江蘇省泰州市羅塘高級(jí)中學(xué) 趙允星

文章通過對(duì)一道高三模擬題的思考，層層遞進(jìn)地設(shè)計(jì)出一系列具有高度思維價(jià)值的問題，定位于高考考查的重難點(diǎn)，立足于數(shù)學(xué)的本原，更有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，即：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象。從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看，要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表述問題。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。而如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是當(dāng)今絕大多數(shù)老師思考的問題。常見的數(shù)學(xué)教學(xué)有三種模式：一是以情境創(chuàng)設(shè)為開篇，逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)新知識(shí)，再以例題講解加以鞏固；二是以知識(shí)點(diǎn)為主線，以點(diǎn)帶題，層層深入；三是以例題為載體，將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來。然而在日常的教學(xué)過程中，很多老師都會(huì)遇到這樣的問題：學(xué)生在遇到一些有難度的題目時(shí)往往觀察不出問題的結(jié)構(gòu)，以致無法關(guān)聯(lián)相關(guān)的知識(shí)。筆者在一道高三模擬題研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣探究，這樣可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的類比聯(lián)系，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

一、問題呈現(xiàn)

例題：如圖所示，F(xiàn)為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)。過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)。試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM、PN關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

解法探究一：若存在點(diǎn)P，使PM、PN關(guān)于x軸對(duì)稱，則kPM=-kPN，由此求得P點(diǎn)坐標(biāo)。

由kPM+kPN=0 得a=-2，此時(shí)P（-2，0）。

所以，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)P為除F的一切點(diǎn)；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）。

解法探究二：若存在點(diǎn)P，使得PM、PN關(guān)于x軸對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N1為PM與拋物線的交點(diǎn)，可以證明直線MN1過定點(diǎn)P。

解答：（1）若直線l垂直于x軸，此時(shí)P為除F的一切點(diǎn)。

即點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，0）。

所以，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P為除F的一切點(diǎn)；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）。

針對(duì)本題，若只是通過常態(tài)的教師展示講授，可能導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于題目的理解和把握僅僅停留在機(jī)械的記憶和模仿層面，缺乏思考與探究，更不能靈活地整合知識(shí)、遷移知識(shí)，無法解決類似的問題。這顯然與新課程理念不相符。筆者希望學(xué)生能將這道例題的研究方法和思維形式化為思維習(xí)慣，從而使學(xué)生能夠觸類旁通，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。在有了類似的解題經(jīng)驗(yàn)之后，根據(jù)數(shù)學(xué)抽象可以將已有數(shù)學(xué)命題進(jìn)行整合類比，進(jìn)而推廣到更一般的情形中，能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來解題，以達(dá)到觸類旁通的效果，這正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵要求。

二、推廣探究

PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱？

解法探究：若存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N1為直線PM與橢圓的交點(diǎn)，可以證明直線MN1過定點(diǎn)P。

解答：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N1（x2，-y2）。

三、反思與結(jié)語

本文立足于數(shù)學(xué)的本原，采用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，通過“例題+推廣探究”的形式，讓學(xué)生體會(huì)從一個(gè)問題到一類問題的歸納過程，從而抓住圓錐曲線中定值定點(diǎn)問題的本質(zhì)，同時(shí)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光處理結(jié)構(gòu)→提取特征→關(guān)聯(lián)知識(shí)思想方法→生成解法→解決問題，這是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵，也是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的要求。