李 蕾

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北，235000

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)存在現(xiàn)實(shí)世界中，包括耦合遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、洛倫茲混沌振蕩器、耦合蔡氏電路等。近年來，人們對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究越來越感興趣，研究領(lǐng)域涉及通信、物理科學(xué)、數(shù)學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及計(jì)算科學(xué)等[1-5]。

一般來說，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)本身很難實(shí)現(xiàn)同步。因此，需要設(shè)計(jì)合適的控制器保證復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步性。自適應(yīng)控制作為一種有效的控制方法，越來越受到研究者的注意[6-10]。Wang討論了一種具有耦合時(shí)變時(shí)滯的加權(quán)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的控制問題,與一般的線性反饋控制器相比，自適應(yīng)控制器對(duì)非對(duì)稱耦合矩陣、時(shí)變權(quán)值、時(shí)滯和噪聲具有很強(qiáng)的魯棒性[11]；Wen 基于拉薩爾不變性原理，得到了自適應(yīng)全局同步準(zhǔn)則[12]，分析結(jié)果表明，在所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器的作用下，具有時(shí)滯和非時(shí)滯耦合的一般復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)能夠全局漸近同步到給定的軌跡；Yao基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，推導(dǎo)了未知?jiǎng)討B(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)漸近同步到孤立節(jié)點(diǎn)的自適應(yīng)控制律[13]； Li設(shè)計(jì)了一種基于模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)分布式控制器研究了具有非線性耦合和不確定性的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(CDN)的同步控制問題[14]； Liu利用不等式技術(shù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，分析了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制同步性問題[15]。

同時(shí)在系統(tǒng)建模時(shí)，如果不考慮時(shí)變延遲或?qū)r(shí)變延遲的描述不當(dāng)，就有可能得到錯(cuò)誤的分析結(jié)論。關(guān)于時(shí)變不延遲和時(shí)變延遲的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步已經(jīng)得到了很好的討論[15-18]。因此在已有文獻(xiàn)關(guān)于同步性研究的基礎(chǔ)之上，本文將各種不穩(wěn)定因素與復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合起來，研究了基于時(shí)變時(shí)滯的非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步性。

1 預(yù)備知識(shí)

本文將使用標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，I表示n階單位矩陣。λmax(·)表示實(shí)對(duì)稱矩陣的最大特征值。Rn表示n維歐幾里得空間。Rn×n表示n×n的實(shí)矩陣。上標(biāo)“T”表示轉(zhuǎn)置。矩陣，如果沒有明確說明，假定具有兼容的維數(shù)?！瑇‖表示歐幾里得范數(shù)，x∈Rn。

考慮如下N個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型：

(1)

其中,xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈Rn是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的狀態(tài)向量；f:Rn×Rn→Rn是光滑的連續(xù)函數(shù)；τ(t)為時(shí)間延遲滿足0≤τ(t)≤τ，τ為正常數(shù)；c>0為耦合強(qiáng)度。Γ=(γij(t))N×N為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合矩陣；矩陣A=(aij)N×N表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣，其每個(gè)元素均非負(fù)，若aij≠0，表示節(jié)點(diǎn)i對(duì)節(jié)點(diǎn)j的動(dòng)力學(xué)行為有影響矩陣A的對(duì)角元素滿足耗散條件

φi(t)∈C([-τ,0],Rn)為初始狀態(tài)。

定義2復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)狀態(tài)s(t)同步，如果滿足

為了實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)同步目標(biāo)，對(duì)系統(tǒng)做出以下假設(shè)并給出幾個(gè)引理：

假設(shè)1對(duì)于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，假設(shè)存在正的常數(shù)l1和l2滿足

‖f(x,u)-f(y,v)‖≤l1‖x-y‖+l2‖u-v‖

引理1[18]對(duì)任意的向量x,y∈Rn，存在正定矩陣G∈Rn×n，有以下不等式成立

2xTy≤xTGx+yTG-1y

2 同步性判斷依據(jù)

為了實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)運(yùn)用自適應(yīng)控制策略，則被控網(wǎng)絡(luò)為

(2)

其中ui(t)=[ui1(t),ui2(t),…,uin(t)]T∈Rn為待設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器。

