魯 雄，索洪敏

(1貴陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部，貴州 貴陽(yáng) 550081；2貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引言和主要結(jié)果

討論如下Gross-Pitaevskii 耦合系統(tǒng)：

解的存在性，其中Δ表示Laplace算子，g1(u，v)，g2(v，u)都是抽象函數(shù)，N1、N2是常數(shù)，λ、μ是參數(shù)，Ω是RN中的光滑有界區(qū)域。

當(dāng)g1(u，v)=αu3且g2(v，u)=βv3時(shí)已有大量文獻(xiàn)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)的研究和數(shù)值模擬，如文獻(xiàn)[1-3]及其引用，這里的α、β都是實(shí)數(shù)；文獻(xiàn)[4]利用變分法和橢圓方程理論得出：

的假設(shè)下解的存在性，同時(shí)得出系數(shù)趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)解的極限產(chǎn)生相位分離現(xiàn)象。注意到1876年首次出版的文獻(xiàn)[5]中提到如下振動(dòng)模型：

其中，(t，s)為變量，μ、E為常量，ω=ω(s0，t)為初始橫向位置s0方向上與時(shí)間有關(guān)的受力，l為固定的弦長(zhǎng)。該模型由德國(guó)物理學(xué)家Kirchhoff G R提出，后來(lái)被許多學(xué)者推廣到形如

(1)

受上述文獻(xiàn)的影響，我們將Gross-Pitaevskii耦合系統(tǒng)部分推廣到退化Kirchhoff型問(wèn)題的弱耦合系統(tǒng)：

(2)

其中，a和b都是正常數(shù)，λ為正參數(shù)，Ω是RN(N≥1)中有光滑邊界的區(qū)域，(u，f)是待求的函數(shù)對(duì)。

我們的創(chuàng)新點(diǎn)在于，我們將利用文獻(xiàn)[8，16]的思想以特征值問(wèn)題為鋪墊結(jié)合代數(shù)分析的方法考慮系統(tǒng)(2)無(wú)窮多解的存在性，并且考慮無(wú)窮多共振經(jīng)典解的存在性，首先獲得正解負(fù)解，其次獲得無(wú)窮多解，再得到無(wú)窮多經(jīng)典解，最后使用適當(dāng)?shù)睦蛹訌?qiáng)結(jié)論的可靠性，我們的方法和結(jié)論與文獻(xiàn)[1-4]均不同。

定理1 設(shè)a，b，λ為任意正數(shù)(常數(shù)參數(shù)均可)，則系統(tǒng)(2)存在無(wú)窮多共振經(jīng)典解，并且滿足

本文選取了93位百度游友和200位攜程游友，這些游友觀點(diǎn)表達(dá)個(gè)性、細(xì)微、發(fā)言感言內(nèi)容廣泛，對(duì)神農(nóng)谷國(guó)家森林公園有直觀的感受并且情感真實(shí)、生動(dòng)。這些游友的點(diǎn)評(píng)都是在游玩的基礎(chǔ)上進(jìn)行自發(fā)的點(diǎn)評(píng)并在游玩后自愿對(duì)神農(nóng)谷國(guó)家森林公園進(jìn)行評(píng)價(jià)，選取其點(diǎn)評(píng)為本文研究資料。

1 基本引理

如(u，f)是系統(tǒng)(2)的解且在Ω/?Ω上u(x)>0，f(x)>0恒成立，則稱(u，f)是正解。 如果(u，f)是系統(tǒng)(2)的解且在Ω/?Ω上u(x)?0，f(x)?0，則稱(u，f)是完全非平凡解，稱(0，f)和(u，0)的解為不完全非平凡解。

系統(tǒng)(2)之所以稱為是弱耦合系統(tǒng)，是因?yàn)槲覀兛偪梢詫⒌诙€(gè)方程的解作為第一個(gè)方程的耦合函數(shù)，在這種情形之下，可以理解為第二個(gè)方程的解在第一個(gè)方程中的作用是作為一個(gè)擾動(dòng)函數(shù)。因此，我們的第一步便是要獲得第二個(gè)方程的解。為此，首先要考慮系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程：

(3)

然后將問(wèn)題(3)的解代入系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程：

(4)

定理2 當(dāng)b>0時(shí)方程(3)存在無(wú)窮多經(jīng)典解。

證明 方程(3)的無(wú)窮多經(jīng)典解與二階橢圓型微分方程的譜理論密切相關(guān)，考慮如下問(wèn)題

(5)

(6)

是問(wèn)題(3)的解。由于φn有無(wú)窮多個(gè)，從而fn也有無(wú)窮多個(gè)，即問(wèn)題(3)的解有無(wú)窮多個(gè)。

為了結(jié)合分析技巧和代數(shù)方法證明系統(tǒng)(2)存在無(wú)窮多解并發(fā)生了共振，我們給出代數(shù)方法證明中需要用到的一個(gè)基本不等關(guān)系，此處描述為如下的引理：

2 主要結(jié)果的證明

如果un=cfn是方程(4)的解，那么：

(7)

下面要證明的是，總存在常數(shù)c使得(7)成立。

由于fn(x)是方程(3)的解，從而(7)式的第二個(gè)式子顯然成立；而第一個(gè)式子可以寫成

(8)

即當(dāng)f≡0時(shí)un=τnφn，滿足等式(4)，注意到τn是一個(gè)實(shí)數(shù)，φn是經(jīng)典函數(shù)，因此un=τnφn是方程(4)當(dāng)f≡0時(shí)的經(jīng)典解。由于f≡0也是方程(3)的解，從而系統(tǒng)(2)存在的經(jīng)典解可以表述為(τnφn，0)，注意到φn(n=0，1，2，…)有無(wú)窮多個(gè)，從而f≡0時(shí)上述un共計(jì)也有無(wú)窮多個(gè)，同理可得u0≡0。

3 實(shí)例

(9)

那么系統(tǒng)(9)有無(wú)窮多共振的經(jīng)典解。事實(shí)上，對(duì)系統(tǒng)(9)的第二個(gè)方程的解可表示為：

(10)

當(dāng)λc+1=0時(shí)根據(jù)前面的計(jì)算知可以用fn表出的解只有零解，此時(shí)f0≡0，從而(u，f)=(0，0)是系統(tǒng)(8)的平凡解。但不能認(rèn)為沒(méi)有其他解，因?yàn)楫?dāng)f≡0時(shí)，有：

4 總結(jié)

本文將Gross-Pitaevskii 耦合系統(tǒng)推廣到帶有負(fù)模量的Kirchhoff型問(wèn)題耦合系統(tǒng)上，利用代數(shù)分析與相關(guān)技巧組合的研究方法，獲得耦合系統(tǒng)的無(wú)窮多解并給出例子驗(yàn)證結(jié)論。在實(shí)際生活中，本文的結(jié)果可以理解為固定兩端的雙繩在受力振動(dòng)狀態(tài)下兩條繩子相互之間力的作用，所引入的代數(shù)方程的解c為正時(shí)表示兩繩之間發(fā)生了強(qiáng)烈的共振，為負(fù)時(shí)表示兩繩之間相互對(duì)振動(dòng)進(jìn)行牽制，對(duì)研究橋索等弦振動(dòng)問(wèn)題具有一定的參考意義。