ=τσ=φ,σ2=τ2=id, 其中id是G0(D(H4))的恒等變換.

推論4{id,σ,τ,φ}構(gòu)成Aut(G0(D(H4)))的一個(gè)子群, 且該子群同構(gòu)于Klein群K4．

引理5設(shè)f是G0(D(H4))的自同構(gòu), 則f(y)=y或f(y)=-y．

解此方程組得到4組解:

因?yàn)閒是環(huán)自同構(gòu),y的像f(y)不可能為1和-1, 所以只有第二組解和第四組解符合條件, 有f(y)=y或f(y)=-y．證畢．

定理6設(shè)f是G0(D(H4))的自同構(gòu), 則f(y)=y且f∈{id,τ,σ,φ}．

假設(shè)f(y)=-y.則比較上述等式兩邊, 得方程組

解此方程組得到2組解:

因此f(x)=1-y=f(1+y)或f(x)=-1-y=f(-1+y),由此得f不是單射,矛盾,故f(y)≠-y, 從而f(y)=y．類似方法可得方程組

解此方程組得到4組解:

其中b∈Z．下面對(duì)這4組解分別進(jìn)行討論．

情形1f(x)=1+y+bx-bxy．此時(shí)f(xy)=1+y-bx+bxy, 因此f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩陣為

顯然A1的行列式det(A1)=0, 故A1不可逆, 從而f不是雙射．

情形2f(x)=-1-y+bx-bxy．此時(shí)類似于情形1的討論可知,f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩陣A2的行列式det(A2)=0,f也不是雙射．

情形3f(x)=(1-b)x+bxy．此時(shí)f(xy)=bx+(1-b)xy, 類似可知f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩陣A3的行列式det(A3)=1-2b．由于f是雙射, 所以det(A3)=±1, 故b=0或b=1．當(dāng)b=0時(shí),A3為單位矩陣, 此時(shí)f=id; 當(dāng)b=1時(shí),f(x)=xy,f(xy)=x, 此時(shí)f=σ．

情形4f(x)=(-1-b)x+bxy．此時(shí)f(xy)=bx+(-1-b)xy, 類似可知f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩陣A4的行列式det(A4)=1+2b．由f是雙射知det(A4)=±1, 故b=0或b=-1．當(dāng)b=0時(shí),f(x)=-x,f(xy)=-xy, 此時(shí)f=τ; 當(dāng)b=-1時(shí),f(x)=-xy,f(xy)=-x, 此時(shí)f=φ．

綜上可得,f∈{id,τ,σ,φ}．

推論7Grothendieck環(huán)G0(D(H4))的自同構(gòu)群同構(gòu)于Klein群K4, 即Aut(G0(D(H4)))?K4．

證明 由推論4和定理6立得．