趙 真，王 碧，錢志源，陳國平

（1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇南京 210016；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

我國載人航天工程已進入空間站研制階段，計劃在2022 年前后全面建成?？臻g站采用三艙“T 型”布局，分別為核心艙、實驗艙Ⅰ和實驗艙Ⅱ。在核心艙兩端分別留有載人飛船和貨運飛船對接口，如圖1所示［1］。

圖1 中國空間站構型Fig.1 Schematic diagram of Chinese Space Station（CSS）

為保證我國空間站15 a 在軌運行期間能源平衡，在實驗艙Ⅰ、Ⅱ末端各配置1 套Alpha 對日定向裝置和2 套太陽電池翼，如圖2 所示。為適應空間站90 min 每圈的軌道周期，Alpha 對日定向裝置持續(xù)驅動太陽電池翼和末端桁架組成的柔性負載以0.065（°）/s 的角速度對日跟蹤，將太陽能轉化為電能。

圖2 空間站太陽電池翼驅動控制系統(tǒng)Fig.2 Schematic diagram of the solar cell wing drive control system of CSS

由于柔性負載的大尺寸（翼展大于55 m，面積約270 m2）、大慣量（3.4×105kg·m2）、超低頻（基頻小于0.07 Hz）、模態(tài)密集（2 Hz 以內頻率超過600 階）等特點，為柔性負載地面模態(tài)試驗、數(shù)學建模、模型正確性估計等帶來難度。Alpha 對日定向裝置長期在軌工作過程中的性能退化對長期保持低速穩(wěn)定驅動控制帶來挑戰(zhàn)。因此，突破空間站大柔性太陽電池翼高穩(wěn)定驅動控制技術，對于保障空間站能源安全和平穩(wěn)運行至關重要。

以國際空間站（International Space Station，ISS）為例，與Alpha 對日定向裝置輸出端連接的末端桁架上配置4 個太陽 電池翼，如圖3 所示［2］，翼展超過70 m，面積552 m2，1 階頻率0.06 Hz，轉動慣量5.4×105kg·m2。為實現(xiàn)柔性負載穩(wěn)定驅動，采用帶4 階Butterworth 低通濾波器的速度、位置雙環(huán)系統(tǒng)，控制參數(shù)的確定通過構造與兩環(huán)控制帶寬相關的受限優(yōu)化函數(shù)（Constrained Optimization Scheme）進 行綜合［3-4］。

圖3 國際空間站Alpha 對日定向裝置與太陽電池翼Fig.3 Solar Alpha rotary joint（SARJ）and solar cell wings of ISS

隨著現(xiàn)代航天器柔性附件（太陽翼、天線、桁架等）尺寸越來越大，對于大柔性附件高穩(wěn)定驅動控制系統(tǒng)的研究，得到了學者們重視［5］。除國際空間站上的應用外，BONG 等［6］在帶有大柔性太陽翼的哈勃望遠鏡（Hubble Space Telescope，HST）指向控制中，提出采用帶陷阱濾波的魯棒控制方案，并與經(jīng)典PID控制進行對比，認為該方法在確保平臺速度穩(wěn)定度和撓性振動抑制上有較好的效果。YOSHIRO 等［7］在日本工程試驗衛(wèi)星八號（Japan Engineering Test Satellite Ⅷ，ETS-Ⅷ）上，為解決柔性天線大角度跟蹤指向控制，采用線性插值規(guī)劃控制（Linearly Interpolated Gain Scheduling Controller）進行運動擬合，也得到了較好的速度穩(wěn)定度效果。針對線性控制器對大柔性體非線性系統(tǒng)調節(jié)能力不足的問題，學者們考慮將輸入成型控制、魯棒控制［8］、變結構控制、自適應控制等應用于大柔性體伺服控制，以滿足系統(tǒng)動、靜態(tài)性能指標［9］。

本文以空間站大柔性太陽電池翼高穩(wěn)定對日跟蹤控制為研究對象，推導柔性太陽電池翼動力學模型和開展有限元分析，建立Alpha 對日定向裝置機電系統(tǒng)模型和非線性傳動系統(tǒng)模型；針對柔性負載低頻和傳動系統(tǒng)非線性對控制性能的影響，設計帶變速規(guī)劃和柔性振動抑制的速度、位置雙環(huán)控制系統(tǒng)；并通過仿真校驗，證明控制方案的有效性。

