黃 耀，吳東亮，黃先富，鐘夢林，楊 洋，劉戰(zhàn)偉*

（1. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081； 2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；3. 中國科學院 力學研究所，北京 100190； 4. 中國航發(fā)北京航空材料研究院，北京 100095）

0 引言

在航天工程領域，液體推進劑（液體燃料）因具有工作可靠、燃燒效率高、比沖大、性能穩(wěn)定等諸多優(yōu)點而作為主要能源和工質(zhì)在大型運載火箭、衛(wèi)星以及空間飛行器上得到了廣泛應用。但是由于液體本身的高流動性，液體燃料在航天器的發(fā)射段，以及變軌、交會對接等過程中將不可避免地發(fā)生劇烈晃動，會對航天器整體產(chǎn)生顯著的干擾力、干擾力矩及沖擊壓力；一旦晃動產(chǎn)生的這些干擾載荷超過控制系統(tǒng)可調(diào)節(jié)范圍或結構所能承受的上限，將造成姿態(tài)控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定甚至結構破壞。液面變形的表征是研究晃動液體的重要方式之一。其表征方法主要有透射、反射（鏡面反射）和侵入性（例如示蹤粒子）3 類，其中：反射類方法適用于曲率較小的液面變形測量；侵入性方法由于要施加示蹤粒子，會在一定程度上改變液體的性質(zhì)；基于透射（折射）的光學表征方法根據(jù)原理不同主要可以分為相位偏折法、畸變分析法和光線追蹤法，已經(jīng)廣泛應用于微小液面靜態(tài)變形的表面張力、液面動態(tài)水波傳遞、液體動態(tài)晃動的振型等研究方向。本文介紹透射類的液面變形表征方法，希望為液體晃動振型、晃動控制以及其他液面相關的研究方向提供參考。

1 相位偏折法

相位偏折法根據(jù)光學原理的不同可以分為反射式和透射式，其中反射式相位偏折法靈敏度高、抗噪性強，在鏡面表面測量的應用方面已經(jīng)有不少研究。液面是類鏡面的表面也可以使用反射式相位偏折法測量；但由于背景顯示屏的大小和相機視場的限制，目前反射式相位偏折法在液面測量上主要應用于小曲率液面變形。

本文主要介紹透射式相位偏折法，且以下所提的相位偏折法均指透射式相位偏折法。相位偏折法最早應用于測量相位物體導致的相位變化。在Gómez-Pedrero 等發(fā)現(xiàn)了可以通過偏折角積分出光通過相位物體的波面變化后，有許多關于高溫氣體、透鏡等相位物體造成的波面變化的研究。隨后Lee 等進一步對偏轉(zhuǎn)角與相位物體表面形貌之間的關系進行研究，發(fā)展了一種測量透鏡雙表面形貌的方法——雙波長液體偏轉(zhuǎn)法。通過分析CCD 相機拍攝到的紅綠周期單向條紋的相位變化，求解了透鏡上下表面的形貌。Liu 等 [29]對這種方法進行了改進，只使用白光進行照明，先在光源部分由條紋改為點陣，不需要進行條紋變向的操作。同時使用了幾何相位分析法（geometric phase analysis,GPA）來分析經(jīng)過待測透鏡后點陣的相位變化，獲得了較高的計算精度。最終計算重建出的透鏡上下表面形貌與設計值如圖1(a)所示，通過透鏡幾何中心的平面與透鏡上下表面相交的輪廓線測量值與設計的標準值對比如圖1(b)所示。

圖1 LIU 使用相位偏折法的透鏡形貌測量實驗結果[29]Fig. 1 Liu’s experimental results for the len’s shape obtained by phase deflectometry[29]

基于上述兩種測量透鏡形貌的方法，Tang 等發(fā)展了一種測量雙層液面動態(tài)變形的方法。先后使用紅綠激光點陣和帶有紅綠點陣LED 顯示器作為光源測量了水與硅油所形成的雙層液面動態(tài)變形。使用紅綠激光點陣的實驗裝置如圖2 所示，通過使用平面鏡獲取液面邊緣的積分初值，簡化了實驗裝置。將給定體積的水與硅油倒入水槽，互不相溶的兩種液體上下分層，通過重建的液面計算兩種倒入液體的體積與給定值對比，驗證了方法的可靠性。

