姜付錦 喻 聰

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

1 問題由來

【題目】[1]如圖1所示，將質(zhì)量為2m重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán)，環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.桿上的A點(diǎn)與定滑輪等高，桿上的B點(diǎn)在A點(diǎn)正下方距離為d處，現(xiàn)將環(huán)從A處由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦阻力，求：

圖1 題圖

(1)環(huán)到達(dá)B處時(shí)，重物上升的高度h;

(2)若環(huán)到達(dá)B處時(shí)速度大小為v，求此時(shí)重物速度大小;

(3)環(huán)從A處?kù)o止釋放到B處過程中，環(huán)克服輕繩拉力做的功W;

(4)環(huán)從A處?kù)o止釋放到B處過程中，繩對(duì)環(huán)拉力的沖量大小 ;

(5)環(huán)能下降的最大高度H.

1.1 原文作者對(duì)第(4)問的分析

規(guī)定向下為正方向，環(huán)從A運(yùn)動(dòng)B的過程中，因繩對(duì)環(huán)拉力的沖量不在豎直方向上，運(yùn)用動(dòng)量定理非常麻煩.因此對(duì)重物、環(huán)與重物組成的系統(tǒng)分別應(yīng)用動(dòng)量定理，對(duì)重物運(yùn)用動(dòng)量定理，有

2mgt-I=2m(-v物)-0

(1)

對(duì)環(huán)與重物組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量定理，有

mgt+2mgt=mv+2m(-v物)

(2)

1.2 筆者的一點(diǎn)疑惑

上題中第(4)問，繩子對(duì)環(huán)拉力的方向是時(shí)刻變化的，繩對(duì)重物拉力的方向是不變的.繩對(duì)圓環(huán)拉力的沖量有兩個(gè)分方向：水平方向和豎直方向，我們可以先求出拉力在兩個(gè)方向上的分沖量，再求出它們合沖量即為拉力的沖量.把環(huán)與重物組成一個(gè)系統(tǒng)，則繩子對(duì)環(huán)在豎直方向上的沖量與繩子對(duì)重物在豎直方向上的沖量不能抵消，故原文中(2)式有誤.

對(duì)重物用動(dòng)量定理得

2mgt-IF=2m(-v物)

(3)

對(duì)圓環(huán)用動(dòng)量定理得

mgt-Iy=mv

(4)

聯(lián)立式(3)、(4)整理得

mgt+2mgt-IF-Iy=mv+2m(-v物)

(5)

故筆者以為原文中式(2)結(jié)果有待商榷.

2 定量研究

2.1 兩個(gè)物體速度與夾角的關(guān)系

當(dāng)輕繩與豎直桿的夾角為θ時(shí)，設(shè)環(huán)的速度v1，重物的速度v2，由機(jī)械能守恒定律

(6)

環(huán)與重物的速度關(guān)系

v2=v1cosθ

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)得

v2=v1cosθ=

(8)

2.2 圓環(huán)所受拉力的沖量

設(shè)繩子的拉力為F，則通過對(duì)圓環(huán)受力分析可知，圓環(huán)的動(dòng)力學(xué)微分方程如下

(9)

將式(9)整理后得

(10)

因?yàn)檩p繩與豎直桿夾角在減小，所以輕繩繞定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為負(fù)值，即

(11)

聯(lián)立式(10)、(11)兩式，得繩子的拉力為

(12)

圓環(huán)受到的拉力在水平方向和豎直方向上的沖量分別為

(13)

聯(lián)立式(8)、(12)、(13)，并積分得

(14)

由式(14)，得圓環(huán)受到輕繩拉力的沖量為

(15)

2.3 圓環(huán)下落的最大高度

設(shè)圓環(huán)下降的最大高度為H，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律得

(16)

(17)

所以圓環(huán)在最低點(diǎn)時(shí)繩與桿的夾角為

(18)

3 數(shù)值模擬

為了研究問題的方便，不妨設(shè)m=1 kg,g=10 m/s2,d=1 m，數(shù)值模擬如下.

3.1 圓環(huán)與重物的速度與時(shí)間關(guān)系

圖2為圓環(huán)與重物的速度與時(shí)間關(guān)系圖像.從圖2可以發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)與重物的速度與時(shí)間呈周期性變化；它們不是同時(shí)達(dá)到最大速度，圓環(huán)先達(dá)到最大速度，重物后達(dá)到最大速度；它們速度為零是同時(shí)的.

圖2 圓環(huán)與重物的速度與時(shí)間關(guān)系

3.2 圓環(huán)與重物的速度與角度關(guān)系

圓環(huán)與重物的速度與角度的關(guān)系圖像如圖3所示.從圖3可以發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)達(dá)到最大速度時(shí)繩與桿的夾角不是60°，此時(shí)夾角要比60°大一些；重物達(dá)到最大速度時(shí)繩與桿的夾角也不是60°，此時(shí)夾角要比60°小，與式(18)分析結(jié)果吻合.

圖3 圓環(huán)與重物的速度與角度關(guān)系

3.3 圓環(huán)與重物的加速度與時(shí)間關(guān)系

圓環(huán)與重物的加速度與時(shí)間關(guān)系如圖4所示.從圖4可以發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為g，重物開始時(shí)加速度為零；圓環(huán)速度最大的時(shí)刻比重物速度最大時(shí)刻早一些.

圖4 圓環(huán)與重物的加速度與時(shí)間關(guān)系

4 結(jié)束語

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)與重物的速度與時(shí)間呈周期性變化；它們不是同時(shí)達(dá)到最大速度，圓環(huán)先達(dá)到最大速度，重物后達(dá)到最大速度，它們速度為零是同時(shí)的；圓環(huán)達(dá)到最大速度時(shí)繩與桿的夾角要比60°大；重物達(dá)到最大速度時(shí)繩與桿的夾角要比60°小；圓環(huán)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為g，重物開始時(shí)加速度為零，而且兩個(gè)物體的加速度與時(shí)間變化的周期相等；當(dāng)圓環(huán)在平衡位置微擾時(shí)，圓環(huán)與重物振動(dòng)規(guī)律的相位差為零，且它們最大速度之比為它們質(zhì)量的反比；繩子對(duì)圓環(huán)拉力的沖量沒有解析解，只有數(shù)值模擬解.