1 控制系統(tǒng)建模

1.1 柔性太陽電池翼動力學建模

參考我國空間站Alpha 對日定向裝置和太陽電池翼的相對布局關系，采用混合坐標法和有限元法對柔性負載（末端桁架和兩側太陽電池翼的組合體）進行離散化，并用Lagrange 方程建立柔性動力學模型，得到太陽電池翼驅動力矩與轉速的狀態(tài)方程［10］。

建模中引入空間站本體坐標系，末端桁架固連隨動坐標系{α}。{α}原點Oα在Alpha 對日定向裝置與末端桁架連接法蘭面幾何中心，rb為空間站本體坐標系原點Ob到末端桁架坐標系{α}原點Oα的矢徑，rα，j為桁架和太陽電池翼組成的柔性體上任意點j相對于坐標系{α}的矢徑，δα，j為j點的變形位移，Rb，j為j點相對于坐標系的位移矢量，具體描述如圖4 所示。

圖4 單自由度轉動柔性負載坐標系定義Fig.4 Definition of the coordinate system of single-degree-of-freedom rotating flexible body

矢徑Rb，j及其導數(shù)的表達式為

式中：ωα=(ωα，x，ωα，y，ωα，z)為{α}系相對于系的角速度矢量在系中的描述，其中，ωα，y為Alpha對日定向裝置轉動角速度。

假設Cb2α為由系到{α}系的變換矩陣：

式中：θα為Alpha 對日定向裝置轉過的角位移（yα軸方向）。

柔性負載上任意點j的速度公式（2），轉換到隨動系{α}系下描述如下：

假設向量δα表示柔性負載上所有節(jié)點的線彈性變形，可用柔性負載模態(tài)分析得到的基向量的線性組合表示：

式中：Φα=(Φα，1，Φα，2，…，Φα，j，…，Φα，q)表示柔性負載的振型基?向量陣；ηα=(ηα，1，ηα，2，…，ηα，j，…，ηα，q)T表示?柔性負載的模態(tài)坐標，其中，q為柔性負載的總節(jié)點數(shù)。

經(jīng)運動學描述，可得系統(tǒng)動能T和勢能V表達式為式中：mα，j為柔性負載上的j點集中質量；Κα為剛度矩陣為柔性負載的固有頻率矩陣（n×n階）。

Jα為柔性負載相對坐標系{α}原點Oα的轉動慣量矩陣：

Fα為柔性負載振動對其轉動的耦合系數(shù)矩陣：

系統(tǒng)Lagrange 函數(shù)為

將式（6）、式（7）代入式（10），建立第2 類Lagrange 方程如下：

描述系統(tǒng)繞Alpha 對日定向裝置轉動和彈性振動的系統(tǒng)動力學方程為

式中：Tα為Alpha 對日定向裝置驅動力矩；ζα=diag(ζα，1，ζα，2，…，ζα，n)為柔性負載各階模態(tài)的阻尼比對角陣；Ωα為柔性負載圓頻率對角陣Ωα=diag(ωα，1，ωα，2，ωα，3，…，ωα，n)，n為模態(tài)階數(shù)，有

將式（12）、式（13）用狀態(tài)方程描述，輸入為Alpha 對日定向裝置驅動力矩Tα，y，輸出為柔性負載轉動角加速度αα，（y可由αα，y積分得到角速度ωα，y）。狀態(tài)方程的狀態(tài)量為柔性負載的模態(tài)坐標及其變化率，可通過對模態(tài)坐標動態(tài)變化評估各階頻率在振動響應中所占權重和演化規(guī)律，并結合模態(tài)基向量得到每1 個離散點的位移量。

狀態(tài)方程形式如下：

式中：A、B、C分別為2n×2n、2n×1、1×2n的系數(shù)矩陣；D為實數(shù)系數(shù)；n為柔性負載模態(tài)分析頻率截斷后的保留階數(shù)。則有