圖2 雙層液面測量裝置示意[31]Fig. 2 Experimental setup for double-layer liquid surfaces[31]

關于硅油上下表面斜率的方程組為

通過幾何相位分析后得到相位場，最終測得的部分雙層液面動態(tài)變形如圖3 所示。

圖3 Tang 使用相位偏折法的雙層液面測量結果[31]Fig. 3 Tang’s measurement results for double-layer liquid surfaces obtained by phase deflectometry[31]

相位偏折測量法可以實現(xiàn)小梯度的雙層液面的動態(tài)測量。在積分得到形貌信息時，可以靈活地挑選合適方向進行積分計算，最后通過加權平均減小實驗誤差。由于分析過程中對光路進行了近似處理，要求測量方向上的斜率較小，所以對于各方向斜率均較大的液面變形，測量誤差有可能增大。

2 畸變分析法

液面的畸變分析法來源于透明物體的畸變分析法。利用透明物體的透射性與光的折射原理，分析信息載體在折射作用下的畸變信息與透明物體形貌之間的關系，實現(xiàn)透明物體三維形貌的重建。對于單次折射，單視點下的測量方法無法避免法線深度歧義性，如圖4 所示。對于參考平面上一點發(fā)出的入射光，經(jīng)過水面折射后進入相機，水面的位置與法線的方向有多種可能。因此在液面小變形條件下，早期的畸變分析法使入射光線與折射光線都接近豎直方向，認為入射角與折射角的角度與其正弦值、正切值近似一致。通過光流法近似計算出偏折角大小，從而得到液面的表面梯度，最后通過數(shù)值積分來得到整個液面形貌。由于在數(shù)據(jù)處理中使用的近似較多，導致這種方法的誤差較大。

圖4 單視點的法線深度歧義性Fig. 4 The ambiguity of normal depth in single viewpoint

針對液面重建的折射問題，劉戰(zhàn)偉等選擇采用牛頓迭代法來計算液面高度，獲得了更高的測量精度。其光路原理如圖5 所示。

圖5(b)所示為圖5(a)中變形液體的一個剖面，對圖5(b)中變形液體的剖面曲線進行分割，分割次數(shù)足夠多時，分割形成的每一小段弧線可以近似看作直線。在任意一個端點

N

處，可以根據(jù)斯涅耳定理、直角三角形

ANA

′中的三角幾何關系以及直角三角形

NPN

中的三角函數(shù)關系，建立方程

圖5 畸變分析法透射光路原理示意[37]Fig. 5 Schematic diagram of the transmission of shape obtained from distortion[37]

式中：

n

是液體折射率；

θ

和

φ

分別為光線在點

N

處發(fā)生折射時的入射角和出射角；

S

(

x

,

y

)為點

N

處對應的信息載體虛像位移；

H

為液面變形前的初始液面高度；

h

(

x

,

y

)為

N

點的液面高度變化值，初始為0。

將位移場代入式(2)，在橫坐標方向上逐點迭代求解，得到一條剖面曲線上各點的液面高度，在縱坐標方向均勻取液面的多條剖面高度，最終實現(xiàn)全場液面形貌的重建。這樣就將液面形貌的測量問題轉(zhuǎn)化到信息載體虛像的位移計算上。

劉戰(zhàn)偉等采用單向光柵作為信息載體，在玻璃水槽上方放置一參考光柵，水槽下方的試件柵會因水面變形的折射而使得從上方拍到的試件柵發(fā)生扭曲，從而與參考光柵疊加形成云紋。然后利用幾何云紋法的基本原理得到了液面底部試件柵的虛像位移，重建出硬幣漂浮時的液面形貌。根據(jù)重構的液面形貌定量計算了硬幣所受浮力與表面張力的合力和硬幣自身重力間的數(shù)量關系。隨后Liu 等發(fā)展了這種方法，通過采用正交光柵作為信息載體，使用液面未變形時拍攝到的正交光柵作為參考柵。這樣不再需要在水槽上方放置參考柵，簡化了實驗裝置。這種采用透射光柵條紋的方法被稱之為透射條紋法，可以同時從兩個方向上獲得虛像的位移，相比較單向光柵可以得到更準確的位移場。

