上海市海濱中學(xué) 郭衛(wèi)華

啟東市匯龍中學(xué) 顧向忠

理解數(shù)學(xué)，就是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對內(nèi)容所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法要深入理解，要對一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀念”能自覺應(yīng)用。“理解數(shù)學(xué)”有助于整體把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確制定教學(xué)目標(biāo)。離心率一方面體現(xiàn)了函數(shù)表達式中參數(shù)a，b，c之間的聯(lián)系，另一方面刻畫了橢圓、雙曲線的形狀，是圓錐曲線的一個非常重要的幾何性質(zhì)。離心率的相關(guān)問題往往是高考的熱點，該類問題是數(shù)學(xué)知識的交匯點、數(shù)學(xué)思想和方法的綜合點，其往往有兩種題型，即顯示約束條件和隱藏約束條件；有兩種解題方向，即以“形”為主的解題方向，注意結(jié)合平面幾何知識求解，以及以“數(shù)”為主的解題方向，注意方程和不等式的聯(lián)系。求離心率的方法通常有以下幾種：

一、直接求出a 與c

二、利用幾何性質(zhì)

如果題目中存在“焦點三角形”，那么可以通過焦點三角形包含的邊角關(guān)系，利用余弦定理或者正弦定理進行求解。如果題目中涉及圓錐曲線的統(tǒng)一定義，那么可以直接通過這個幾何性質(zhì)去求離心率。

三、構(gòu)造a、c 的齊次式

四、利用圖形坐標(biāo)

有些題目中的幾何關(guān)系不明確，這時可以將圖形中的點坐標(biāo)用基本量a，b，c來表示，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算列出等式求解。

圖1

五、利用三角形的相似關(guān)系

離心率本身是一個比值，而三角形的相似可得到比例關(guān)系，因此可借助于平行構(gòu)建相似關(guān)系。

六、利用點線距離關(guān)系

圓錐曲線往往和圓綜合，圓心到直線的距離常常是考查的對象，而直線一般是漸近線、準(zhǔn)線等一些特征量，可以通過點線距離構(gòu)建等量關(guān)系。

圖2

綜上，如何求橢圓和雙曲線的離心率，重點是圍繞方程和已知條件尋找參數(shù)a，b，c的等量關(guān)系，有時需要結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想求解。

“理解數(shù)學(xué)”是倡導(dǎo)數(shù)學(xué)模型教學(xué)的核心過程?？v觀整個解題過程，是一種學(xué)生主動參與、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自我完善過程，處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的融入，注重數(shù)學(xué)思想方法的歸納與總結(jié)，也是一種促進教師業(yè)務(wù)素質(zhì)不斷提高的教學(xué)實踐過程，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，同時注重學(xué)生對知識的自主生成，最大限度地張揚理解數(shù)學(xué)的重要性，讓學(xué)生在探究活動中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的魅力，發(fā)展推理能力、運算能力以及自我監(jiān)控管理能力。這些良好習(xí)慣的形成，不僅對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識具有重要作用，而且對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)也有極大的價值。