由式（15）的第1 式調整后為

將式（16）代入式（15）第2 式，可得狀態(tài)方程（14）的第1 式。推導過程如下：

又式（15）的第2 式代入第1 式，調整后可得狀態(tài)方程（14）的第2 式如下：

得Alpha 對日定向裝置驅動力矩與柔性負載轉動角加速度（輸出量積分得到角速度）的狀態(tài)方程為

1.2 太陽電池翼模態(tài)分析與截斷

柔性體狀態(tài)方程如式（19）所示，為得到方程系數(shù)，需要對太陽電池翼進行模態(tài)分析，獲取其各階頻率和振型。如空間站太陽電池翼這樣尺寸大、基頻低、模態(tài)密集的結構，直接采用模態(tài)截斷仍然將導致模型階數(shù)較高。先根據(jù)伺服控制帶寬進行初次截斷，再依據(jù)慣性完備性準則和模態(tài)有效質量進行模態(tài)篩選［11］。

根據(jù)末端桁架和太陽電池翼的設計方案，用MSC.Nastran 建立非線性有限元模型，如圖5 所示。設轉軸正方向為yα、原點為Alpha，對日定向裝置與末端桁架連接法蘭的幾何中心。有限元模型節(jié)點41 976個，各類單元41 465個，各類多點約束連接237個。采用非線性動力學求解器SOL 106對柔性負載進行模態(tài)分析，其中前3階主模態(tài)如圖6～圖8所示。

圖5 太陽電池翼有限元模型Fig.5 Finite element model of solar cell wings

圖6 太陽電池翼第1 階主模態(tài)兩對稱振型（0.066 9 Hz）Fig.6 The first main mode of solar cell wings（0.066 9 Hz）

圖7 太陽電池翼第2 階主模態(tài)兩對稱振型（0.067 2 Hz）Fig.7 The second main mode of solar cell wings（0.067 2 Hz）

圖8 太陽電池翼第3 階主模態(tài)兩對稱振型（0.123 0 Hz）Fig.8 The third main mode of solar cell wings（0.123 0 Hz）

對1.0 Hz和2.0 Hz截止頻率下的模態(tài)階數(shù)和模態(tài)有效質量進行匯總，見表1。

表1 不同截止頻率下的模態(tài)階數(shù)和模態(tài)有效質量Tab.1 Modal orders and effective mass at different cutoff frequencies

由于柔性負載在Alpha對日定向裝置驅動下實現(xiàn)繞坐標系{α}的yα軸轉動，在驅動力矩Tα，y作用下，柔性負載彈性變形主要體現(xiàn)在zα軸方向的平動和繞yα軸的轉動。而模態(tài)截斷至2.0 Hz或1.0 Hz，其RY向模態(tài)有效質量已經(jīng)大于98%，保留的動力學特性可為工程接受。頻率2.0 Hz內的模態(tài)有638階，需要根據(jù)模態(tài)有效質量進一步完備性篩選，減少系統(tǒng)階數(shù)。

1.3 Alpha 對日定向裝置機電系統(tǒng)建模

Alpha 對日定向裝置采用永磁同步電機配合高精度角度傳感器，實現(xiàn)寬調速范圍的多級閉環(huán)驅動控制。取永磁體基波磁場軸線（轉子N極）為d軸，q軸順著旋轉方向超前d軸90°電角度。電機模型遵循如下假設：1）忽略磁路飽和、磁滯和渦流影響，磁路線性，無阻尼；2）定子繞組三相對稱，各繞組軸線在空間上互差120°；3）電機電勢正弦，定子電流在氣隙中只產(chǎn)生正弦分布磁勢，忽略磁場高次諧波［12］。

永磁同步電機動力學模型為

式中：uq、ud為交軸、直軸電壓；iq、id為交軸、直軸電流；Lq、Ld為電機直軸、交軸同步電感，Lq=Ld；ψf為轉子永磁體的勵磁磁鏈；ωi為轉子電角速度（轉子機械角速度ωm=ωi/Pn）；Rs為定子電阻；Pn為定子繞組極對數(shù)；Jm為電機機械轉動慣量；Te為電磁轉矩；Bm為黏性摩擦系數(shù)；Tm為Alpha 對日定向裝置電機端輸出力矩，通過傳動系統(tǒng)放大，并克服傳動摩擦力矩TD后，為Alpha對日定向裝置驅動力矩Tα，對應式（19）中的u。

1.4 傳動系統(tǒng)建模

1.4.1 間隙模型

Alpha 對日定向裝置的多級減速器會帶來設計中不可忽略的傳動間隙，在控制系統(tǒng)設計中需克服間隙引起“死區(qū)”非線性。Alpha 對日定向裝置減速器裝配間隙等效模型如圖9 所示。