Zhong 等和Huang 等對透射條紋法進行了研究，分別發(fā)展了不同的提高測量精度的方法。Zhong 等結合在固體的變形與應力應變測量中應用十分廣泛的采樣云紋方法，發(fā)展了亞像素采樣云紋法，提高了相位的測量精度并且對不連續(xù)的液面測量效果更好（如圖6 所示）。Huang 等則發(fā)展了透射條紋四步相移法，結合相移技術后液面深度變化的理論測量靈敏度從μm 級提高到了1 nm；半徑為1.58 mm 的聚四氟乙烯小顆粒漂浮下的重構液面與不同半徑下通過漂浮顆粒中心的液面剖面線如圖7 所示；最后根據(jù)重構的液面形貌，研究了表面張力與顆粒半徑之間的關系：當顆粒半徑較小時表面張力對漂浮的貢獻較大，隨著顆粒半徑的增大，表面張力的貢獻占比逐漸減小并在特定半徑時突然消失，顆粒沉沒。

圖6 透射條紋亞像素采樣云紋法液面變形測量實驗[39]Fig. 6 Water surface deformation measured with sub-pixel sampling moiré method[39]

圖7 漂浮顆粒液面變形測量結果[10]Fig. 7 Experimental results of water surface deformation caused by floating particle[10]

透射條紋法的光柵主方向與水平方向或豎直方向存在難以消除的傾斜或轉(zhuǎn)角誤差，單向的迭代計算方法誤差容易累計，條紋處理也相對復雜，不便于液面變形的動態(tài)測量。針對液面的動態(tài)變形，Liu 等提出了透射散斑法，使用散斑作為信息載體，結合數(shù)字圖像相關（Digital Imagine Correlation，DIC）可以方便地從多個方向計算位移，信息載體的位移計算更為簡便。Liu 等用透射散斑法測量了水黽漂浮時的液面形貌，根據(jù)液面形貌計算了水黽所受到的浮力與表面張力的定量關系，并發(fā)現(xiàn)其口器分泌的油脂有效時間在2 h 以內(nèi)。Shi 等則發(fā)展了使用點陣作為信息載體的透射點陣法，結合幾何相位分析法重構了水滴落入水面造成的液面動態(tài)變形。

上述方法均需要某處未變形的液面作為初始高度，以此作為迭代初值計算液面的形貌，針對的是發(fā)生部分變形的液面，不能應用于整體發(fā)生變形的液面。而航天器飛行過程中燃料箱內(nèi)的液體燃料晃動導致的液面變形為整體動態(tài)變形。為了能夠測量一個完整的晃動液面，需要在容器側(cè)面增設一個相機拍攝邊緣液位，從而得到迭代初值。Yang 等通過增設平面鏡，使用一個高速相機既能得到與器壁接觸的液面高度，又能拍攝容器底部光柵虛像的位移；最后根據(jù)重建的液面同時能監(jiān)測容器內(nèi)液體的剩余劑量。部分重構的晃動液面的三相接觸線如圖8 所示。

圖8 各時刻晃動液面輪廓的動態(tài)變化[51]Fig. 8 Profiles of the observed liquid level at different times[51]

針對容器底部為更加復雜的球面，Dong 等使用水轉(zhuǎn)印刷技術，將條紋印刷到底部為球面的容器底部，測量了液體晃動形貌，從而獲得液體晃動一階和二階的三維振型，與數(shù)值模擬的結果符合良好。部分二階振型重建結果如圖9 所示。

圖9 激振頻率為2.8 Hz 時各時刻重建的二階模態(tài)三維液面形貌[52]Fig. 9 3-D morphology evolution of second modal shape at corresponding times when the excitation frequency is 2.8 Hz[52]