設(shè)計(jì)的控制器滿足：

ui(t)=-Nci(t)(xi(t-τ(t))-s(t)),i=1,2,…,N,其中s(t)為目標(biāo)狀態(tài)，N為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，反饋增益ci(t)滿足：

定理1若假設(shè)1成立,且假設(shè)網(wǎng)絡(luò)(2)是連通的，則在上述討論的自適應(yīng)控制器下的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(2)與目標(biāo)狀態(tài)s(t)是漸進(jìn)同步的。

證明構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

其中的m>0充分大。所以有

根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式可知:

所以有

eiT(t)ei(t)=(ei(t-τ(t))

≤2eiT(t-τ(t))ei(t-τ(t))

≤2eiT(t-τ(t))ei(t-τ(t))

又因?yàn)?/p>

所以有

(4)

注1 當(dāng)τ為0時(shí)，所研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型為

注2 文獻(xiàn)[15]通過引入耦合強(qiáng)度和反饋增益的分散自適應(yīng)策略,研究了具有非線性時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)牽制同步問題。本文所討論的非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題是在耦合強(qiáng)度保持不變且反饋增益有界時(shí)，通過使用李雅普諾夫方法、數(shù)學(xué)分析方法得到網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。

3 數(shù)值例子

不失一般性，考慮含有50個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lorenz系統(tǒng)

(0,0,0),(8.49,8.49,27),(-8.49,-8.49,27)

系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1。

圖1 Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子

取目標(biāo)狀態(tài)(0,0,0)。討論耦合強(qiáng)度、反饋增益以及節(jié)點(diǎn)比例對(duì)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)的影響

3.1 耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響

選擇控制目標(biāo)(0,0,0)，控制節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)l=1以及反饋增益d=10固定不變經(jīng)計(jì)算耦合強(qiáng)度的臨界值為117.566 4為了討論耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響情況，耦合強(qiáng)度c分別取為100，120，140，從而得到如下網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)圖2。

圖2 l=1,d=10,c=100,120,140控制到目標(biāo)狀態(tài)

根據(jù)上述網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)圖可知在控制節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)以及反饋增益固定時(shí)，耦合強(qiáng)度小于臨界值117.566 4時(shí)，網(wǎng)絡(luò)不能達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。當(dāng)耦合強(qiáng)度大于臨界值時(shí)，耦合強(qiáng)度越大，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)越快，所用時(shí)間越短。

3.2 反饋增益對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響

選擇控制目標(biāo)(0,0,0)，控制節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)l=10以及耦合強(qiáng)度c=100固定不變。不失一般性，取耦合強(qiáng)度為常數(shù)。為了討論反饋增益對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響情況，反饋增益分別取為1，5，10，從而得到如下網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)圖3。

圖3 l=10,c=100,d=1,5,10控制到目標(biāo)狀態(tài)

根據(jù)上述網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)圖可知在控制節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)以及耦合強(qiáng)度固定時(shí)，反饋增益越大，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)越快，所用時(shí)間越短。

3.3 節(jié)點(diǎn)比例對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響

選擇控制目標(biāo)(0,0,0)，反饋增益d=10以及耦合強(qiáng)度cc=40固定不變。為了討論控制節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響情況，控制節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別取為5,10,15，從而得到如下網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)圖4。

圖4 l=10,c=40,d=5,10,15控制到目標(biāo)狀態(tài)

根據(jù)上述網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)圖可知在反饋增益以及反饋增益固定時(shí)，所控制節(jié)點(diǎn)比例越大，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)越快，所用時(shí)間越短。

綜上所述，得到了保證非線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的標(biāo)準(zhǔn)。且所得的標(biāo)準(zhǔn)與節(jié)點(diǎn)比例、耦合強(qiáng)度以及控制增益密切相關(guān)。

4 結(jié) 論

本文研究了時(shí)滯非線性復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步性問題?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論以及自適應(yīng)控制控制方法，得出了同步的一些充分條件。且由充分條件可知非線性復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的時(shí)間由耦合強(qiáng)度、控制節(jié)點(diǎn)比例以及反饋增益決定。