圖9 傳動間隙等效模型Fig.9 Equivalent model of transmission gap

圖中：θretarder為減速器折算到柔性負載端的間隙；Tm、ωm為Alpha 對日定向裝置電機端力矩和轉動角速度；TL、ωf為Alpha 對日定向裝置輸出端驅動力矩和轉動角速度。

當傳動軸彈性形變角度θmf滿足切換條件|θmf| ≤θretarder/2 時，Alpha 對日定向裝置輸出端懸空：

式中：輸出驅動力矩TL為零；電機端負載力矩Tm為傳動系統(tǒng)摩擦力矩TD，反映傳動摩擦特性；i為減速比。

當間隙消除，即|θmf|＞θretarder/2 時，

式中：Alpha 對日定向裝置驅動力矩TL為凈扭轉形變力矩。

1.4.2 摩擦模型

傳動系統(tǒng)中的摩擦力矩會降低傳動效率，并且在低速轉動時由于動、靜摩擦力矩的切換導致“爬行現(xiàn)象”。但摩擦力矩的存在也可以有效減緩柔性負載振動對Alpha 對日定向裝置電機的反作用力矩，實現(xiàn)振動隔離，保護驅動電機。

結合試驗數(shù)據(jù)，可擬合出Alpha 對日定向裝置的傳動摩擦特性。采用動態(tài)LuGre 模型擬合，模擬靜、動摩擦間的切換。摩擦力矩TD數(shù)學表達式如下：

式中：ωf=ωα，y為Alpha 對日定向裝置轉動角速度；z為平均變形量；σ0為剛性系數(shù)；σ1為滑動阻尼系數(shù)；σ2為黏性摩擦系數(shù)；TD_dyn為庫倫摩擦力矩；TD_sta為最大靜摩擦力矩；θ˙s為Stribeck 特征速度［13］。

假設傳動系統(tǒng)靜摩擦力矩為80 N·m，動摩擦力矩為60 N·m，構造摩擦力矩TD是轉動角速度ωf的函數(shù)，LuGre 摩擦曲線如圖10 所示。

圖10 LuGre 摩擦模型曲線Fig.10 LuGre friction model curve

2 穩(wěn)定跟蹤控制方案設計

為提高驅動穩(wěn)定性，采用帶運動規(guī)劃和振動抑制的速度、位置雙閉環(huán)伺服方案。控制系統(tǒng)框圖如圖11 所示。

圖11 對日定向裝置驅動控制框圖Fig.11 Drive control block diagram of the SARJ

2.1 變速規(guī)劃方案

提高啟動和制動等變速過程的平穩(wěn)性，降低柔性體低頻擾動載荷，采用Heaviside 五次樣條變速規(guī)劃策略，實現(xiàn)1、2 階導數(shù)連續(xù)，且角度和角速度規(guī)劃匹配。在調速過程中，通過Heaviside 變速規(guī)劃，也可克服傳動間隙影響，表達式如下：

2.2 位置環(huán)和速度環(huán)方案

位置環(huán)、速度環(huán)調節(jié)器為消除靜差，提高跟蹤精度，引入積分環(huán)節(jié)。但傳動間隙θretarder會導致末端反饋測量偏差較大，造成速度環(huán)調節(jié)器積分累積超過限幅閾值，引發(fā)系統(tǒng)振蕩。因此，在位置環(huán)和速度環(huán)都引入積分分離控制器。

當被控量與規(guī)劃值偏差較大時，取消積分作用，以免積分導致系統(tǒng)穩(wěn)定性降低；當被控量接近規(guī)劃值時，引入積分控制，消除靜差，提高跟蹤精度［14］。

積分分離控制算法表示為

式中：Δt為采樣時間；β為積分項的開關系數(shù)，

2.3 振動抑制方案

太陽電池翼受到外界擾動時，會激發(fā)其彈性低頻振動，且持續(xù)時間較長。為快速抑制柔性太陽電池翼受外界擾動載荷引起的振動，在速度調節(jié)器前，設計特定頻率的陷阱濾波器（Notch Filter）：