畸變分析法能根據(jù)待測的液面變形特征，靈活挑選合適的信息載體，裝置簡單方便，現(xiàn)已經(jīng)成功應用于微小漂浮物的表面張力測量、液體晃動振型等靜態(tài)和動態(tài)單層液面變形測量領域。但在液面重建原理中，需要能準確采集到位于液面底部信息載體的畸變情況，而且牛頓迭代法會將每一步的誤差累計，因此對于液面曲率較大的變形，測量誤差可能較大。

3 光線追蹤法

區(qū)別于畸變分析法中以牛頓迭代法來解決法線深度的歧義性，有研究通過確定整個光路來測量折射表面的空間位置。這部分的理論內(nèi)容參見文獻[54-55]，其中雙目問題的確定性原理如圖10 所示。在雙目問題中，對于水面上的一點發(fā)生的折射光路，會有2 條折射光線的所在的直線被確定，通過標定的相機即可得到這2 條直線位于水面的交點。在實際應用中，主要有法線一致性約束與折射視差約束兩種方法來確定液面位置。

圖10 雙目系統(tǒng)的折射光路示意圖Fig. 10 Schematic diagram of refraction light path of binocular system

隨后使用雙相機或多相機的液面測量方法逐漸發(fā)展起來。多相機一般用來應對某個相機成像效果欠佳的情況，這時可以使用其他相機代替成像；或者用來檢驗重建的液面形貌是否足夠準確。Morris 等以黑白棋盤格作為信息載體，以黑白方形的頂點作為特征點，使用標定的相機，結合光流法重建了多種液面動態(tài)變形。

使用黑白棋盤格所提取的特征點較為稀疏，因此只能測量較為平滑的水面。Qian 等通過使用散斑作為信息載體，增加一個檢驗相機，結合DIC增加了可使用液面重建的點數(shù)，增大了測量范圍并提高了測量精度。其測量結果與Morris的方法的對比如圖11 所示。

圖11 Qian 的測量方法與Morris 的測量方法的比較[58]Fig. 11 Comparison between Qian’s water surface measurement method and Morris’[58]

另有一些通過使用特別的光源來達成光路確定的方法。Wetzstein 等通過使用光場探針作為光源，可以發(fā)出信息已知的入射光線；標定的相機可以得到對應的折射光線，求解入射光線與折射光線的交點即可得到液面上的折射頂點。這樣通過確定入射光線，解決了單視點的深度法線歧義性，實現(xiàn)了單圖像的液面重建。Wetzstein 重建的液面如圖12 所示。

圖12 Wetzstein 使用光場探針重建的液面動態(tài)變化[61]Fig. 12 Wetzstein’s reconstruction of the dynamic deformation of water surface with light probe[61]

Aureli 等則使用了可以同時發(fā)出近紅外光和白光的光源，以及可以同時對可見光與紅外光成像的相機。由于近紅外光在水中的吸收率較大，因此搭配能拍攝近紅外光的相機可以根據(jù)近紅外光的衰減率計算出入射光線在水中經(jīng)過的距離。使用彩色圖案作為信息載體，根據(jù)可見光的成像可以得到折射光線的位置信息與入射光線的起點，根據(jù)近紅外光的成像獲取對應起點的近紅外光在水中經(jīng)過的距離

d

，檢索折射光線上到該起點距離恰好等于

d

的點即為折射頂點，也就是液面的位置。原理如圖13 所示。

圖13 結合近紅外光測量液面形貌的原理Fig. 13 The principle of the liquid surface measurement by near-infrared light

4 其他透射類方法

在液面變形測量中還有一類使用透射激光的激光干涉法，主要有全息干涉法和剪切干涉法，基本原理為光的干涉。文獻[63-64]記述通過對透明液體底部射入的平行激光束成像，采用雙曝光干涉技術獲得液面微小擾動下的干涉條紋，即用同一張全息底片記錄透過液體變形前后的激光波面干涉得到干涉條紋。根據(jù)光程差與干涉條紋級數(shù)的關系，可得液面高度與干涉條紋級數(shù)的關系。Matsuda 等則使用橫向剪切干涉儀測量了水黽引起的液面變形的一部分。