通過設置陷阱濾波器參數(shù)ωz、ωp、ζp、ζz，使濾波器作用區(qū)域限制在太陽電池翼基頻附近。參考模態(tài)分析結果，柔性負載彈性主要體現(xiàn)在1 階模態(tài)上（0.066 9 Hz），取ωz=0.42，ωp=0.377，ζp=0.70，ζz=0.02。陷阱濾波器傳遞函數(shù)Bode 圖如圖12所示。

圖12 陷阱濾波器幅頻、相頻曲線Fig.12 Phase frequency and amplitude frequency curves of the notch filter

3 仿真校驗

空間站運行在380～410 km 之間的軌道高度，為確保柔性太陽翼陣面與太陽光入射方向垂直，常見工況為：Alpha 對日定向裝置加電啟動，從停轉狀態(tài)加速到0.300（°）/s，開始對太陽進行搜索捕獲，捕獲太陽后Alpha 對日定向裝置轉入空間站軌道角速度0.065（°）/s 持續(xù)對日跟蹤模式。

假設，柔性負載轉動慣量為

主模態(tài)頻率fa=（0.066 9，0.067 2，0.123 0，0.180 0，0.181 7，…）Hz。

柔性負載振動對其轉動的耦合系數(shù)矩陣為

得到反映柔性負載傳遞函數(shù)Bode 圖（輸入驅動、輸出角速度）如圖13 所示。圖中，藍色實線為其幅頻特性、相頻特性曲線，紅色虛線為簡化負載為剛體時的動態(tài)特性，兩者差異明顯。由于給出的是Alpha 對日定向裝置轉動方向的特性，由Bode 圖可知0.067、0.123、0.180、0.882、0.956 Hz 等頻率對其動力學振動特性起主導作用。

圖13 柔性負載動力學特性Bode 圖Fig.13 Bode diagram of flexible body transfer function

設Alpha 對日定向裝置永磁同步電機、傳動系統(tǒng)的參數(shù)見表2［15］。

表2 Alpha 對日定向裝置參數(shù)Tab.2 Input parameters of the SARJ

設計控制參數(shù)，位置環(huán)控制帶寬0.027 8 Hz；速度環(huán)控制帶寬0.039 5 Hz。仿真中柔性負載的啟動規(guī)劃時間180 s，分析結果如圖14～圖19所示。

圖14 伺服角速度與規(guī)劃指令角速度Fig.14 Servo angular velocity and planning angular velocity

圖15 伺服角速度與規(guī)劃指令角速度偏差Fig.15 Deviation between the servo angular velocity and the planning angular velocity

圖16 伺服角度與規(guī)劃指令角度Fig.16 Servo angle and planning angle of the SARJ

圖17 伺服角度與規(guī)劃指令角度偏差Fig.17 Deviation between the servo angle and the planning angle

圖18 Alpha 對日定向裝置輸出力矩Fig.18 Output torque of the SARJ

圖19 前3 階主頻率模態(tài)坐標Fig.19 Modal coordinates of the first third order frequencies

從圖14～圖17 可知，在啟動規(guī)劃過程中受傳動間隙和傳動摩擦影響，存在速度跟蹤偏差，180 s 規(guī)劃完成時已經(jīng)實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤。跟蹤精度優(yōu)于0.3°，速度偏 差±0.005（° ）/s，穩(wěn)定度優(yōu)于 7%＠0.065（°）/s。

從圖18 和圖19 可知，Alpha 對日定向裝置的啟動和變速過程中驅動力矩不大于30 N·m。穩(wěn)速運行期間，驅動力矩不大于5 N·m。驅動過程中激發(fā)柔性負載第1、3 階模態(tài)，當驅動處于穩(wěn)速轉動后，低階柔性振動也得到抑制。

4 結束語

本文研究空間站柔性太陽電池翼高穩(wěn)定對日跟蹤控制問題，推導了柔性太陽電池翼驅動力矩與轉速狀態(tài)方程，建立考慮傳動間隙和傳動摩擦的Alpha 對日定向裝置模型，提出一種帶運動規(guī)劃和振動抑制的速度、位置雙閉環(huán)伺服控制方法。文中給出的仿真算例說明了該方法在實現(xiàn)柔性負載穩(wěn)定驅動的有效性。文中所述方案控制性能好于國際空間站Alpha 對日跟蹤控制設計指標：穩(wěn)態(tài)跟蹤偏差不大于 2°，速度穩(wěn) 定度優(yōu)于10%＠0.065（°）/s［3-4］。