由于原理上是根據(jù)光的干涉來測量液面變形，因此激光干涉法具備極高的靈敏度，但同時在液面變形斜率較大時會不可避免地出現(xiàn)條紋過密難以分辨、測量失敗的情況。這導致這種方法的量程一般在亞毫米或微米范圍，通常＜200 μm。另外，激光裝置也相對昂貴，整體裝置一般也較為復雜。這些原因?qū)е陆┠昙す飧缮娣ㄝ^少被人使用。

5 總結與展望

液面變形相關的研究既有重要的科研價值，也有實際的工程應用價值。由于液體流動性、透射強、反射弱等特點，使得傳統(tǒng)的固體表面形貌測量技術大多不能直接套用到液體上。常用的液面變形測量方法中，基于透射的測量方法對液體性質(zhì)沒有影響，裝置也相對簡單，而且能測量具有較大曲率的液面變形。本文主要總結了三種透射類液面形貌測量方法，它們都可以實現(xiàn)單層液面變形的全場測量，其量程、靈敏度與優(yōu)缺點總結如表1 所示。

表1 三種透射式液面測量方法概述Table 1 Overview of the three methods for transmissive liquid surface measurement

目前透射類液體形貌測量方法對液面晃動等動態(tài)變形的全場測量有著良好的靈敏度，但較少談及量程的限制。如圖14 所示，

F

為液面峰狀變形的焦點，當

F

位于底部信息載體上方時，會有類似凸透鏡散焦的問題，即液面底部信息載體上一個點2

'

會在相機里有兩個成像點2。

圖14 大曲率凸液面的散焦問題Fig. 14 Defocusing caused by the interface with large curvature

結合薄透鏡近軸成像公式，給出可測量液面的最大曲率與深度函數(shù)關系的理論公式

式中：

K

為點

E

處峰狀變形的曲率；

l

為

E

點的液深；

n

為液體折射率；

n

為空氣的折射率；

F

為此處峰狀變形的焦點。

從誤差、效率和量程三個方面總結透射式液面變形測量方法的發(fā)展趨勢如下：

1）在減小測量誤差方面，發(fā)展光路近似誤差的補償方法與更精確的液面重建算法

液面變形的準確測量，離不開對透射測量方法誤差來源的準確分析。目前透射測量方法的誤差主要有：光路近似誤差，折射視差測量誤差（相機的鏡頭畸變、隨機誤差與背景圖像位移測量方法的固有誤差）和液面重建誤差。

目前透射類液面變形測量方法在光路原理上均采用了近似光路，以簡化分析與計算難度。這些光路近似帶來不可避免的誤差，并在液面微納尺度變形測量中對測量的精度有著重要影響。如何衡量、減弱或者消除這部分光路近似誤差，是透射類液面變形測量方法發(fā)展中值得研究的一個方向。折射視差測量誤差中相機鏡頭畸變造成的誤差已經(jīng)有較多的補償方法，而背景圖像位移測量方法的固有誤差則需要研究人員尋找或發(fā)展更好的位移測量方法。對于液面重建誤差，3 種方法都存在數(shù)學上的近似誤差，因此，發(fā)展更好的數(shù)學重建方法也具備相當?shù)膶嶋H應用意義。

2）在提高測量效率方面，發(fā)展更高效的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)與更高效的液面重建算法

如前文所述，透射類液面變形的測量方法均需要數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，而且目前這些測量方法的液面重建效率都較低。無論是相位偏折法、畸變分析法的迭代過程，還是光線追蹤法的深度檢索過程，都需要大量的計算資源，一次液面的重建通常需要30 min 以上。因此，如何高效地采集并處理數(shù)據(jù)是提高液面變形表征效率中值得探究的一個方向，如文獻[69]提出了一個局部液面優(yōu)化函數(shù)，可以提高光線追蹤法中液面高度的檢索效率。同時，隨著深度學習技術在計算機圖像領域的應用，液面重建部分也可以考慮結合深度學習技術，如文獻[70]結合神經(jīng)網(wǎng)絡來進行液面形貌的重建。

3）在拓寬測量量程方面，納觀尺度上發(fā)展厚度在幾十埃到幾百埃的液體前驅(qū)膜全場測量方法，宏觀尺度上發(fā)展液體非線性大幅度晃動與海面潮汐等大變形、大曲率的液面變形全場測量方法。